Hydrostatische kracht
- Druk op diepte
- p = ρgh
- Kracht op een verticale wand
- F = ρg·hc·A
- Drukpunt
- yp = yc + Ic/(ycA)
- Rechthoek
- Ic = bH³/12
Stromingsleer: samenvattingspakket
Formuleoverzichten, de belangrijkste methodestappen voor elk onderwerp en 8 oefenopgaven, met volledige oplossingen achterin.
1Formules en methoden
Continuïteit en Bernoulli
- Continuïteit
- A1v1 = A2v2
- Bernoulli
- p1 + ½ρv1² + ρgz1 = p2 + ½ρv2² + ρgz2
- Debiet
- Q = A·v
- Oppervlakte van een cirkel
- A = πd²/4
Leidingwrijving en drukhoogteverlies
- Getal van Reynolds
- Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
- Stromingsregime
- laminair onder Re ≈ 2000, turbulent boven Re ≈ 4000
- Gemiddelde snelheid
- V = Q/A, A = π·D²/4
- Darcy–Weisbach
- hf = f·(L/D)·V²/(2g)
- Plaatselijke verliezen
- hm = ΣK·V²/(2g)
- Gangbare K-waarden
- intrede 0,5, uittrede 1,0, bocht van 90° ≈ 0,3
- Drukval
- Δp = ρ·g·hf
- Twee open reservoirs
- Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
- Vrije uitstroming
- H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
Pompen en pompvermogen
- Hydraulisch vermogen
- Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp
- Asvermogen
- Pshaft = Ph/ηpump
- Elektrisch vermogen
- Pel = Pshaft/ηmotor
- Opvoerhoogte van de pomp
- H = Δz + Δp/(ρ·g) + hL
- Systeemverliezen
- hL = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
2Oefenopgaven
1.Hydrostatische krachtGemiddeld
Een verticale rechthoekige schuif van 3 m breed zit in de wand van een tank met water, met de bovenrand 2 m onder het oppervlak. Vind de resulterende hydrostatische kracht F op de schuif.
d = 2 mH = 3 mb = 3 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²
F = kN
2.Hydrostatische krachtMoeilijk
Een verticale rechthoekige schuif van 1,5 m breed zit in de wand van een tank met glycerine, met de bovenrand 0,5 m onder het oppervlak. Vind de diepte ycp van het drukpunt onder het oppervlak.
d = 0,5 mH = 2 mb = 1,5 mρ = 1260 kg/m³g = 9,81 m/s²
ycp = m
3.Continuïteit en BernoulliGemiddeld
Water stroomt met 23 L/s door een horizontale leiding die versmalt van 200 mm naar 100 mm. De druk in het smalle deel is 250 kPa. Vind, zonder verliezen, de druk p1 in het brede deel.
Q = 23 L/sd1 = 200 mmd2 = 100 mmp2 = 250 kPaρ = 1000 kg/m³
p1 = kPa
4.Continuïteit en BernoulliMoeilijk
Water stroomt omhoog door een leiding die versmalt van 100 mm naar 50 mm en daarbij 2 m stijgt. In doorsnede 1 is de druk 230 kPa en de snelheid 1,25 m/s. Verwaarloos verliezen en vind de druk p2 in doorsnede 2.
d1 = 100 mmd2 = 50 mmp1 = 230 kPav1 = 1,25 m/sΔz = 2 mρ = 1000 kg/m³
p2 = kPa
5.Leidingwrijving en drukhoogteverliesGemiddeld
Water stroomt met 25 L/s door een leiding van 300 m lang met een binnendiameter van 250 mm. Gebruik de Darcy-wrijvingsfactor f = 0,015 en g = 9,81 m/s². Vind het wrijvingsverlies hf.
Q = 25 L/sL = 300 mD = 250 mmf = 0,015g = 9,81 m/s²
hf = m
6.Leidingwrijving en drukhoogteverliesMoeilijk
Twee open reservoirs zijn verbonden door een leiding van 300 m lang met een binnendiameter van 200 mm en een Darcy-wrijvingsfactor f = 0,018. Het wateroppervlak van het bovenste reservoir ligt 34 m boven dat van het onderste. De plaatselijke verliezen zijn een scherpe intrede (K = 0,5), 3 bochten (K = 0,3 per stuk), een afsluiter (K = 10) en de uittrede in het lagere reservoir (K = 1,0). Gebruik g = 9,81 m/s². Vind het debiet Q in L/s.
Δz = 34 mL = 300 mD = 200 mmf = 0,018Kentrance = 0,5Kbend = 0,3 (×3)Kvalve = 10Kexit = 1,0
Q = L/s
7.Pompen en pompvermogenGemiddeld
Bij een test levert een pomp 60 L/s water (ρ = 1000 kg/m³) tegen een opvoerhoogte van 80 m, terwijl de as 60,4 kW opneemt. Gebruik g = 9,81 m/s². Vind het pomprendement η in procent.
Q = 60 L/sH = 80 mPshaft = 60,4 kWg = 9,81 m/s²
η = %
8.Pompen en pompvermogenMoeilijk
Een pomp verplaatst 40 L/s water (ρ = 1000 kg/m³) van een open lager reservoir naar een hoger gelegen tank waarvan het wateroppervlak 7 m hoger ligt. De leiding is 200 m lang met een binnendiameter van 150 mm en een Darcy-wrijvingsfactor f = 0,025; de coëfficiënten voor plaatselijke verliezen tellen op tot ΣK = 5 (intrede en uittrede inbegrepen). Gebruik g = 9,81 m/s². Het pomprendement is 85%. Vind het asvermogen Pshaft in kW.
Q = 40 L/sΔz = 7 mL = 200 mD = 150 mmf = 0,025ΣK = 5η = 85%
Pshaft = kW
3Oplossingen
1.Hydrostatische kracht
Antwoord: F = 309 kN
Hydrostatische kracht op een vlak oppervlak: F = ρ·g·yc·A. De kracht grijpt aan in het drukpunt, ycp = yc + Ic/(ycA), dat altijd onder het zwaartepunt ligt.
Diepte van het zwaartepunt en oppervlakte
yc = d + H/2 = 2 + 3/2 = 3,5 m
A = H·b = 3·3 = 9 m²
Resulterende kracht
F = ρ·g·yc·A = 1000·9,81·3,5·9 = 309 kN
Antwoord
F = 309 kN
2.Hydrostatische kracht
Antwoord: ycp = 1,722 m
Hydrostatische kracht op een vlak oppervlak: F = ρ·g·yc·A. De kracht grijpt aan in het drukpunt, ycp = yc + Ic/(ycA), dat altijd onder het zwaartepunt ligt.
Diepte van het zwaartepunt en oppervlakte
yc = d + H/2 = 0,5 + 2/2 = 1,5 m
A = H·b = 2·1,5 = 3 m²
Resulterende kracht
F = ρ·g·yc·A = 1260·9,81·1,5·3 = 55,62 kN
Drukpunt
De druk neemt toe met de diepte, dus de resultante grijpt aan onder het zwaartepunt.
Ic = b·H³/12 = 1,5·2³/12 = 1 m⁴
ycp = yc + Ic/(yc·A) = 1,5 + 1/(1,5·3) = 1,722 m
Antwoord
ycp = 1,722 m
3.Continuïteit en Bernoulli
Antwoord: p1 = 254 kPa
Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.
Snelheden
v1 = Q/A1 = 0,023/0,03142 = 0,7321 m/s
v2 = Q/A2 = 0,023/0,007854 = 2,928 m/s
Bernoulli
p1 = p2 + ½ρ(v2² − v1²) = 250 + ½·1000·(2,928² − 0,7321²)/1000 = 250 + 4,02 = 254 kPa
Antwoord
p1 = 254 kPa
4.Continuïteit en Bernoulli
Antwoord: p2 = 198,7 kPa
Continuïteit en Bernoulli: voor een onsamendrukbare vloeistof is het debiet in elke doorsnede gelijk, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Langs een stroomlijn zonder verliezen is p + ½ρv² + ρgz constant, dus waar de vloeistof sneller stroomt of hoger ligt, is de druk lager.
Continuïteit en Bernoulli
Werk in Pa, en deel dan door 1000 om kPa te krijgen.
v2 = v1·(d1/d2)² = 1,25·(100/50)² = 5 m/s
½ρ(v1² − v2²) = ½·1000·(1,25² − 5²)/1000 = −11,72 kPa
ρgΔz = 1000·9,81·2/1000 = 19,62 kPa
p2 = p1 + ½ρ(v1² − v2²) − ρgΔz = 230 + (−11,72) − 19,62 = 198,7 kPa
Antwoord
p2 = 198,7 kPa
5.Leidingwrijving en drukhoogteverlies
Antwoord: hf = 0,238 m
Leidingstroming: het getal van Reynolds Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ onderscheidt laminaire stroming (Re onder ongeveer 2000) van turbulente stroming (boven ongeveer 4000). Wrijving langs een leiding kost het drukhoogteverlies volgens Darcy–Weisbach hf = f·(L/D)·V²/(2g). Hulpstukken, afsluiters, de intrede en de uittrede geven plaatselijke verliezen hm = ΣK·V²/(2g). Tussen twee open reservoiroppervlakken geeft de energievergelijking Δz = hf + hm, inclusief het uittredeverlies K = 1.
Gemiddelde snelheid
A = π·0,25²/4 = 0,04909 m²
V = Q/A = 0,025/0,04909 = 0,5093 m/s
Snelheidshoogte
V²/(2g) = 0,5093²/(2·9,81) = 0,01322 m
Darcy–Weisbach
hf = f·(L/D)·V²/(2g) = 0,015·(300/0,25)·0,5093²/(2·9,81) = 0,238 m
Antwoord
hf = 0,238 m
6.Leidingwrijving en drukhoogteverlies
Antwoord: Q = 129,3 L/s
Leidingstroming: het getal van Reynolds Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ onderscheidt laminaire stroming (Re onder ongeveer 2000) van turbulente stroming (boven ongeveer 4000). Wrijving langs een leiding kost het drukhoogteverlies volgens Darcy–Weisbach hf = f·(L/D)·V²/(2g). Hulpstukken, afsluiters, de intrede en de uittrede geven plaatselijke verliezen hm = ΣK·V²/(2g). Tussen twee open reservoiroppervlakken geeft de energievergelijking Δz = hf + hm, inclusief het uittredeverlies K = 1.
Verliescoëfficiënten
f·L/D = 0,018·300/0,2 = 27
ΣK = 0,5 + 3·0,3 + 10 + 1,0 = 12,4
Energievergelijking
Beide oppervlakken staan open naar de lucht en zijn praktisch in rust, dus heel Δz gaat verloren in de leiding.
34 = (27 + 12,4)·V²/(2·9,81)
V = √(2·9,81·34/39,4) = 4,115 m/s
Debiet
Q = V·π·D²/4 = 4,115·0,03142 = 0,1293 m³/s = 129,3 L/s
Antwoord
Q = 129,3 L/s
7.Pompen en pompvermogen
Antwoord: η = 77,96 %
Pompvermogen: het vermogen dat aan het water wordt gegeven is het hydraulisch vermogen Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp. De as moet meer leveren omdat de pomp verliezen heeft: Pshaft = Ph/ηpump, en de motor neemt Pel = Pshaft/ηmotor op. De opvoerhoogte H volgt uit de energievergelijking: statische opvoerhoogte + drukhoogte + alle wrijvings- en plaatselijke verliezen.
Hydraulisch vermogen
Ph = ρ·g·Q·H = 1000·9,81·0,06·80 = 47,09 kW
Rendement
η = Ph/Pshaft = 47,09/60,4 = 77,96%
Antwoord
η = 77,96%
8.Pompen en pompvermogen
Antwoord: Pshaft = 7,853 kW
Pompvermogen: het vermogen dat aan het water wordt gegeven is het hydraulisch vermogen Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp. De as moet meer leveren omdat de pomp verliezen heeft: Pshaft = Ph/ηpump, en de motor neemt Pel = Pshaft/ηmotor op. De opvoerhoogte H volgt uit de energievergelijking: statische opvoerhoogte + drukhoogte + alle wrijvings- en plaatselijke verliezen.
Snelheid
V = Q/A = 0,04/0,01767 = 2,264 m/s
V²/(2g) = 0,2611 m
Drukhoogteverliezen
hL = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (33,33 + 5)·0,2611 = 10,01 m
Opvoerhoogte van de pomp
H = Δz + hL = 7 + 10,01 = 17,01 m
Asvermogen
Pshaft = ρ·g·Q·H/η = 1000·9,81·0,04·17,01/0,85 = 7,853 kW
Antwoord
Pshaft = 7,853 kW
ExamProblems · examproblems.com/courses/fluid-mechanics