Stromingsleer: samenvattingspakket

Formuleoverzichten, de belangrijkste methodestappen voor elk onderwerp en 8 oefenopgaven, met volledige oplossingen achterin.

Nieuwe opgavenTerug naar het vak

Kies in het printvenster “Opslaan als pdf” om een kopie op je apparaat te bewaren.

1Formules en methoden

Hydrostatische kracht

Druk op diepte
p = ρgh
Kracht op een verticale wand
F = ρg·hc·A
Drukpunt
yp = yc + Ic/(ycA)
Rechthoek
Ic = bH³/12

Continuïteit en Bernoulli

Continuïteit
A1v1 = A2v2
Bernoulli
p1 + ½ρv1² + ρgz1 = p2 + ½ρv2² + ρgz2
Debiet
Q = A·v
Oppervlakte van een cirkel
A = πd²/4

Leidingwrijving en drukhoogteverlies

Getal van Reynolds
Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
Stromingsregime
laminair onder Re ≈ 2000, turbulent boven Re ≈ 4000
Gemiddelde snelheid
V = Q/A, A = π·D²/4
Darcy–Weisbach
hf = f·(L/D)·V²/(2g)
Plaatselijke verliezen
hm = ΣK·V²/(2g)
Gangbare K-waarden
intrede 0,5, uittrede 1,0, bocht van 90° ≈ 0,3
Drukval
Δp = ρ·g·hf
Twee open reservoirs
Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
Vrije uitstroming
H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Pompen en pompvermogen

Hydraulisch vermogen
Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp
Asvermogen
Pshaft = Ph/ηpump
Elektrisch vermogen
Pel = Pshaft/ηmotor
Opvoerhoogte van de pomp
H = Δz + Δp/(ρ·g) + hL
Systeemverliezen
hL = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

2Oefenopgaven

1.Hydrostatische krachtGemiddeld
schuifd = 2 mH = 1,5 m

Een verticale rechthoekige schuif van 1,5 m breed zit in de wand van een tank met water, met de bovenrand 2 m onder het oppervlak. Vind de resulterende hydrostatische kracht F op de schuif.

d = 2 mH = 1,5 mb = 1,5 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²
F = kN
2.Hydrostatische krachtMoeilijk
schuifd = 2,5 mH = 2,5 m

Een verticale rechthoekige schuif van 1,5 m breed zit in de wand van een tank met olie, met de bovenrand 2,5 m onder het oppervlak. Vind de diepte ycp van het drukpunt onder het oppervlak.

d = 2,5 mH = 2,5 mb = 1,5 mρ = 880 kg/m³g = 9,81 m/s²
ycp = m
3.Continuïteit en BernoulliGemiddeld
d1​ = 250 mmd2​ = 125 mm12p1​ − p2​ = 59 kPaQ = ?

Water stroomt door een horizontale venturimeter met een inlaatdiameter van 250 mm en een keeldiameter van 125 mm. De druk bij de inlaat is 59 kPa hoger dan in de keel. Vind, zonder verliezen, het debiet Q.

d1 = 250 mmd2 = 125 mmp1 − p2 = 59 kPaρ = 1000 kg/m³
Q = L/s
4.Continuïteit en BernoulliMoeilijk
12d1​ = 75 mm, p1​ = 150 kPad2​ = 50 mm, p2​ = ?Δz = 1 m

Water stroomt omhoog door een leiding die versmalt van 75 mm naar 50 mm en daarbij 1 m stijgt. In doorsnede 1 is de druk 150 kPa en de snelheid 2,75 m/s. Verwaarloos verliezen en vind de druk p2 in doorsnede 2.

d1 = 75 mmd2 = 50 mmp1 = 150 kPav1 = 2,75 m/sΔz = 1 mρ = 1000 kg/m³
p2 = kPa
5.Leidingwrijving en drukhoogteverliesGemiddeld
Q = 4 L/sD = 50 mmL = 800 mf = 0,025

Water stroomt met 4 L/s door een leiding van 800 m lang met een binnendiameter van 50 mm. Gebruik de Darcy-wrijvingsfactor f = 0,025 en g = 9,81 m/s². Vind het wrijvingsverlies hf.

Q = 4 L/sL = 800 mD = 50 mmf = 0,025g = 9,81 m/s²
hf = m
6.Leidingwrijving en drukhoogteverliesMoeilijk
K = 10Δz = ?L = 100 m, D = 250 mm, f = 0,024× bocht (K = 0,3)

Twee open reservoirs zijn verbonden door een leiding van 100 m lang met een binnendiameter van 250 mm en een Darcy-wrijvingsfactor f = 0,02. De plaatselijke verliezen zijn een scherpe intrede (K = 0,5), 4 bochten (K = 0,3 per stuk), een afsluiter (K = 10) en de uittrede in het lagere reservoir (K = 1,0). Gebruik g = 9,81 m/s². Welk niveauverschil Δz tussen de reservoirs geeft een debiet van 75 L/s?

Q = 75 L/sL = 100 mD = 250 mmf = 0,02Kentrance = 0,5Kbend = 0,3 (×4)Kvalve = 10Kexit = 1,0
Δz = m
7.Pompen en pompvermogenGemiddeld
PQ = 100 L/sH = 50 m

Een pomp met een rendement van 78% levert 100 L/s water (ρ = 1000 kg/m³) tegen een opvoerhoogte van 50 m. Gebruik g = 9,81 m/s². Vind het benodigde asvermogen Pshaft, in kW.

Q = 100 L/sH = 50 mη = 78%g = 9,81 m/s²
Pshaft = kW
8.Pompen en pompvermogenMoeilijk
PQ = 50 L/sΔz = 7 mL = 600 m, D = 150 mm, f = 0,015, ΣK = 5

Een pomp verplaatst 50 L/s water (ρ = 1000 kg/m³) van een open lager reservoir naar een hoger gelegen tank waarvan het wateroppervlak 7 m hoger ligt. De leiding is 600 m lang met een binnendiameter van 150 mm en een Darcy-wrijvingsfactor f = 0,015; de coëfficiënten voor plaatselijke verliezen tellen op tot ΣK = 5 (intrede en uittrede inbegrepen). Gebruik g = 9,81 m/s². Het pomprendement is 82%. Vind het asvermogen Pshaft in kW.

Q = 50 L/sΔz = 7 mL = 600 mD = 150 mmf = 0,015ΣK = 5η = 82%
Pshaft = kW

3Oplossingen

1.Hydrostatische kracht

Antwoord: F = 60,7 kN

Hydrostatische kracht op een vlak oppervlak: F = ρ·g·yc·A. De kracht grijpt aan in het drukpunt, ycp = yc + Ic/(ycA), dat altijd onder het zwaartepunt ligt.

Diepte van het zwaartepunt en oppervlakte

yc = d + H/2 = 2 + 1,5/2 = 2,75 m
A = H·b = 1,5·1,5 = 2,25 m²
schuifd = 2 mH = 1,5 mF

Resulterende kracht

F = ρ·g·yc·A = 1000·9,81·2,75·2,25 = 60,7 kN

Antwoord

F = 60,7 kN
2.Hydrostatische kracht

Antwoord: ycp = 3,889 m

Hydrostatische kracht op een vlak oppervlak: F = ρ·g·yc·A. De kracht grijpt aan in het drukpunt, ycp = yc + Ic/(ycA), dat altijd onder het zwaartepunt ligt.

Diepte van het zwaartepunt en oppervlakte

yc = d + H/2 = 2,5 + 2,5/2 = 3,75 m
A = H·b = 2,5·1,5 = 3,75 m²
schuifd = 2,5 mH = 2,5 mF

Resulterende kracht

F = ρ·g·yc·A = 880·9,81·3,75·3,75 = 121,4 kN

Drukpunt

De druk neemt toe met de diepte, dus de resultante grijpt aan onder het zwaartepunt.

Ic = b·H³/12 = 1,5·2,5³/12 = 1,953 m⁴
ycp = yc + Ic/(yc·A) = 3,75 + 1,953/(3,75·3,75) = 3,889 m

Antwoord

ycp = 3,889 m
3.Continuïteit en Bernoulli

Antwoord: Q = 137,7 L/s

Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.

Continuïteit

v1 = v2·(125/250)² = 0,25·v2

Bernoulli tussen inlaat en keel

De leiding is horizontaal, dus alleen druk en snelheid veranderen.

p1 − p2 = ½ρv2²(1 − β⁴)
v2 = √(2·59000/(1000·(1 − 0,0625))) = 11,22 m/s
v1 = 2,805 m/s

Debiet

Q = A2·v2 = 0,01227·11,22 = 0,1377 m³/s = 137,7 L/s

Antwoord

Q = 137,7 L/s
4.Continuïteit en Bernoulli

Antwoord: p2 = 124,8 kPa

Continuïteit en Bernoulli: voor een onsamendrukbare vloeistof is het debiet in elke doorsnede gelijk, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Langs een stroomlijn zonder verliezen is p + ½ρv² + ρgz constant, dus waar de vloeistof sneller stroomt of hoger ligt, is de druk lager.

Continuïteit en Bernoulli

Werk in Pa, en deel dan door 1000 om kPa te krijgen.

v2 = v1·(d1/d2)² = 2,75·(75/50)² = 6,188 m/s
½ρ(v1² − v2²) = ½·1000·(2,75² − 6,188²)/1000 = −15,36 kPa
ρgΔz = 1000·9,81·1/1000 = 9,81 kPa
p2 = p1 + ½ρ(v1² − v2²) − ρgΔz = 150 + (−15,36) − 9,81 = 124,8 kPa

Antwoord

p2 = 124,8 kPa
5.Leidingwrijving en drukhoogteverlies

Antwoord: hf = 84,61 m

Leidingstroming: het getal van Reynolds Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ onderscheidt laminaire stroming (Re onder ongeveer 2000) van turbulente stroming (boven ongeveer 4000). Wrijving langs een leiding kost het drukhoogteverlies volgens Darcy–Weisbach hf = f·(L/D)·V²/(2g). Hulpstukken, afsluiters, de intrede en de uittrede geven plaatselijke verliezen hm = ΣK·V²/(2g). Tussen twee open reservoiroppervlakken geeft de energievergelijking Δz = hf + hm, inclusief het uittredeverlies K = 1.

Gemiddelde snelheid

A = π·0,05²/4 = 0,001963 m²
V = Q/A = 0,004/0,001963 = 2,037 m/s

Snelheidshoogte

V²/(2g) = 2,037²/(2·9,81) = 0,2115 m

Darcy–Weisbach

hf = f·(L/D)·V²/(2g) = 0,025·(800/0,05)·2,037²/(2·9,81) = 84,61 m

Antwoord

hf = 84,61 m
6.Leidingwrijving en drukhoogteverlies

Antwoord: Δz = 2,463 m

Leidingstroming: het getal van Reynolds Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ onderscheidt laminaire stroming (Re onder ongeveer 2000) van turbulente stroming (boven ongeveer 4000). Wrijving langs een leiding kost het drukhoogteverlies volgens Darcy–Weisbach hf = f·(L/D)·V²/(2g). Hulpstukken, afsluiters, de intrede en de uittrede geven plaatselijke verliezen hm = ΣK·V²/(2g). Tussen twee open reservoiroppervlakken geeft de energievergelijking Δz = hf + hm, inclusief het uittredeverlies K = 1.

Snelheid

V = Q/A = 0,075/0,04909 = 1,528 m/s
V²/(2g) = 0,119 m

Verliescoëfficiënten

f·L/D = 0,02·100/0,25 = 8
ΣK = 0,5 + 4·0,3 + 10 + 1,0 = 12,7

Totaal drukhoogteverlies

hf = 8·0,119 = 0,9519 m
hm = 12,7·0,119 = 1,511 m
Δz = hf + hm = 2,463 m

Antwoord

Δz = 2,463 m
7.Pompen en pompvermogen

Antwoord: Pshaft = 62,88 kW

Pompvermogen: het vermogen dat aan het water wordt gegeven is het hydraulisch vermogen Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp. De as moet meer leveren omdat de pomp verliezen heeft: Pshaft = Ph/ηpump, en de motor neemt Pel = Pshaft/ηmotor op. De opvoerhoogte H volgt uit de energievergelijking: statische opvoerhoogte + drukhoogte + alle wrijvings- en plaatselijke verliezen.

Hydraulisch vermogen

Ph = ρ·g·Q·H = 1000·9,81·0,1·50 = 49,05 kW

Asvermogen

Pshaft = Ph/η = 49,05/0,78 = 62,88 kW

Antwoord

Pshaft = 62,88 kW
8.Pompen en pompvermogen

Antwoord: Pshaft = 20,05 kW

Pompvermogen: het vermogen dat aan het water wordt gegeven is het hydraulisch vermogen Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp. De as moet meer leveren omdat de pomp verliezen heeft: Pshaft = Ph/ηpump, en de motor neemt Pel = Pshaft/ηmotor op. De opvoerhoogte H volgt uit de energievergelijking: statische opvoerhoogte + drukhoogte + alle wrijvings- en plaatselijke verliezen.

Snelheid

V = Q/A = 0,05/0,01767 = 2,829 m/s
V²/(2g) = 0,408 m

Drukhoogteverliezen

hL = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (60 + 5)·0,408 = 26,52 m

Opvoerhoogte van de pomp

H = Δz + hL = 7 + 26,52 = 33,52 m

Asvermogen

Pshaft = ρ·g·Q·H/η = 1000·9,81·0,05·33,52/0,82 = 20,05 kW

Antwoord

Pshaft = 20,05 kW

ExamProblems · examproblems.com/courses/fluid-mechanics