Hydrostatische kracht
- Druk op diepte
- p = ρgh
- Kracht op een verticale wand
- F = ρg·hc·A
- Drukpunt
- yp = yc + Ic/(ycA)
- Rechthoek
- Ic = bH³/12
Stromingsleer: samenvattingspakket
Formuleoverzichten, de belangrijkste methodestappen voor elk onderwerp en 8 oefenopgaven, met volledige oplossingen achterin.
1Formules en methoden
Continuïteit en Bernoulli
- Continuïteit
- A1v1 = A2v2
- Bernoulli
- p1 + ½ρv1² + ρgz1 = p2 + ½ρv2² + ρgz2
- Debiet
- Q = A·v
- Oppervlakte van een cirkel
- A = πd²/4
Leidingwrijving en drukhoogteverlies
- Getal van Reynolds
- Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
- Stromingsregime
- laminair onder Re ≈ 2000, turbulent boven Re ≈ 4000
- Gemiddelde snelheid
- V = Q/A, A = π·D²/4
- Darcy–Weisbach
- hf = f·(L/D)·V²/(2g)
- Plaatselijke verliezen
- hm = ΣK·V²/(2g)
- Gangbare K-waarden
- intrede 0,5, uittrede 1,0, bocht van 90° ≈ 0,3
- Drukval
- Δp = ρ·g·hf
- Twee open reservoirs
- Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
- Vrije uitstroming
- H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
Pompen en pompvermogen
- Hydraulisch vermogen
- Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp
- Asvermogen
- Pshaft = Ph/ηpump
- Elektrisch vermogen
- Pel = Pshaft/ηmotor
- Opvoerhoogte van de pomp
- H = Δz + Δp/(ρ·g) + hL
- Systeemverliezen
- hL = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
2Oefenopgaven
1.Hydrostatische krachtGemiddeld
Een verticale rechthoekige schuif van 1,5 m breed zit in de wand van een tank met water, met de bovenrand 0,5 m onder het oppervlak. Vind de resulterende hydrostatische kracht F op de schuif.
d = 0,5 mH = 1 mb = 1,5 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²
F = kN
2.Hydrostatische krachtMoeilijk
Een verticale rechthoekige schuif van 3 m breed zit in de wand van een tank met glycerine, met de bovenrand 2 m onder het oppervlak. Vind de diepte ycp van het drukpunt onder het oppervlak.
d = 2 mH = 3 mb = 3 mρ = 1260 kg/m³g = 9,81 m/s²
ycp = m
3.Continuïteit en BernoulliGemiddeld
Water stroomt door een horizontale leiding die versmalt van 75 mm naar 25 mm. In het brede deel is de druk 330 kPa en de snelheid 1 m/s. Verwaarloos verliezen en vind de druk p2 in het smalle deel.
d1 = 75 mmd2 = 25 mmp1 = 330 kPav1 = 1 m/sρ = 1000 kg/m³
p2 = kPa
4.Continuïteit en BernoulliMoeilijk
Water stroomt omhoog door een leiding die versmalt van 200 mm naar 100 mm en daarbij 5 m stijgt. In doorsnede 1 is de druk 230 kPa en de snelheid 1,75 m/s. Verwaarloos verliezen en vind de druk p2 in doorsnede 2.
d1 = 200 mmd2 = 100 mmp1 = 230 kPav1 = 1,75 m/sΔz = 5 mρ = 1000 kg/m³
p2 = kPa
5.Leidingwrijving en drukhoogteverliesGemiddeld
Water stroomt met een gemiddelde snelheid van 1,8 m/s door een leiding van 500 m lang met een binnendiameter van 150 mm. Gebruik de Darcy-wrijvingsfactor f = 0,03 en g = 9,81 m/s². Vind het wrijvingsverlies hf.
V = 1,8 m/sL = 500 mD = 150 mmf = 0,03g = 9,81 m/s²
hf = m
6.Leidingwrijving en drukhoogteverliesMoeilijk
Twee open reservoirs zijn verbonden door een leiding van 150 m lang met een binnendiameter van 300 mm en een Darcy-wrijvingsfactor f = 0,022. De plaatselijke verliezen zijn een scherpe intrede (K = 0,5), 4 bochten (K = 0,3 per stuk), een afsluiter (K = 10) en de uittrede in het lagere reservoir (K = 1,0). Gebruik g = 9,81 m/s². Welk niveauverschil Δz tussen de reservoirs geeft een debiet van 75 L/s?
Q = 75 L/sL = 150 mD = 300 mmf = 0,022Kentrance = 0,5Kbend = 0,3 (×4)Kvalve = 10Kexit = 1,0
Δz = m
7.Pompen en pompvermogenGemiddeld
Een pomp levert 60 L/s water (ρ = 1000 kg/m³) tegen een opvoerhoogte van 30 m. Het pomprendement is 80% en de elektromotor die de pomp aandrijft heeft een rendement van 95%. Gebruik g = 9,81 m/s². Vind het elektrisch vermogen Pel dat de motor opneemt, in kW.
Q = 60 L/sH = 30 mηpump = 80%ηmotor = 95%g = 9,81 m/s²
Pel = kW
8.Pompen en pompvermogenMoeilijk
Een pomp verplaatst 75 L/s water (ρ = 1000 kg/m³) van een open lager reservoir naar een hoger gelegen tank waarvan het wateroppervlak 7 m hoger ligt. De leiding is 100 m lang met een binnendiameter van 200 mm en een Darcy-wrijvingsfactor f = 0,018; de coëfficiënten voor plaatselijke verliezen tellen op tot ΣK = 2 (intrede en uittrede inbegrepen). Gebruik g = 9,81 m/s². Vind de opvoerhoogte H die de pomp moet toevoegen.
Q = 75 L/sΔz = 7 mL = 100 mD = 200 mmf = 0,018ΣK = 2
H = m
3Oplossingen
1.Hydrostatische kracht
Antwoord: F = 14,71 kN
Hydrostatische kracht op een vlak oppervlak: F = ρ·g·yc·A. De kracht grijpt aan in het drukpunt, ycp = yc + Ic/(ycA), dat altijd onder het zwaartepunt ligt.
Diepte van het zwaartepunt en oppervlakte
yc = d + H/2 = 0,5 + 1/2 = 1 m
A = H·b = 1·1,5 = 1,5 m²
Resulterende kracht
F = ρ·g·yc·A = 1000·9,81·1·1,5 = 14,71 kN
Antwoord
F = 14,71 kN
2.Hydrostatische kracht
Antwoord: ycp = 3,714 m
Hydrostatische kracht op een vlak oppervlak: F = ρ·g·yc·A. De kracht grijpt aan in het drukpunt, ycp = yc + Ic/(ycA), dat altijd onder het zwaartepunt ligt.
Diepte van het zwaartepunt en oppervlakte
yc = d + H/2 = 2 + 3/2 = 3,5 m
A = H·b = 3·3 = 9 m²
Resulterende kracht
F = ρ·g·yc·A = 1260·9,81·3,5·9 = 389,4 kN
Drukpunt
De druk neemt toe met de diepte, dus de resultante grijpt aan onder het zwaartepunt.
Ic = b·H³/12 = 3·3³/12 = 6,75 m⁴
ycp = yc + Ic/(yc·A) = 3,5 + 6,75/(3,5·9) = 3,714 m
Antwoord
ycp = 3,714 m
3.Continuïteit en Bernoulli
Antwoord: p2 = 290 kPa
Continuïteit en Bernoulli: voor een onsamendrukbare vloeistof is het debiet in elke doorsnede gelijk, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Langs een stroomlijn zonder verliezen is p + ½ρv² + ρgz constant, dus waar de vloeistof sneller stroomt of hoger ligt, is de druk lager.
Continuïteit en Bernoulli
Werk in Pa, en deel dan door 1000 om kPa te krijgen.
v2 = v1·(d1/d2)² = 1·(75/25)² = 9 m/s
½ρ(v1² − v2²) = ½·1000·(1² − 9²)/1000 = −40 kPa
p2 = p1 + ½ρ(v1² − v2²) = 330 + (−40) = 290 kPa
Antwoord
p2 = 290 kPa
4.Continuïteit en Bernoulli
Antwoord: p2 = 158 kPa
Continuïteit en Bernoulli: voor een onsamendrukbare vloeistof is het debiet in elke doorsnede gelijk, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Langs een stroomlijn zonder verliezen is p + ½ρv² + ρgz constant, dus waar de vloeistof sneller stroomt of hoger ligt, is de druk lager.
Continuïteit en Bernoulli
Werk in Pa, en deel dan door 1000 om kPa te krijgen.
v2 = v1·(d1/d2)² = 1,75·(200/100)² = 7 m/s
½ρ(v1² − v2²) = ½·1000·(1,75² − 7²)/1000 = −22,97 kPa
ρgΔz = 1000·9,81·5/1000 = 49,05 kPa
p2 = p1 + ½ρ(v1² − v2²) − ρgΔz = 230 + (−22,97) − 49,05 = 158 kPa
Antwoord
p2 = 158 kPa
5.Leidingwrijving en drukhoogteverlies
Antwoord: hf = 16,51 m
Leidingstroming: het getal van Reynolds Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ onderscheidt laminaire stroming (Re onder ongeveer 2000) van turbulente stroming (boven ongeveer 4000). Wrijving langs een leiding kost het drukhoogteverlies volgens Darcy–Weisbach hf = f·(L/D)·V²/(2g). Hulpstukken, afsluiters, de intrede en de uittrede geven plaatselijke verliezen hm = ΣK·V²/(2g). Tussen twee open reservoiroppervlakken geeft de energievergelijking Δz = hf + hm, inclusief het uittredeverlies K = 1.
Snelheidshoogte
V²/(2g) = 1,8²/(2·9,81) = 0,1651 m
Darcy–Weisbach
hf = f·(L/D)·V²/(2g) = 0,03·(500/0,15)·1,8²/(2·9,81) = 16,51 m
Antwoord
hf = 16,51 m
6.Leidingwrijving en drukhoogteverlies
Antwoord: Δz = 1,36 m
Leidingstroming: het getal van Reynolds Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ onderscheidt laminaire stroming (Re onder ongeveer 2000) van turbulente stroming (boven ongeveer 4000). Wrijving langs een leiding kost het drukhoogteverlies volgens Darcy–Weisbach hf = f·(L/D)·V²/(2g). Hulpstukken, afsluiters, de intrede en de uittrede geven plaatselijke verliezen hm = ΣK·V²/(2g). Tussen twee open reservoiroppervlakken geeft de energievergelijking Δz = hf + hm, inclusief het uittredeverlies K = 1.
Snelheid
V = Q/A = 0,075/0,07069 = 1,061 m/s
V²/(2g) = 0,05738 m
Verliescoëfficiënten
f·L/D = 0,022·150/0,3 = 11
ΣK = 0,5 + 4·0,3 + 10 + 1,0 = 12,7
Totaal drukhoogteverlies
hf = 11·0,05738 = 0,6312 m
hm = 12,7·0,05738 = 0,7287 m
Δz = hf + hm = 1,36 m
Antwoord
Δz = 1,36 m
7.Pompen en pompvermogen
Antwoord: Pel = 23,23 kW
Pompvermogen: het vermogen dat aan het water wordt gegeven is het hydraulisch vermogen Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp. De as moet meer leveren omdat de pomp verliezen heeft: Pshaft = Ph/ηpump, en de motor neemt Pel = Pshaft/ηmotor op. De opvoerhoogte H volgt uit de energievergelijking: statische opvoerhoogte + drukhoogte + alle wrijvings- en plaatselijke verliezen.
Hydraulisch vermogen
Ph = ρ·g·Q·H = 1000·9,81·0,06·30 = 17,66 kW
Asvermogen
Pshaft = 17,66/0,8 = 22,07 kW
Elektrisch vermogen
Pel = 22,07/0,95 = 23,23 kW
Antwoord
Pel = 23,23 kW
8.Pompen en pompvermogen
Antwoord: H = 10,2 m
Pompvermogen: het vermogen dat aan het water wordt gegeven is het hydraulisch vermogen Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp. De as moet meer leveren omdat de pomp verliezen heeft: Pshaft = Ph/ηpump, en de motor neemt Pel = Pshaft/ηmotor op. De opvoerhoogte H volgt uit de energievergelijking: statische opvoerhoogte + drukhoogte + alle wrijvings- en plaatselijke verliezen.
Snelheid
V = Q/A = 0,075/0,03142 = 2,387 m/s
V²/(2g) = 0,2905 m
Drukhoogteverliezen
hL = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (9 + 2)·0,2905 = 3,195 m
Opvoerhoogte van de pomp
Beide oppervlakken zijn open en praktisch in rust, dus de druk- en snelheidstermen vallen weg.
H = Δz + hL = 7 + 3,195 = 10,2 m
Antwoord
H = 10,2 m
ExamProblems · examproblems.com/courses/fluid-mechanics