Hydrostatische kracht
- Druk op diepte
- p = ρgh
- Kracht op een verticale wand
- F = ρg·hc·A
- Drukpunt
- yp = yc + Ic/(ycA)
- Rechthoek
- Ic = bH³/12
Stromingsleer: samenvattingspakket
Formuleoverzichten, de belangrijkste methodestappen voor elk onderwerp en 8 oefenopgaven, met volledige oplossingen achterin.
1Formules en methoden
Continuïteit en Bernoulli
- Continuïteit
- A1v1 = A2v2
- Bernoulli
- p1 + ½ρv1² + ρgz1 = p2 + ½ρv2² + ρgz2
- Debiet
- Q = A·v
- Oppervlakte van een cirkel
- A = πd²/4
Leidingwrijving en drukhoogteverlies
- Getal van Reynolds
- Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
- Stromingsregime
- laminair onder Re ≈ 2000, turbulent boven Re ≈ 4000
- Gemiddelde snelheid
- V = Q/A, A = π·D²/4
- Darcy–Weisbach
- hf = f·(L/D)·V²/(2g)
- Plaatselijke verliezen
- hm = ΣK·V²/(2g)
- Gangbare K-waarden
- intrede 0,5, uittrede 1,0, bocht van 90° ≈ 0,3
- Drukval
- Δp = ρ·g·hf
- Twee open reservoirs
- Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
- Vrije uitstroming
- H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
Pompen en pompvermogen
- Hydraulisch vermogen
- Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp
- Asvermogen
- Pshaft = Ph/ηpump
- Elektrisch vermogen
- Pel = Pshaft/ηmotor
- Opvoerhoogte van de pomp
- H = Δz + Δp/(ρ·g) + hL
- Systeemverliezen
- hL = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
2Oefenopgaven
1.Hydrostatische krachtGemiddeld
Een verticale rechthoekige schuif van 1,5 m breed zit in de wand van een tank met water, met de bovenrand 1 m onder het oppervlak. Vind de resulterende hydrostatische kracht F op de schuif.
d = 1 mH = 2,5 mb = 1,5 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²
F = kN
2.Hydrostatische krachtMoeilijk
Een verticale rechthoekige schuif van 1,5 m breed zit in de wand van een tank met zeewater, met de bovenrand 1,5 m onder het oppervlak. Vind de diepte ycp van het drukpunt onder het oppervlak.
d = 1,5 mH = 2,5 mb = 1,5 mρ = 1025 kg/m³g = 9,81 m/s²
ycp = m
3.Continuïteit en BernoulliGemiddeld
Water loopt uit een grote open tank via een scherpgerande opening met een diameter van 25 mm. Het waterniveau wordt op 2,5 m boven de opening gehouden en de afvoercoëfficiënt is 0,63. Vind het debiet Q. Gebruik g = 9,81 m/s².
d = 25 mmh = 2,5 mCd = 0,63g = 9,81 m/s²
Q = L/s
4.Continuïteit en BernoulliMoeilijk
Een fonteinmondstuk wijst recht omhoog. Net onder het mondstuk heeft de toevoerleiding een diameter van 75 mm en een overdruk van 90 kPa. De uitlaatdiameter van het mondstuk is 25 mm, en het hoogteverschil over het mondstuk is verwaarloosbaar. Vind, zonder verliezen en luchtweerstand, de hoogte H die de straal boven het mondstuk stijgt. Gebruik g = 9,81 m/s².
d1 = 75 mmp1 = 90 kPa (overdruk)d2 = 25 mmρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²
H = m
5.Leidingwrijving en drukhoogteverliesGemiddeld
Water stroomt met een gemiddelde snelheid van 1,4 m/s door een leiding van 50 m lang met een binnendiameter van 100 mm. Gebruik de Darcy-wrijvingsfactor f = 0,025 en g = 9,81 m/s². Vind het wrijvingsverlies hf.
V = 1,4 m/sL = 50 mD = 100 mmf = 0,025g = 9,81 m/s²
hf = m
6.Leidingwrijving en drukhoogteverliesMoeilijk
Twee open reservoirs zijn verbonden door een leiding van 200 m lang met een binnendiameter van 300 mm en een Darcy-wrijvingsfactor f = 0,018. Het wateroppervlak van het bovenste reservoir ligt 19 m boven dat van het onderste. De plaatselijke verliezen zijn een scherpe intrede (K = 0,5), 4 bochten (K = 0,3 per stuk), een afsluiter (K = 5) en de uittrede in het lagere reservoir (K = 1,0). Gebruik g = 9,81 m/s². Vind het debiet Q in L/s.
Δz = 19 mL = 200 mD = 300 mmf = 0,018Kentrance = 0,5Kbend = 0,3 (×4)Kvalve = 5Kexit = 1,0
Q = L/s
7.Pompen en pompvermogenGemiddeld
Een pomp levert 10 L/s water (ρ = 1000 kg/m³) tegen een opvoerhoogte van 58 m. Het pomprendement is 75% en de elektromotor die de pomp aandrijft heeft een rendement van 94%. Gebruik g = 9,81 m/s². Vind het elektrisch vermogen Pel dat de motor opneemt, in kW.
Q = 10 L/sH = 58 mηpump = 75%ηmotor = 94%g = 9,81 m/s²
Pel = kW
8.Pompen en pompvermogenMoeilijk
Een pomp verplaatst 120 L/s water (ρ = 1000 kg/m³) van een open lager reservoir naar een hoger gelegen tank waarvan het wateroppervlak 30 m hoger ligt. De leiding is 150 m lang met een binnendiameter van 250 mm en een Darcy-wrijvingsfactor f = 0,015; de coëfficiënten voor plaatselijke verliezen tellen op tot ΣK = 8 (intrede en uittrede inbegrepen). Gebruik g = 9,81 m/s². De bovenste tank is gesloten en de lucht boven het water staat op een overdruk van 200 kPa. Vind de opvoerhoogte H die de pomp moet toevoegen.
Q = 120 L/sΔz = 30 mL = 150 mD = 250 mmf = 0,015ΣK = 8ptank = 200 kPa
H = m
3Oplossingen
1.Hydrostatische kracht
Antwoord: F = 82,77 kN
Hydrostatische kracht op een vlak oppervlak: F = ρ·g·yc·A. De kracht grijpt aan in het drukpunt, ycp = yc + Ic/(ycA), dat altijd onder het zwaartepunt ligt.
Diepte van het zwaartepunt en oppervlakte
yc = d + H/2 = 1 + 2,5/2 = 2,25 m
A = H·b = 2,5·1,5 = 3,75 m²
Resulterende kracht
F = ρ·g·yc·A = 1000·9,81·2,25·3,75 = 82,77 kN
Antwoord
F = 82,77 kN
2.Hydrostatische kracht
Antwoord: ycp = 2,939 m
Hydrostatische kracht op een vlak oppervlak: F = ρ·g·yc·A. De kracht grijpt aan in het drukpunt, ycp = yc + Ic/(ycA), dat altijd onder het zwaartepunt ligt.
Diepte van het zwaartepunt en oppervlakte
yc = d + H/2 = 1,5 + 2,5/2 = 2,75 m
A = H·b = 2,5·1,5 = 3,75 m²
Resulterende kracht
F = ρ·g·yc·A = 1025·9,81·2,75·3,75 = 103,7 kN
Drukpunt
De druk neemt toe met de diepte, dus de resultante grijpt aan onder het zwaartepunt.
Ic = b·H³/12 = 1,5·2,5³/12 = 1,953 m⁴
ycp = yc + Ic/(yc·A) = 2,75 + 1,953/(2,75·3,75) = 2,939 m
Antwoord
ycp = 2,939 m
3.Continuïteit en Bernoulli
Antwoord: Q = 2,166 L/s
Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.
Ideale straalsnelheid
√(2gh) = √(2·9,81·2,5) = 7,004 m/s
Werkelijk debiet
De afvoercoëfficiënt houdt rekening met de contractie van de straal en de wrijving aan de rand.
Q = Cd·A·√(2gh) = 0,63·0,0004909·7,004 = 0,002166 m³/s = 2,166 L/s
Antwoord
Q = 2,166 L/s
4.Continuïteit en Bernoulli
Antwoord: H = 9,289 m
Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.
Uittreesnelheid
β = 25/75 = 0,3333
v2 = √(2p1/(ρ(1 − β⁴))) = √(2·90000/(1000·0,9877)) = 13,5 m/s
Hoogte van de straal
Bernoulli langs de straal: bovenaan is de snelheid nul en de druk weer atmosferisch.
H = v2²/(2g) = 13,5²/(2·9,81) = 9,289 m
Antwoord
H = 9,289 m
5.Leidingwrijving en drukhoogteverlies
Antwoord: hf = 1,249 m
Leidingstroming: het getal van Reynolds Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ onderscheidt laminaire stroming (Re onder ongeveer 2000) van turbulente stroming (boven ongeveer 4000). Wrijving langs een leiding kost het drukhoogteverlies volgens Darcy–Weisbach hf = f·(L/D)·V²/(2g). Hulpstukken, afsluiters, de intrede en de uittrede geven plaatselijke verliezen hm = ΣK·V²/(2g). Tussen twee open reservoiroppervlakken geeft de energievergelijking Δz = hf + hm, inclusief het uittredeverlies K = 1.
Snelheidshoogte
V²/(2g) = 1,4²/(2·9,81) = 0,0999 m
Darcy–Weisbach
hf = f·(L/D)·V²/(2g) = 0,025·(50/0,1)·1,4²/(2·9,81) = 1,249 m
Antwoord
hf = 1,249 m
6.Leidingwrijving en drukhoogteverlies
Antwoord: Q = 307,5 L/s
Leidingstroming: het getal van Reynolds Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ onderscheidt laminaire stroming (Re onder ongeveer 2000) van turbulente stroming (boven ongeveer 4000). Wrijving langs een leiding kost het drukhoogteverlies volgens Darcy–Weisbach hf = f·(L/D)·V²/(2g). Hulpstukken, afsluiters, de intrede en de uittrede geven plaatselijke verliezen hm = ΣK·V²/(2g). Tussen twee open reservoiroppervlakken geeft de energievergelijking Δz = hf + hm, inclusief het uittredeverlies K = 1.
Verliescoëfficiënten
f·L/D = 0,018·200/0,3 = 12
ΣK = 0,5 + 4·0,3 + 5 + 1,0 = 7,7
Energievergelijking
Beide oppervlakken staan open naar de lucht en zijn praktisch in rust, dus heel Δz gaat verloren in de leiding.
19 = (12 + 7,7)·V²/(2·9,81)
V = √(2·9,81·19/19,7) = 4,35 m/s
Debiet
Q = V·π·D²/4 = 4,35·0,07069 = 0,3075 m³/s = 307,5 L/s
Antwoord
Q = 307,5 L/s
7.Pompen en pompvermogen
Antwoord: Pel = 8,071 kW
Pompvermogen: het vermogen dat aan het water wordt gegeven is het hydraulisch vermogen Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp. De as moet meer leveren omdat de pomp verliezen heeft: Pshaft = Ph/ηpump, en de motor neemt Pel = Pshaft/ηmotor op. De opvoerhoogte H volgt uit de energievergelijking: statische opvoerhoogte + drukhoogte + alle wrijvings- en plaatselijke verliezen.
Hydraulisch vermogen
Ph = ρ·g·Q·H = 1000·9,81·0,01·58 = 5,69 kW
Asvermogen
Pshaft = 5,69/0,75 = 7,586 kW
Elektrisch vermogen
Pel = 7,586/0,94 = 8,071 kW
Antwoord
Pel = 8,071 kW
8.Pompen en pompvermogen
Antwoord: H = 55,57 m
Pompvermogen: het vermogen dat aan het water wordt gegeven is het hydraulisch vermogen Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp. De as moet meer leveren omdat de pomp verliezen heeft: Pshaft = Ph/ηpump, en de motor neemt Pel = Pshaft/ηmotor op. De opvoerhoogte H volgt uit de energievergelijking: statische opvoerhoogte + drukhoogte + alle wrijvings- en plaatselijke verliezen.
Snelheid
V = Q/A = 0,12/0,04909 = 2,445 m/s
V²/(2g) = 0,3046 m
Drukhoogteverliezen
hL = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (9 + 8)·0,3046 = 5,178 m
Drukhoogte
p/(ρ·g) = 200000/(1000·9,81) = 20,39 m
Opvoerhoogte van de pomp
Beide oppervlakken zijn praktisch in rust, dus er is geen term voor de snelheidshoogte.
H = Δz + p/(ρ·g) + hL = 30 + 20,39 + 5,178 = 55,57 m
Antwoord
H = 55,57 m
ExamProblems · examproblems.com/courses/fluid-mechanics