Hydrostatische kracht
- Druk op diepte
- p = ρgh
- Kracht op een verticale wand
- F = ρg·hc·A
- Drukpunt
- yp = yc + Ic/(ycA)
- Rechthoek
- Ic = bH³/12
Stromingsleer: samenvattingspakket
Formuleoverzichten, de belangrijkste methodestappen voor elk onderwerp en 8 oefenopgaven, met volledige oplossingen achterin.
1Formules en methoden
Continuïteit en Bernoulli
- Continuïteit
- A1v1 = A2v2
- Bernoulli
- p1 + ½ρv1² + ρgz1 = p2 + ½ρv2² + ρgz2
- Debiet
- Q = A·v
- Oppervlakte van een cirkel
- A = πd²/4
Leidingwrijving en drukhoogteverlies
- Getal van Reynolds
- Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
- Stromingsregime
- laminair onder Re ≈ 2000, turbulent boven Re ≈ 4000
- Gemiddelde snelheid
- V = Q/A, A = π·D²/4
- Darcy–Weisbach
- hf = f·(L/D)·V²/(2g)
- Plaatselijke verliezen
- hm = ΣK·V²/(2g)
- Gangbare K-waarden
- intrede 0,5, uittrede 1,0, bocht van 90° ≈ 0,3
- Drukval
- Δp = ρ·g·hf
- Twee open reservoirs
- Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
- Vrije uitstroming
- H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
Pompen en pompvermogen
- Hydraulisch vermogen
- Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp
- Asvermogen
- Pshaft = Ph/ηpump
- Elektrisch vermogen
- Pel = Pshaft/ηmotor
- Opvoerhoogte van de pomp
- H = Δz + Δp/(ρ·g) + hL
- Systeemverliezen
- hL = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
2Oefenopgaven
1.Hydrostatische krachtGemiddeld
Een verticale rechthoekige schuif van 1 m breed zit in de wand van een tank met water, met de bovenrand 0,5 m onder het oppervlak. Vind de resulterende hydrostatische kracht F op de schuif.
d = 0,5 mH = 2,5 mb = 1 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²
F = kN
2.Hydrostatische krachtMoeilijk
Een verticale rechthoekige schuif van 1 m breed zit in de wand van een tank met glycerine, met de bovenrand 0,5 m onder het oppervlak. Vind de diepte ycp van het drukpunt onder het oppervlak.
d = 0,5 mH = 2 mb = 1 mρ = 1260 kg/m³g = 9,81 m/s²
ycp = m
3.Continuïteit en BernoulliGemiddeld
Water stroomt door een horizontale leiding die versmalt van 100 mm naar 75 mm. In het brede deel is de druk 180 kPa en de snelheid 1,75 m/s. Verwaarloos verliezen en vind de druk p2 in het smalle deel.
d1 = 100 mmd2 = 75 mmp1 = 180 kPav1 = 1,75 m/sρ = 1000 kg/m³
p2 = kPa
4.Continuïteit en BernoulliMoeilijk
Een fonteinmondstuk wijst recht omhoog. Net onder het mondstuk heeft de toevoerleiding een diameter van 100 mm en een overdruk van 150 kPa. De uitlaatdiameter van het mondstuk is 20 mm, en het hoogteverschil over het mondstuk is verwaarloosbaar. Vind, zonder verliezen en luchtweerstand, de hoogte H die de straal boven het mondstuk stijgt. Gebruik g = 9,81 m/s².
d1 = 100 mmp1 = 150 kPa (overdruk)d2 = 20 mmρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²
H = m
5.Leidingwrijving en drukhoogteverliesGemiddeld
Water (ρ = 1000 kg/m³) stroomt met 1,7 m/s door een horizontale leiding van 200 m lang met een binnendiameter van 75 mm. Gebruik de Darcy-wrijvingsfactor f = 0,018 en g = 9,81 m/s². Vind de drukval Δp over de leiding in kPa.
V = 1,7 m/sL = 200 mD = 75 mmf = 0,018ρ = 1000 kg/m³
Δp = kPa
6.Leidingwrijving en drukhoogteverliesMoeilijk
Twee open reservoirs zijn verbonden door een leiding van 100 m lang met een binnendiameter van 100 mm en een Darcy-wrijvingsfactor f = 0,015. Het wateroppervlak van het bovenste reservoir ligt 21 m boven dat van het onderste. De plaatselijke verliezen zijn een scherpe intrede (K = 0,5), 2 bochten (K = 0,3 per stuk), een afsluiter (K = 10) en de uittrede in het lagere reservoir (K = 1,0). Gebruik g = 9,81 m/s². Vind het debiet Q in L/s.
Δz = 21 mL = 100 mD = 100 mmf = 0,015Kentrance = 0,5Kbend = 0,3 (×2)Kvalve = 10Kexit = 1,0
Q = L/s
7.Pompen en pompvermogenGemiddeld
Een pomp met een rendement van 60% levert 30 L/s water (ρ = 1000 kg/m³) tegen een opvoerhoogte van 30 m. Gebruik g = 9,81 m/s². Vind het benodigde asvermogen Pshaft, in kW.
Q = 30 L/sH = 30 mη = 60%g = 9,81 m/s²
Pshaft = kW
8.Pompen en pompvermogenMoeilijk
Een pomp verplaatst 75 L/s water (ρ = 1000 kg/m³) van een open lager reservoir naar een hoger gelegen tank waarvan het wateroppervlak 15 m hoger ligt. De leiding is 300 m lang met een binnendiameter van 200 mm en een Darcy-wrijvingsfactor f = 0,02; de coëfficiënten voor plaatselijke verliezen tellen op tot ΣK = 6 (intrede en uittrede inbegrepen). Gebruik g = 9,81 m/s². Het pomprendement is 82%. Vind het asvermogen Pshaft in kW.
Q = 75 L/sΔz = 15 mL = 300 mD = 200 mmf = 0,02ΣK = 6η = 82%
Pshaft = kW
3Oplossingen
1.Hydrostatische kracht
Antwoord: F = 42,92 kN
Hydrostatische kracht op een vlak oppervlak: F = ρ·g·yc·A. De kracht grijpt aan in het drukpunt, ycp = yc + Ic/(ycA), dat altijd onder het zwaartepunt ligt.
Diepte van het zwaartepunt en oppervlakte
yc = d + H/2 = 0,5 + 2,5/2 = 1,75 m
A = H·b = 2,5·1 = 2,5 m²
Resulterende kracht
F = ρ·g·yc·A = 1000·9,81·1,75·2,5 = 42,92 kN
Antwoord
F = 42,92 kN
2.Hydrostatische kracht
Antwoord: ycp = 1,722 m
Hydrostatische kracht op een vlak oppervlak: F = ρ·g·yc·A. De kracht grijpt aan in het drukpunt, ycp = yc + Ic/(ycA), dat altijd onder het zwaartepunt ligt.
Diepte van het zwaartepunt en oppervlakte
yc = d + H/2 = 0,5 + 2/2 = 1,5 m
A = H·b = 2·1 = 2 m²
Resulterende kracht
F = ρ·g·yc·A = 1260·9,81·1,5·2 = 37,08 kN
Drukpunt
De druk neemt toe met de diepte, dus de resultante grijpt aan onder het zwaartepunt.
Ic = b·H³/12 = 1·2³/12 = 0,6667 m⁴
ycp = yc + Ic/(yc·A) = 1,5 + 0,6667/(1,5·2) = 1,722 m
Antwoord
ycp = 1,722 m
3.Continuïteit en Bernoulli
Antwoord: p2 = 176,7 kPa
Continuïteit en Bernoulli: voor een onsamendrukbare vloeistof is het debiet in elke doorsnede gelijk, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Langs een stroomlijn zonder verliezen is p + ½ρv² + ρgz constant, dus waar de vloeistof sneller stroomt of hoger ligt, is de druk lager.
Continuïteit en Bernoulli
Werk in Pa, en deel dan door 1000 om kPa te krijgen.
v2 = v1·(d1/d2)² = 1,75·(100/75)² = 3,111 m/s
½ρ(v1² − v2²) = ½·1000·(1,75² − 3,111²)/1000 = −3,308 kPa
p2 = p1 + ½ρ(v1² − v2²) = 180 + (−3,308) = 176,7 kPa
Antwoord
p2 = 176,7 kPa
4.Continuïteit en Bernoulli
Antwoord: H = 15,32 m
Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.
Uittreesnelheid
β = 20/100 = 0,2
v2 = √(2p1/(ρ(1 − β⁴))) = √(2·150000/(1000·0,9984)) = 17,33 m/s
Hoogte van de straal
Bernoulli langs de straal: bovenaan is de snelheid nul en de druk weer atmosferisch.
H = v2²/(2g) = 17,33²/(2·9,81) = 15,32 m
Antwoord
H = 15,32 m
5.Leidingwrijving en drukhoogteverlies
Antwoord: Δp = 69,36 kPa
Leidingstroming: het getal van Reynolds Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ onderscheidt laminaire stroming (Re onder ongeveer 2000) van turbulente stroming (boven ongeveer 4000). Wrijving langs een leiding kost het drukhoogteverlies volgens Darcy–Weisbach hf = f·(L/D)·V²/(2g). Hulpstukken, afsluiters, de intrede en de uittrede geven plaatselijke verliezen hm = ΣK·V²/(2g). Tussen twee open reservoiroppervlakken geeft de energievergelijking Δz = hf + hm, inclusief het uittredeverlies K = 1.
Drukhoogteverlies
hf = f·(L/D)·V²/(2g) = 0,018·(200/0,075)·1,7²/(2·9,81) = 7,07 m
Drukval
De leiding is horizontaal en de snelheid verandert niet, dus de energievergelijking wordt Δp = ρ·g·hf.
Δp = ρ·g·hf = 1000·9,81·7,07 = 69360 Pa = 69,36 kPa
Antwoord
Δp = 69,36 kPa
6.Leidingwrijving en drukhoogteverlies
Antwoord: Q = 30,62 L/s
Leidingstroming: het getal van Reynolds Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ onderscheidt laminaire stroming (Re onder ongeveer 2000) van turbulente stroming (boven ongeveer 4000). Wrijving langs een leiding kost het drukhoogteverlies volgens Darcy–Weisbach hf = f·(L/D)·V²/(2g). Hulpstukken, afsluiters, de intrede en de uittrede geven plaatselijke verliezen hm = ΣK·V²/(2g). Tussen twee open reservoiroppervlakken geeft de energievergelijking Δz = hf + hm, inclusief het uittredeverlies K = 1.
Verliescoëfficiënten
f·L/D = 0,015·100/0,1 = 15
ΣK = 0,5 + 2·0,3 + 10 + 1,0 = 12,1
Energievergelijking
Beide oppervlakken staan open naar de lucht en zijn praktisch in rust, dus heel Δz gaat verloren in de leiding.
21 = (15 + 12,1)·V²/(2·9,81)
V = √(2·9,81·21/27,1) = 3,899 m/s
Debiet
Q = V·π·D²/4 = 3,899·0,007854 = 0,03062 m³/s = 30,62 L/s
Antwoord
Q = 30,62 L/s
7.Pompen en pompvermogen
Antwoord: Pshaft = 14,72 kW
Pompvermogen: het vermogen dat aan het water wordt gegeven is het hydraulisch vermogen Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp. De as moet meer leveren omdat de pomp verliezen heeft: Pshaft = Ph/ηpump, en de motor neemt Pel = Pshaft/ηmotor op. De opvoerhoogte H volgt uit de energievergelijking: statische opvoerhoogte + drukhoogte + alle wrijvings- en plaatselijke verliezen.
Hydraulisch vermogen
Ph = ρ·g·Q·H = 1000·9,81·0,03·30 = 8,829 kW
Asvermogen
Pshaft = Ph/η = 8,829/0,6 = 14,72 kW
Antwoord
Pshaft = 14,72 kW
8.Pompen en pompvermogen
Antwoord: Pshaft = 22,84 kW
Pompvermogen: het vermogen dat aan het water wordt gegeven is het hydraulisch vermogen Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp. De as moet meer leveren omdat de pomp verliezen heeft: Pshaft = Ph/ηpump, en de motor neemt Pel = Pshaft/ηmotor op. De opvoerhoogte H volgt uit de energievergelijking: statische opvoerhoogte + drukhoogte + alle wrijvings- en plaatselijke verliezen.
Snelheid
V = Q/A = 0,075/0,03142 = 2,387 m/s
V²/(2g) = 0,2905 m
Drukhoogteverliezen
hL = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (30 + 6)·0,2905 = 10,46 m
Opvoerhoogte van de pomp
H = Δz + hL = 15 + 10,46 = 25,46 m
Asvermogen
Pshaft = ρ·g·Q·H/η = 1000·9,81·0,075·25,46/0,82 = 22,84 kW
Antwoord
Pshaft = 22,84 kW
ExamProblems · examproblems.com/courses/fluid-mechanics