Hydrostatische kracht
- Druk op diepte
- p = ρgh
- Kracht op een verticale wand
- F = ρg·hc·A
- Drukpunt
- yp = yc + Ic/(ycA)
- Rechthoek
- Ic = bH³/12
Stromingsleer: samenvattingspakket
Formuleoverzichten, de belangrijkste methodestappen voor elk onderwerp en 8 oefenopgaven, met volledige oplossingen achterin.
1Formules en methoden
Continuïteit en Bernoulli
- Continuïteit
- A1v1 = A2v2
- Bernoulli
- p1 + ½ρv1² + ρgz1 = p2 + ½ρv2² + ρgz2
- Debiet
- Q = A·v
- Oppervlakte van een cirkel
- A = πd²/4
Leidingwrijving en drukhoogteverlies
- Getal van Reynolds
- Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
- Stromingsregime
- laminair onder Re ≈ 2000, turbulent boven Re ≈ 4000
- Gemiddelde snelheid
- V = Q/A, A = π·D²/4
- Darcy–Weisbach
- hf = f·(L/D)·V²/(2g)
- Plaatselijke verliezen
- hm = ΣK·V²/(2g)
- Gangbare K-waarden
- intrede 0,5, uittrede 1,0, bocht van 90° ≈ 0,3
- Drukval
- Δp = ρ·g·hf
- Twee open reservoirs
- Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
- Vrije uitstroming
- H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
Pompen en pompvermogen
- Hydraulisch vermogen
- Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp
- Asvermogen
- Pshaft = Ph/ηpump
- Elektrisch vermogen
- Pel = Pshaft/ηmotor
- Opvoerhoogte van de pomp
- H = Δz + Δp/(ρ·g) + hL
- Systeemverliezen
- hL = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
2Oefenopgaven
1.Hydrostatische krachtGemiddeld
Een verticale rechthoekige schuif van 2 m breed zit in de wand van een tank met water, met de bovenrand 4 m onder het oppervlak. Vind de resulterende hydrostatische kracht F op de schuif.
d = 4 mH = 2 mb = 2 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²
F = kN
2.Hydrostatische krachtMoeilijk
Een verticale rechthoekige schuif van 2 m breed zit in de wand van een tank met zeewater, met de bovenrand 1,5 m onder het oppervlak. Vind de diepte ycp van het drukpunt onder het oppervlak.
d = 1,5 mH = 3 mb = 2 mρ = 1025 kg/m³g = 9,81 m/s²
ycp = m
3.Continuïteit en BernoulliGemiddeld
Water stroomt door een horizontale leiding die versmalt van 150 mm naar 100 mm. In het brede deel is de druk 350 kPa en de snelheid 1,5 m/s. Verwaarloos verliezen en vind de druk p2 in het smalle deel.
d1 = 150 mmd2 = 100 mmp1 = 350 kPav1 = 1,5 m/sρ = 1000 kg/m³
p2 = kPa
4.Continuïteit en BernoulliMoeilijk
Een horizontale venturimeter (inlaat 150 mm, keel 75 mm) voert water. Een kwik-U-buismanometer tussen de inlaat en de keel toont een niveauverschil van 120 mm. De afvoercoëfficiënt is 0,99. Vind het debiet Q. Gebruik ρ = 1000 kg/m³ voor water, 13 600 kg/m³ voor kwik en g = 9,81 m/s².
d1 = 150 mmd2 = 75 mmΔh = 120 mmCd = 0,99ρHg = 13 600 kg/m³g = 9,81 m/s²
Q = L/s
5.Leidingwrijving en drukhoogteverliesGemiddeld
Water stroomt met een gemiddelde snelheid van 1,3 m/s door een leiding van 500 m lang met een binnendiameter van 250 mm. Gebruik de Darcy-wrijvingsfactor f = 0,028 en g = 9,81 m/s². Vind het wrijvingsverlies hf.
V = 1,3 m/sL = 500 mD = 250 mmf = 0,028g = 9,81 m/s²
hf = m
6.Leidingwrijving en drukhoogteverliesMoeilijk
Een leiding van 100 m lang met een binnendiameter van 300 mm (Darcy-wrijvingsfactor f = 0,02) loopt vanuit een open reservoir en stroomt als vrije straal uit in de lucht. De plaatselijke verliezen zijn een scherpe intrede (K = 0,5), 2 bochten (K = 0,3 per stuk) en een afsluiter (K = 5). Gebruik g = 9,81 m/s². Hoe hoog H moet het reservoiroppervlak boven de uitstroomopening liggen voor een debiet van 100 L/s?
Q = 100 L/sL = 100 mD = 300 mmf = 0,02Kentrance = 0,5Kbend = 0,3 (×2)Kvalve = 5
H = m
7.Pompen en pompvermogenGemiddeld
Bij een test levert een pomp 20 L/s water (ρ = 1000 kg/m³) tegen een opvoerhoogte van 28 m, terwijl de as 8,5 kW opneemt. Gebruik g = 9,81 m/s². Vind het pomprendement η in procent.
Q = 20 L/sH = 28 mPshaft = 8,5 kWg = 9,81 m/s²
η = %
8.Pompen en pompvermogenMoeilijk
Een pomp verplaatst 120 L/s water (ρ = 1000 kg/m³) van een open lager reservoir naar een hoger gelegen tank waarvan het wateroppervlak 21 m hoger ligt. De leiding is 600 m lang met een binnendiameter van 250 mm en een Darcy-wrijvingsfactor f = 0,015; de coëfficiënten voor plaatselijke verliezen tellen op tot ΣK = 8 (intrede en uittrede inbegrepen). Gebruik g = 9,81 m/s². Het pomprendement is 85%. Vind het asvermogen Pshaft in kW.
Q = 120 L/sΔz = 21 mL = 600 mD = 250 mmf = 0,015ΣK = 8η = 85%
Pshaft = kW
3Oplossingen
1.Hydrostatische kracht
Antwoord: F = 196,2 kN
Hydrostatische kracht op een vlak oppervlak: F = ρ·g·yc·A. De kracht grijpt aan in het drukpunt, ycp = yc + Ic/(ycA), dat altijd onder het zwaartepunt ligt.
Diepte van het zwaartepunt en oppervlakte
yc = d + H/2 = 4 + 2/2 = 5 m
A = H·b = 2·2 = 4 m²
Resulterende kracht
F = ρ·g·yc·A = 1000·9,81·5·4 = 196,2 kN
Antwoord
F = 196,2 kN
2.Hydrostatische kracht
Antwoord: ycp = 3,25 m
Hydrostatische kracht op een vlak oppervlak: F = ρ·g·yc·A. De kracht grijpt aan in het drukpunt, ycp = yc + Ic/(ycA), dat altijd onder het zwaartepunt ligt.
Diepte van het zwaartepunt en oppervlakte
yc = d + H/2 = 1,5 + 3/2 = 3 m
A = H·b = 3·2 = 6 m²
Resulterende kracht
F = ρ·g·yc·A = 1025·9,81·3·6 = 181 kN
Drukpunt
De druk neemt toe met de diepte, dus de resultante grijpt aan onder het zwaartepunt.
Ic = b·H³/12 = 2·3³/12 = 4,5 m⁴
ycp = yc + Ic/(yc·A) = 3 + 4,5/(3·6) = 3,25 m
Antwoord
ycp = 3,25 m
3.Continuïteit en Bernoulli
Antwoord: p2 = 345,4 kPa
Continuïteit en Bernoulli: voor een onsamendrukbare vloeistof is het debiet in elke doorsnede gelijk, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Langs een stroomlijn zonder verliezen is p + ½ρv² + ρgz constant, dus waar de vloeistof sneller stroomt of hoger ligt, is de druk lager.
Continuïteit en Bernoulli
Werk in Pa, en deel dan door 1000 om kPa te krijgen.
v2 = v1·(d1/d2)² = 1,5·(150/100)² = 3,375 m/s
½ρ(v1² − v2²) = ½·1000·(1,5² − 3,375²)/1000 = −4,57 kPa
p2 = p1 + ½ρ(v1² − v2²) = 350 + (−4,57) = 345,4 kPa
Antwoord
p2 = 345,4 kPa
4.Continuïteit en Bernoulli
Antwoord: Q = 24,6 L/s
Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.
Drukverschil uit de manometer
Δp = (13600 − 1000)·9,81·0,12 = 14833 Pa
Snelheid in de keel
Continuïteit en Bernoulli samen geven de ideale snelheid in de keel.
β = 75/150 = 0,5
v2 = √(2·14833/(1000·(1 − 0,0625))) = 5,625 m/s
Werkelijk debiet
Q = Cd·A2·v2 = 0,99·0,004418·5,625 = 0,0246 m³/s = 24,6 L/s
Antwoord
Q = 24,6 L/s
5.Leidingwrijving en drukhoogteverlies
Antwoord: hf = 4,824 m
Leidingstroming: het getal van Reynolds Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ onderscheidt laminaire stroming (Re onder ongeveer 2000) van turbulente stroming (boven ongeveer 4000). Wrijving langs een leiding kost het drukhoogteverlies volgens Darcy–Weisbach hf = f·(L/D)·V²/(2g). Hulpstukken, afsluiters, de intrede en de uittrede geven plaatselijke verliezen hm = ΣK·V²/(2g). Tussen twee open reservoiroppervlakken geeft de energievergelijking Δz = hf + hm, inclusief het uittredeverlies K = 1.
Snelheidshoogte
V²/(2g) = 1,3²/(2·9,81) = 0,08614 m
Darcy–Weisbach
hf = f·(L/D)·V²/(2g) = 0,028·(500/0,25)·1,3²/(2·9,81) = 4,824 m
Antwoord
hf = 4,824 m
6.Leidingwrijving en drukhoogteverlies
Antwoord: H = 1,404 m
Leidingstroming: het getal van Reynolds Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ onderscheidt laminaire stroming (Re onder ongeveer 2000) van turbulente stroming (boven ongeveer 4000). Wrijving langs een leiding kost het drukhoogteverlies volgens Darcy–Weisbach hf = f·(L/D)·V²/(2g). Hulpstukken, afsluiters, de intrede en de uittrede geven plaatselijke verliezen hm = ΣK·V²/(2g). Tussen twee open reservoiroppervlakken geeft de energievergelijking Δz = hf + hm, inclusief het uittredeverlies K = 1.
Snelheid
V = Q/A = 0,1/0,07069 = 1,415 m/s
V²/(2g) = 0,102 m
Verliescoëfficiënten
f·L/D = 0,02·100/0,3 = 6,667
ΣK = 0,5 + 2·0,3 + 5 = 6,1
Energievergelijking
De uitstromende straal heeft nog zijn snelheidshoogte; dat is geen verlies, maar die moet wel geleverd worden.
H = (1 + 6,667 + 6,1)·0,102 = 1,404 m
Antwoord
H = 1,404 m
7.Pompen en pompvermogen
Antwoord: η = 64,63 %
Pompvermogen: het vermogen dat aan het water wordt gegeven is het hydraulisch vermogen Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp. De as moet meer leveren omdat de pomp verliezen heeft: Pshaft = Ph/ηpump, en de motor neemt Pel = Pshaft/ηmotor op. De opvoerhoogte H volgt uit de energievergelijking: statische opvoerhoogte + drukhoogte + alle wrijvings- en plaatselijke verliezen.
Hydraulisch vermogen
Ph = ρ·g·Q·H = 1000·9,81·0,02·28 = 5,494 kW
Rendement
η = Ph/Pshaft = 5,494/8,5 = 64,63%
Antwoord
η = 64,63%
8.Pompen en pompvermogen
Antwoord: Pshaft = 47,65 kW
Pompvermogen: het vermogen dat aan het water wordt gegeven is het hydraulisch vermogen Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp. De as moet meer leveren omdat de pomp verliezen heeft: Pshaft = Ph/ηpump, en de motor neemt Pel = Pshaft/ηmotor op. De opvoerhoogte H volgt uit de energievergelijking: statische opvoerhoogte + drukhoogte + alle wrijvings- en plaatselijke verliezen.
Snelheid
V = Q/A = 0,12/0,04909 = 2,445 m/s
V²/(2g) = 0,3046 m
Drukhoogteverliezen
hL = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (36 + 8)·0,3046 = 13,4 m
Opvoerhoogte van de pomp
H = Δz + hL = 21 + 13,4 = 34,4 m
Asvermogen
Pshaft = ρ·g·Q·H/η = 1000·9,81·0,12·34,4/0,85 = 47,65 kW
Antwoord
Pshaft = 47,65 kW
ExamProblems · examproblems.com/courses/fluid-mechanics