Warmtegeleiding
- Wet van Fourier
- Q̇ = kAΔT/L
- Geleidingsweerstand
- R = L/(kA)
- Convectieweerstand
- R = 1/(hA)
- Weerstanden in serie
- Q̇ = ΔTtotal/ΣR
- U-waarde
- U = 1/(ΣR·A)
Warmteoverdracht: samenvattingspakket
Formuleoverzichten, de belangrijkste methodestappen voor elk onderwerp en 4 oefenopgaven, met volledige oplossingen achterin.
1Formules en methoden
Warmtewisselaars (LMTD)
- Warmtevermogen
- Q = U·A·ΔTlm
- Logaritmisch gemiddeld temperatuurverschil
- ΔTlm = (ΔT1 − ΔT2)/ln(ΔT1/ΔT2)
- Balans van een stroom
- Q = ṁcp(Tin − Tout)
2Oefenopgaven
1.WarmtegeleidingGemiddeld
Een wand bestaat uit 200 mm geëxpandeerd polystyreen en 150 mm beton, met een oppervlak van 15 m². De buitenzijden zijn 22 °C en -6 °C. Vind de warmtestroom Q̇ door de wand.
L1 = 200 mm, k1 = 0,035 W/(m·K)L2 = 150 mm, k2 = 1,4 W/(m·K)A = 15 m²T1 = 22 °CT3 = -6 °C
Q̇ = W
2.WarmtegeleidingMoeilijk
Een wand van 150 mm baksteen en 100 mm geëxpandeerd polystyreen scheidt een kamer van 21 °C van de buitenlucht van -9 °C. De warmteoverdrachtscoëfficiënten zijn 6 W/(m²·K) binnen en 20 W/(m²·K) buiten, en het wandoppervlak is 12 m². Vind de temperatuur Ts van het binnenoppervlak van de wand.
L1 = 150 mm, k1 = 0,72 W/(m·K)L2 = 100 mm, k2 = 0,035 W/(m·K)A = 12 m²hi = 6 W/(m²·K)ho = 20 W/(m²·K)Troom = 21 °CTout = -9 °C
Ts = °C
3.Warmtewisselaars (LMTD)Gemiddeld
Een tegenstroomwarmtewisselaar draagt 60 kW over. De warme vloeistof koelt af van 130 tot 35 °C en de koude vloeistof warmt op van 20 tot 85 °C. De warmtedoorgangscoëfficiënt is 200 W/(m²·K). Vind het benodigde warmtewisselend oppervlak A.
Q̇ = 60 kWU = 200 W/(m²·K)Th: 130 → 35 °CTc: 20 → 85 °C
A = m²
4.Warmtewisselaars (LMTD)Moeilijk
Warme olie (0,5 kg/s, cp = 2,3 kJ/(kg·K)) koelt af van 80 tot 60 °C in een tegenstroomwarmtewisselaar. Ze verwarmt 1,5 kg/s water (cp = 4,18 kJ/(kg·K)) dat binnenkomt op 20 °C. Met U = 300 W/(m²·K), vind het benodigde warmtewisselend oppervlak A.
ṁh = 0,5 kg/scp,h = 2,3 kJ/(kg·K)Th: 80 → 60 °Cṁc = 1,5 kg/scp,c = 4,18 kJ/(kg·K)Tc,in = 20 °CU = 300 W/(m²·K)
A = m²
3Oplossingen
1.Warmtegeleiding
Antwoord: Q̇ = 72,15 W
Warmteweerstand: stationaire warmtestroom door lagen in serie gedraagt zich als stroom door weerstanden in serie: Q̇ = ΔT/ΣR, met R = L/(kA) voor een geleidende laag en R = 1/(hA) voor een oppervlak met convectie. Het temperatuurverschil over elke laag is evenredig met haar weerstand.
Weerstanden van de lagen
R1 = L1/(k1A) = (200/1000)/(0,035·15) = 0,381 K/W
R2 = L2/(k2A) = (150/1000)/(1,4·15) = 0,007143 K/W
Warmtestroom
Q̇ = (T1 − T3)/(R1 + R2) = 28/0,3881 = 72,15 W
Antwoord
Q̇ = 72,15 W
2.Warmtegeleiding
Antwoord: Ts = 19,48 °C
Warmteweerstand: stationaire warmtestroom door lagen in serie gedraagt zich als stroom door weerstanden in serie: Q̇ = ΔT/ΣR, met R = L/(kA) voor een geleidende laag en R = 1/(hA) voor een oppervlak met convectie. Het temperatuurverschil over elke laag is evenredig met haar weerstand.
Weerstanden in serie
Ri = 1/(hiA) = 1/(6·12) = 0,01389 K/W
R1 = L1/(k1A) = (150/1000)/(0,72·12) = 0,01736 K/W
R2 = L2/(k2A) = (100/1000)/(0,035·12) = 0,2381 K/W
Ro = 1/(hoA) = 1/(20·12) = 0,004167 K/W
ΣR = 0,2735 K/W
Warmteverlies
Q̇ = (21 − (-9))/0,2735 = 109,7 W
Ts = Troom − Q̇·Ri = 21 − 109,7·0,01389 = 19,48 °C
Antwoord
Ts = 19,48 °C
3.Warmtewisselaars (LMTD)
Antwoord: A = 10,99 m²
LMTD-methode: het temperatuurverschil tussen de stromen verandert langs de warmtewisselaar, dus de overdrachtsvergelijking gebruikt het logaritmisch gemiddelde: Q̇ = U·A·ΔTlm, met ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), waarbij ΔT₁ en ΔT₂ de verschillen aan beide uiteinden zijn. Tegenstroom geeft een grotere ΔTlm dan meestroom bij dezelfde in- en uittredetemperaturen.
Temperatuurverschillen aan de uiteinden
Bij tegenstroom ligt de warme ingang tegenover de koude uitgang, en de warme uitgang tegenover de koude ingang.
ΔT₁ = Th,in − Tc,out = 130 − 85 = 45 K
ΔT₂ = Th,out − Tc,in = 35 − 20 = 15 K
Logaritmisch gemiddeld temperatuurverschil
ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂) = (45 − 15)/ln(45/15) = 27,31 K
Oppervlak
A = Q̇/(U·ΔTlm) = 60000/(200·27,31) = 10,99 m²
Antwoord
A = 10,99 m²
4.Warmtewisselaars (LMTD)
Antwoord: A = 1,607 m²
LMTD-methode: het temperatuurverschil tussen de stromen verandert langs de warmtewisselaar, dus de overdrachtsvergelijking gebruikt het logaritmisch gemiddelde: Q̇ = U·A·ΔTlm, met ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), waarbij ΔT₁ en ΔT₂ de verschillen aan beide uiteinden zijn. Tegenstroom geeft een grotere ΔTlm dan meestroom bij dezelfde in- en uittredetemperaturen.
Warmtevermogen en uittredetemperatuur van het water
Q̇ = ṁhcp,h(Th,in − Th,out) = 0,5·2,3·20 = 23 kW
Tc,out = 20 + 23/(1,5·4,18) = 23,67 °C
Temperatuurverschillen aan de uiteinden
Bij tegenstroom ligt de warme ingang tegenover de koude uitgang, en de warme uitgang tegenover de koude ingang.
ΔT₁ = Th,in − Tc,out = 80 − 23,67 = 56,33 K
ΔT₂ = Th,out − Tc,in = 60 − 20 = 40 K
Logaritmisch gemiddeld temperatuurverschil
ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂) = (56,33 − 40)/ln(56,33/40) = 47,7 K
Oppervlak
A = Q̇/(U·ΔTlm) = 23000/(300·47,7) = 1,607 m²
Antwoord
A = 1,607 m²
ExamProblems · examproblems.com/courses/heat-transfer