Stromingsleer: samenvattingspakket

Formuleoverzichten, de belangrijkste methodestappen voor elk onderwerp en 8 oefenopgaven, met volledige oplossingen achterin.

Nieuwe opgaven Terug naar het vak

Kies in het printvenster “Opslaan als pdf” om een kopie op je apparaat te bewaren.

1Formules en methoden

Hydrostatische kracht

Druk op diepte: p = ρgh
Kracht op een verticale wand: F = ρg·h_c·A
Drukpunt: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
Rechthoek: I_c = bH³/12

Continuïteit en Bernoulli

Continuïteit: A₁v₁ = A₂v₂
Bernoulli: p₁ + ½ρv₁² + ρgz₁ = p₂ + ½ρv₂² + ρgz₂
Debiet: Q = A·v
Oppervlakte van een cirkel: A = πd²/4

Leidingwrijving en drukhoogteverlies

Getal van Reynolds: Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
Stromingsregime: laminair onder Re ≈ 2000, turbulent boven Re ≈ 4000
Gemiddelde snelheid: V = Q/A, A = π·D²/4
Darcy–Weisbach: h_f = f·(L/D)·V²/(2g)
Plaatselijke verliezen: h_m = ΣK·V²/(2g)
Gangbare K-waarden: intrede 0,5, uittrede 1,0, bocht van 90° ≈ 0,3
Drukval: Δp = ρ·g·h_f
Twee open reservoirs: Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
Vrije uitstroming: H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Pompen en pompvermogen

Hydraulisch vermogen: P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp
Asvermogen: P_shaft = P_h/η_pump
Elektrisch vermogen: P_el = P_shaft/η_motor
Opvoerhoogte van de pomp: H = Δz + Δp/(ρ·g) + h_L
Systeemverliezen: h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

2Oefenopgaven

1.Hydrostatische krachtGemiddeld

Een verticale rechthoekige schuif van 2 m breed zit in de wand van een tank met water, met de bovenrand 3 m onder het oppervlak. Vind de resulterende hydrostatische kracht F op de schuif.

d = 3 mH = 2,5 mb = 2 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²

F = kN

2.Hydrostatische krachtMoeilijk

Een verticale rechthoekige schuif van 2 m breed zit in de wand van een tank met olie, met de bovenrand 2 m onder het oppervlak. Vind de diepte y_cp van het drukpunt onder het oppervlak.

d = 2 mH = 3 mb = 2 mρ = 880 kg/m³g = 9,81 m/s²

y_cp = m

3.Continuïteit en BernoulliGemiddeld

Water stroomt door een horizontale leiding die versmalt van 75 mm naar 25 mm. In het brede deel is de druk 190 kPa en de snelheid 1 m/s. Verwaarloos verliezen en vind de druk p₂ in het smalle deel.

d₁ = 75 mmd₂ = 25 mmp₁ = 190 kPav₁ = 1 m/sρ = 1000 kg/m³

p₂ = kPa

4.Continuïteit en BernoulliMoeilijk

Een slang met een binnendiameter van 40 mm hevelt water uit een open tank. Het hoogste punt C van de slang ligt 2 m boven het wateroppervlak, en de uitlaat (open naar de lucht) ligt 4 m onder het wateroppervlak. Verwaarloos verliezen en neem g = 9,81 m/s². Vind het debiet Q.

d = 40 mmz_C = +2 mz₂ = −4 mg = 9,81 m/s²

Q = L/s

5.Leidingwrijving en drukhoogteverliesGemiddeld

Water stroomt met 80 L/s door een leiding van 150 m lang met een binnendiameter van 250 mm. Gebruik de Darcy-wrijvingsfactor f = 0,02 en g = 9,81 m/s². Vind het wrijvingsverlies h_f.

Q = 80 L/sL = 150 mD = 250 mmf = 0,02g = 9,81 m/s²

h_f = m

6.Leidingwrijving en drukhoogteverliesMoeilijk

Twee open reservoirs zijn verbonden door een leiding van 150 m lang met een binnendiameter van 200 mm en een Darcy-wrijvingsfactor f = 0,022. Het wateroppervlak van het bovenste reservoir ligt 22 m boven dat van het onderste. De plaatselijke verliezen zijn een scherpe intrede (K = 0,5), 4 bochten (K = 0,3 per stuk), een afsluiter (K = 5) en de uittrede in het lagere reservoir (K = 1,0). Gebruik g = 9,81 m/s². Vind het debiet Q in L/s.

Δz = 22 mL = 150 mD = 200 mmf = 0,022K_entrance = 0,5K_bend = 0,3 (×4)K_valve = 5K_exit = 1,0

Q = L/s

7.Pompen en pompvermogenGemiddeld

Een pomp levert 10 L/s water (ρ = 1000 kg/m³) tegen een opvoerhoogte van 58 m. Het pomprendement is 75% en de elektromotor die de pomp aandrijft heeft een rendement van 88%. Gebruik g = 9,81 m/s². Vind het elektrisch vermogen P_el dat de motor opneemt, in kW.

Q = 10 L/sH = 58 mη_pump = 75%η_motor = 88%g = 9,81 m/s²

P_el = kW

8.Pompen en pompvermogenMoeilijk

Een pomp verplaatst 75 L/s water (ρ = 1000 kg/m³) van een open lager reservoir naar een hoger gelegen tank waarvan het wateroppervlak 8 m hoger ligt. De leiding is 600 m lang met een binnendiameter van 200 mm en een Darcy-wrijvingsfactor f = 0,025; de coëfficiënten voor plaatselijke verliezen tellen op tot ΣK = 6 (intrede en uittrede inbegrepen). Gebruik g = 9,81 m/s². Het pomprendement is 75%. Vind het asvermogen P_shaft in kW.

Q = 75 L/sΔz = 8 mL = 600 mD = 200 mmf = 0,025ΣK = 6η = 75%

P_shaft = kW

3Oplossingen

1.Hydrostatische kracht

Antwoord: F = 208,5 kN

Hydrostatische kracht op een vlak oppervlak: F = ρ·g·y_c·A. De kracht grijpt aan in het drukpunt, y_cp = y_c + I_c/(y_cA), dat altijd onder het zwaartepunt ligt.

Diepte van het zwaartepunt en oppervlakte

y_c = d + H/2 = 3 + 2,5/2 = 4,25 m

A = H·b = 2,5·2 = 5 m²

Resulterende kracht

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9,81·4,25·5 = 208,5 kN

Antwoord

F = 208,5 kN

2.Hydrostatische kracht

Antwoord: y_cp = 3,714 m

Hydrostatische kracht op een vlak oppervlak: F = ρ·g·y_c·A. De kracht grijpt aan in het drukpunt, y_cp = y_c + I_c/(y_cA), dat altijd onder het zwaartepunt ligt.

Diepte van het zwaartepunt en oppervlakte

y_c = d + H/2 = 2 + 3/2 = 3,5 m

A = H·b = 3·2 = 6 m²

Resulterende kracht

F = ρ·g·y_c·A = 880·9,81·3,5·6 = 181,3 kN

Drukpunt

De druk neemt toe met de diepte, dus de resultante grijpt aan onder het zwaartepunt.

I_c = b·H³/12 = 2·3³/12 = 4,5 m⁴

y_cp = y_c + I_c/(y_c·A) = 3,5 + 4,5/(3,5·6) = 3,714 m

Antwoord

y_cp = 3,714 m

3.Continuïteit en Bernoulli

Antwoord: p₂ = 150 kPa

Continuïteit en Bernoulli: voor een onsamendrukbare vloeistof is het debiet in elke doorsnede gelijk, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Langs een stroomlijn zonder verliezen is p + ½ρv² + ρgz constant, dus waar de vloeistof sneller stroomt of hoger ligt, is de druk lager.

Continuïteit en Bernoulli

Werk in Pa, en deel dan door 1000 om kPa te krijgen.

v₂ = v₁·(d₁/d₂)² = 1·(75/25)² = 9 m/s

½ρ(v₁² − v₂²) = ½·1000·(1² − 9²)/1000 = −40 kPa

p₂ = p₁ + ½ρ(v₁² − v₂²) = 190 + (−40) = 150 kPa

Antwoord

p₂ = 150 kPa

4.Continuïteit en Bernoulli

Antwoord: Q = 11,13 L/s

Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.

Snelheid in de slang

Oppervlak en uitlaat zijn allebei open naar de lucht, dus de drukterm valt weg.

v = √(2g·4) = √(2·9,81·4) = 8,859 m/s

Debiet

Q = A·v = 0,001257·8,859 = 0,01113 m³/s = 11,13 L/s

Antwoord

Q = 11,13 L/s

5.Leidingwrijving en drukhoogteverlies

Antwoord: h_f = 1,625 m

Leidingstroming: het getal van Reynolds Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ onderscheidt laminaire stroming (Re onder ongeveer 2000) van turbulente stroming (boven ongeveer 4000). Wrijving langs een leiding kost het drukhoogteverlies volgens Darcy–Weisbach h_f = f·(L/D)·V²/(2g). Hulpstukken, afsluiters, de intrede en de uittrede geven plaatselijke verliezen h_m = ΣK·V²/(2g). Tussen twee open reservoiroppervlakken geeft de energievergelijking Δz = h_f + h_m, inclusief het uittredeverlies K = 1.

Gemiddelde snelheid

A = π·0,25²/4 = 0,04909 m²

V = Q/A = 0,08/0,04909 = 1,63 m/s

Snelheidshoogte

V²/(2g) = 1,63²/(2·9,81) = 0,1354 m

Darcy–Weisbach

h_f = f·(L/D)·V²/(2g) = 0,02·(150/0,25)·1,63²/(2·9,81) = 1,625 m

Antwoord

h_f = 1,625 m

6.Leidingwrijving en drukhoogteverlies

Antwoord: Q = 132,7 L/s

Verliescoëfficiënten

f·L/D = 0,022·150/0,2 = 16,5

ΣK = 0,5 + 4·0,3 + 5 + 1,0 = 7,7

Energievergelijking

Beide oppervlakken staan open naar de lucht en zijn praktisch in rust, dus heel Δz gaat verloren in de leiding.

22 = (16,5 + 7,7)·V²/(2·9,81)

V = √(2·9,81·22/24,2) = 4,223 m/s

Debiet

Q = V·π·D²/4 = 4,223·0,03142 = 0,1327 m³/s = 132,7 L/s

Antwoord

Q = 132,7 L/s

7.Pompen en pompvermogen

Antwoord: P_el = 8,621 kW

Pompvermogen: het vermogen dat aan het water wordt gegeven is het hydraulisch vermogen P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp. De as moet meer leveren omdat de pomp verliezen heeft: P_shaft = P_h/η_pump, en de motor neemt P_el = P_shaft/η_motor op. De opvoerhoogte H volgt uit de energievergelijking: statische opvoerhoogte + drukhoogte + alle wrijvings- en plaatselijke verliezen.

Hydraulisch vermogen

P_h = ρ·g·Q·H = 1000·9,81·0,01·58 = 5,69 kW

Asvermogen

P_shaft = 5,69/0,75 = 7,586 kW

Elektrisch vermogen

P_el = 7,586/0,88 = 8,621 kW

Antwoord

P_el = 8,621 kW

8.Pompen en pompvermogen

Antwoord: P_shaft = 30,93 kW

Snelheid

V = Q/A = 0,075/0,03142 = 2,387 m/s

V²/(2g) = 0,2905 m

Drukhoogteverliezen

h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (75 + 6)·0,2905 = 23,53 m

Opvoerhoogte van de pomp

H = Δz + h_L = 8 + 23,53 = 31,53 m

Asvermogen

P_shaft = ρ·g·Q·H/η = 1000·9,81·0,075·31,53/0,75 = 30,93 kW

Antwoord

P_shaft = 30,93 kW

ExamProblems · examproblems.com/courses/fluid-mechanics