Hydrostatische kracht
- Druk op diepte
- p = ρgh
- Kracht op een verticale wand
- F = ρg·hc·A
- Drukpunt
- yp = yc + Ic/(ycA)
- Rechthoek
- Ic = bH³/12
Stromingsleer: samenvattingspakket
Formuleoverzichten, de belangrijkste methodestappen voor elk onderwerp en 8 oefenopgaven, met volledige oplossingen achterin.
1Formules en methoden
Continuïteit en Bernoulli
- Continuïteit
- A1v1 = A2v2
- Bernoulli
- p1 + ½ρv1² + ρgz1 = p2 + ½ρv2² + ρgz2
- Debiet
- Q = A·v
- Oppervlakte van een cirkel
- A = πd²/4
Leidingwrijving en drukhoogteverlies
- Getal van Reynolds
- Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
- Stromingsregime
- laminair onder Re ≈ 2000, turbulent boven Re ≈ 4000
- Gemiddelde snelheid
- V = Q/A, A = π·D²/4
- Darcy–Weisbach
- hf = f·(L/D)·V²/(2g)
- Plaatselijke verliezen
- hm = ΣK·V²/(2g)
- Gangbare K-waarden
- intrede 0,5, uittrede 1,0, bocht van 90° ≈ 0,3
- Drukval
- Δp = ρ·g·hf
- Twee open reservoirs
- Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
- Vrije uitstroming
- H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
Pompen en pompvermogen
- Hydraulisch vermogen
- Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp
- Asvermogen
- Pshaft = Ph/ηpump
- Elektrisch vermogen
- Pel = Pshaft/ηmotor
- Opvoerhoogte van de pomp
- H = Δz + Δp/(ρ·g) + hL
- Systeemverliezen
- hL = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
2Oefenopgaven
1.Hydrostatische krachtGemiddeld
Een verticale rechthoekige schuif van 1,5 m breed zit in de wand van een tank met water, met de bovenrand 0,5 m onder het oppervlak. Vind de resulterende hydrostatische kracht F op de schuif.
d = 0,5 mH = 2,5 mb = 1,5 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²
F = kN
2.Hydrostatische krachtMoeilijk
Een verticale rechthoekige schuif van 1 m breed zit in de wand van een tank met zeewater, met de bovenrand 1 m onder het oppervlak. Vind de resulterende hydrostatische kracht F op de schuif.
d = 1 mH = 1 mb = 1 mρ = 1025 kg/m³g = 9,81 m/s²
F = kN
3.Continuïteit en BernoulliGemiddeld
Water stroomt door een horizontale leiding die versmalt van 150 mm naar 50 mm. In het brede deel is de druk 270 kPa en de snelheid 1,25 m/s. Verwaarloos verliezen en vind de druk p2 in het smalle deel.
d1 = 150 mmd2 = 50 mmp1 = 270 kPav1 = 1,25 m/sρ = 1000 kg/m³
p2 = kPa
4.Continuïteit en BernoulliMoeilijk
Een slang met een binnendiameter van 25 mm hevelt water uit een open tank. Het hoogste punt C van de slang ligt 2 m boven het wateroppervlak, en de uitlaat (open naar de lucht) ligt 3 m onder het wateroppervlak. Verwaarloos verliezen en neem g = 9,81 m/s². Vind de absolute druk pC in punt C. De atmosferische druk is 101,3 kPa.
d = 25 mmzC = +2 mz2 = −3 mg = 9,81 m/s²patm = 101,3 kPa
pC = kPa
5.Leidingwrijving en drukhoogteverliesGemiddeld
Water stroomt met een gemiddelde snelheid van 2,4 m/s door een leiding van 400 m lang met een binnendiameter van 50 mm. Gebruik de Darcy-wrijvingsfactor f = 0,018 en g = 9,81 m/s². Vind het wrijvingsverlies hf.
V = 2,4 m/sL = 400 mD = 50 mmf = 0,018g = 9,81 m/s²
hf = m
6.Leidingwrijving en drukhoogteverliesMoeilijk
Een leiding van 400 m lang met een binnendiameter van 250 mm (Darcy-wrijvingsfactor f = 0,018) loopt vanuit een open reservoir en stroomt als vrije straal uit in de lucht. De plaatselijke verliezen zijn een scherpe intrede (K = 0,5), 4 bochten (K = 0,3 per stuk) en een afsluiter (K = 2). Gebruik g = 9,81 m/s². Hoe hoog H moet het reservoiroppervlak boven de uitstroomopening liggen voor een debiet van 120 L/s?
Q = 120 L/sL = 400 mD = 250 mmf = 0,018Kentrance = 0,5Kbend = 0,3 (×4)Kvalve = 2
H = m
7.Pompen en pompvermogenGemiddeld
Bij een test levert een pomp 15 L/s water (ρ = 1000 kg/m³) tegen een opvoerhoogte van 36 m, terwijl de as 7,1 kW opneemt. Gebruik g = 9,81 m/s². Vind het pomprendement η in procent.
Q = 15 L/sH = 36 mPshaft = 7,1 kWg = 9,81 m/s²
η = %
8.Pompen en pompvermogenMoeilijk
Een pomp verplaatst 80 L/s water (ρ = 1000 kg/m³) van een open lager reservoir naar een hoger gelegen tank waarvan het wateroppervlak 13 m hoger ligt. De leiding is 150 m lang met een binnendiameter van 200 mm en een Darcy-wrijvingsfactor f = 0,022; de coëfficiënten voor plaatselijke verliezen tellen op tot ΣK = 5 (intrede en uittrede inbegrepen). Gebruik g = 9,81 m/s². Vind de opvoerhoogte H die de pomp moet toevoegen.
Q = 80 L/sΔz = 13 mL = 150 mD = 200 mmf = 0,022ΣK = 5
H = m
3Oplossingen
1.Hydrostatische kracht
Antwoord: F = 64,38 kN
Hydrostatische kracht op een vlak oppervlak: F = ρ·g·yc·A. De kracht grijpt aan in het drukpunt, ycp = yc + Ic/(ycA), dat altijd onder het zwaartepunt ligt.
Diepte van het zwaartepunt en oppervlakte
yc = d + H/2 = 0,5 + 2,5/2 = 1,75 m
A = H·b = 2,5·1,5 = 3,75 m²
Resulterende kracht
F = ρ·g·yc·A = 1000·9,81·1,75·3,75 = 64,38 kN
Antwoord
F = 64,38 kN
2.Hydrostatische kracht
Antwoord: F = 15,08 kN
Hydrostatische kracht op een vlak oppervlak: F = ρ·g·yc·A. De kracht grijpt aan in het drukpunt, ycp = yc + Ic/(ycA), dat altijd onder het zwaartepunt ligt.
Diepte van het zwaartepunt en oppervlakte
yc = d + H/2 = 1 + 1/2 = 1,5 m
A = H·b = 1·1 = 1 m²
Resulterende kracht
F = ρ·g·yc·A = 1025·9,81·1,5·1 = 15,08 kN
Antwoord
F = 15,08 kN
3.Continuïteit en Bernoulli
Antwoord: p2 = 207,5 kPa
Continuïteit en Bernoulli: voor een onsamendrukbare vloeistof is het debiet in elke doorsnede gelijk, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Langs een stroomlijn zonder verliezen is p + ½ρv² + ρgz constant, dus waar de vloeistof sneller stroomt of hoger ligt, is de druk lager.
Continuïteit en Bernoulli
Werk in Pa, en deel dan door 1000 om kPa te krijgen.
v2 = v1·(d1/d2)² = 1,25·(150/50)² = 11,25 m/s
½ρ(v1² − v2²) = ½·1000·(1,25² − 11,25²)/1000 = −62,5 kPa
p2 = p1 + ½ρ(v1² − v2²) = 270 + (−62,5) = 207,5 kPa
Antwoord
p2 = 207,5 kPa
4.Continuïteit en Bernoulli
Antwoord: pC = 52,25 kPa
Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.
Snelheid in de slang
Oppervlak en uitlaat zijn allebei open naar de lucht, dus de drukterm valt weg.
v = √(2g·3) = √(2·9,81·3) = 7,672 m/s
Bernoulli van het oppervlak naar C
patm = pC + ½ρv² + ρgzC
pC = 101,3 − 1000·(7,672²/2 + 9,81·2)/1000 = 101,3 − 49,05 = 52,25 kPa
Antwoord
pC = 52,25 kPa
Als deze druk daalt tot de dampdruk van het water, werkt de hevel niet meer.
5.Leidingwrijving en drukhoogteverlies
Antwoord: hf = 42,28 m
Leidingstroming: het getal van Reynolds Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ onderscheidt laminaire stroming (Re onder ongeveer 2000) van turbulente stroming (boven ongeveer 4000). Wrijving langs een leiding kost het drukhoogteverlies volgens Darcy–Weisbach hf = f·(L/D)·V²/(2g). Hulpstukken, afsluiters, de intrede en de uittrede geven plaatselijke verliezen hm = ΣK·V²/(2g). Tussen twee open reservoiroppervlakken geeft de energievergelijking Δz = hf + hm, inclusief het uittredeverlies K = 1.
Snelheidshoogte
V²/(2g) = 2,4²/(2·9,81) = 0,2936 m
Darcy–Weisbach
hf = f·(L/D)·V²/(2g) = 0,018·(400/0,05)·2,4²/(2·9,81) = 42,28 m
Antwoord
hf = 42,28 m
6.Leidingwrijving en drukhoogteverlies
Antwoord: H = 10,2 m
Leidingstroming: het getal van Reynolds Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ onderscheidt laminaire stroming (Re onder ongeveer 2000) van turbulente stroming (boven ongeveer 4000). Wrijving langs een leiding kost het drukhoogteverlies volgens Darcy–Weisbach hf = f·(L/D)·V²/(2g). Hulpstukken, afsluiters, de intrede en de uittrede geven plaatselijke verliezen hm = ΣK·V²/(2g). Tussen twee open reservoiroppervlakken geeft de energievergelijking Δz = hf + hm, inclusief het uittredeverlies K = 1.
Snelheid
V = Q/A = 0,12/0,04909 = 2,445 m/s
V²/(2g) = 0,3046 m
Verliescoëfficiënten
f·L/D = 0,018·400/0,25 = 28,8
ΣK = 0,5 + 4·0,3 + 2 = 3,7
Energievergelijking
De uitstromende straal heeft nog zijn snelheidshoogte; dat is geen verlies, maar die moet wel geleverd worden.
H = (1 + 28,8 + 3,7)·0,3046 = 10,2 m
Antwoord
H = 10,2 m
7.Pompen en pompvermogen
Antwoord: η = 74,61 %
Pompvermogen: het vermogen dat aan het water wordt gegeven is het hydraulisch vermogen Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp. De as moet meer leveren omdat de pomp verliezen heeft: Pshaft = Ph/ηpump, en de motor neemt Pel = Pshaft/ηmotor op. De opvoerhoogte H volgt uit de energievergelijking: statische opvoerhoogte + drukhoogte + alle wrijvings- en plaatselijke verliezen.
Hydraulisch vermogen
Ph = ρ·g·Q·H = 1000·9,81·0,015·36 = 5,297 kW
Rendement
η = Ph/Pshaft = 5,297/7,1 = 74,61%
Antwoord
η = 74,61%
8.Pompen en pompvermogen
Antwoord: H = 20,11 m
Pompvermogen: het vermogen dat aan het water wordt gegeven is het hydraulisch vermogen Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp. De as moet meer leveren omdat de pomp verliezen heeft: Pshaft = Ph/ηpump, en de motor neemt Pel = Pshaft/ηmotor op. De opvoerhoogte H volgt uit de energievergelijking: statische opvoerhoogte + drukhoogte + alle wrijvings- en plaatselijke verliezen.
Snelheid
V = Q/A = 0,08/0,03142 = 2,546 m/s
V²/(2g) = 0,3305 m
Drukhoogteverliezen
hL = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (16,5 + 5)·0,3305 = 7,106 m
Opvoerhoogte van de pomp
Beide oppervlakken zijn open en praktisch in rust, dus de druk- en snelheidstermen vallen weg.
H = Δz + hL = 13 + 7,106 = 20,11 m
Antwoord
H = 20,11 m
ExamProblems · examproblems.com/courses/fluid-mechanics