Warmteoverdracht: samenvattingspakket

Formuleoverzichten, de belangrijkste methodestappen voor elk onderwerp en 4 oefenopgaven, met volledige oplossingen achterin.

Nieuwe opgavenTerug naar het vak

Kies in het printvenster “Opslaan als pdf” om een kopie op je apparaat te bewaren.

1Formules en methoden

Warmtegeleiding

Wet van Fourier
Q̇ = kAΔT/L
Geleidingsweerstand
R = L/(kA)
Convectieweerstand
R = 1/(hA)
Weerstanden in serie
Q̇ = ΔTtotal/ΣR
U-waarde
U = 1/(ΣR·A)

Warmtewisselaars (LMTD)

Warmtevermogen
Q = U·A·ΔTlm
Logaritmisch gemiddeld temperatuurverschil
ΔTlm = (ΔT1 − ΔT2)/ln(ΔT1/ΔT2)
Balans van een stroom
Q = ṁcp(Tin − Tout)

2Oefenopgaven

1.WarmtegeleidingGemiddeld
Glas, k = 0,9650 mmGipsplaat, k = 0,1775 mm16 °C4 °CTi​ = ?Q̇

Een wand bestaat uit 50 mm glas en 75 mm gipsplaat, met een oppervlak van 12 m². De buitenzijden zijn 16 °C en 4 °C. Vind de temperatuur Ti op het grensvlak tussen de twee lagen.

L1 = 50 mm, k1 = 0,96 W/(m·K)L2 = 75 mm, k2 = 0,17 W/(m·K)A = 12 m²T1 = 16 °CT3 = 4 °C
Ti = °C
2.WarmtegeleidingMoeilijk
Beton, k = 1,450 mmGlas, k = 0,9650 mmkamer 22 °Cbuiten -12 °CTs​ = ?Q̇

Een wand van 50 mm beton en 50 mm glas scheidt een kamer van 22 °C van de buitenlucht van -12 °C. De warmteoverdrachtscoëfficiënten zijn 6 W/(m²·K) binnen en 30 W/(m²·K) buiten, en het wandoppervlak is 12 m². Vind de temperatuur Ts van het binnenoppervlak van de wand.

L1 = 50 mm, k1 = 1,4 W/(m·K)L2 = 50 mm, k2 = 0,96 W/(m·K)A = 12 m²hi = 6 W/(m²·K)ho = 30 W/(m²·K)Troom = 22 °CTout = -12 °C
Ts = °C
3.Warmtewisselaars (LMTD)Gemiddeld
lengteT120 °C10 °C75 °CΔT₁ΔT₂condenserende stoom

In een condensor condenseert stoom bij een constante 120 °C aan de buitenkant van de buizen. Koelwater (4 kg/s, cp = 4,18 kJ/(kg·K)) stroomt door de buizen en warmt op van 10 tot 75 °C. De warmtedoorgangscoëfficiënt is 1000 W/(m²·K). Vind het benodigde warmtewisselend oppervlak A.

Ts = 120 °Cṁ = 4 kg/scp = 4,18 kJ/(kg·K)Tc: 10 → 75 °CU = 1000 W/(m²·K)
A = m²
4.Warmtewisselaars (LMTD)Moeilijk
lengteT160 °C??25 °CΔT₁ΔT₂tegenstroom

In een tegenstroomwarmtewisselaar hebben beide stromen dezelfde warmtecapaciteitsstroom, ṁ·cp = 3 kW/K. De warme stroom komt binnen op 160 °C en de koude stroom op 25 °C. De wisselaar heeft A = 6 m² en U = 800 W/(m²·K). Vind de uittredetemperatuur van de warme stroom Th,out.

Ch = Cc = 3 kW/KTh,in = 160 °CTc,in = 25 °CA = 6 m²U = 800 W/(m²·K)
Th,out = °C

3Oplossingen

1.Warmtegeleiding

Antwoord: Ti = 14,73 °C

Warmteweerstand: stationaire warmtestroom door lagen in serie gedraagt zich als stroom door weerstanden in serie: Q̇ = ΔT/ΣR, met R = L/(kA) voor een geleidende laag en R = 1/(hA) voor een oppervlak met convectie. Het temperatuurverschil over elke laag is evenredig met haar weerstand.

Weerstanden van de lagen

R1 = L1/(k1A) = (50/1000)/(0,96·12) = 0,00434 K/W
R2 = L2/(k2A) = (75/1000)/(0,17·12) = 0,03676 K/W

Warmtestroom

Q̇ = (T1 − T3)/(R1 + R2) = 12/0,0411 = 291,9 W

Temperatuur op het grensvlak

De temperatuur daalt over de eerste laag met Q̇·R₁.

Ti = T1 − Q̇·R1 = 16 − 291,9·0,00434 = 14,73 °C

Antwoord

Ti = 14,73 °C
2.Warmtegeleiding

Antwoord: Ts = 2,31 °C

Warmteweerstand: stationaire warmtestroom door lagen in serie gedraagt zich als stroom door weerstanden in serie: Q̇ = ΔT/ΣR, met R = L/(kA) voor een geleidende laag en R = 1/(hA) voor een oppervlak met convectie. Het temperatuurverschil over elke laag is evenredig met haar weerstand.

Weerstanden in serie

Ri = 1/(hiA) = 1/(6·12) = 0,01389 K/W
R1 = L1/(k1A) = (50/1000)/(1,4·12) = 0,002976 K/W
R2 = L2/(k2A) = (50/1000)/(0,96·12) = 0,00434 K/W
Ro = 1/(hoA) = 1/(30·12) = 0,002778 K/W
ΣR = 0,02398 K/W

Warmteverlies

Q̇ = (22 − (-12))/0,02398 = 1418 W
Ts = Troom − Q̇·Ri = 22 − 1418·0,01389 = 2,31 °C

Antwoord

Ts = 2,31 °C
3.Warmtewisselaars (LMTD)

Antwoord: A = 14,94 m²

LMTD method: the temperature difference between the streams changes along the exchanger, so the rate equation uses its logarithmic mean: Q̇ = U·A·ΔTlm, with ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), where ΔT₁ and ΔT₂ are the differences at the two ends. Counter-flow gives a larger ΔTlm than parallel flow for the same inlet and outlet temperatures.

Warmtevermogen aan de waterkant

Q̇ = 4·4,18·(75 − 10) = 1087 kW

Temperatuurverschillen aan de uiteinden

ΔT₁ = 120 − 10 = 110 K
ΔT₂ = 120 − 75 = 45 K

Logaritmisch gemiddeld temperatuurverschil

ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂) = (110 − 45)/ln(110/45) = 72,72 K

Oppervlak

A = Q̇/(U·ΔTlm) = 1,087 × 10⁶/(1000·72,72) = 14,94 m²

Antwoord

A = 14,94 m²
4.Warmtewisselaars (LMTD)

Antwoord: Th,out = 76,92 °C

LMTD method: the temperature difference between the streams changes along the exchanger, so the rate equation uses its logarithmic mean: Q̇ = U·A·ΔTlm, with ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), where ΔT₁ and ΔT₂ are the differences at the two ends. Counter-flow gives a larger ΔTlm than parallel flow for the same inlet and outlet temperatures.

Constant temperatuurverschil

De koude uitlaat ligt tegenover de warme inlaat: Tc,out = Tc,in + (Th,in − Th,out), dus ΔT₁ = Th,in − Tc,out = Th,out − Tc,in = ΔT₂.

ΔTlm = Th,out − Tc,in

Energiebalans gelijk aan warmteoverdrachtsvergelijking

3·(160 − Th,out) = 4,8·(Th,out − 25)
Th,out = (3·160 + 4,8·25)/(3 + 4,8) = 76,92 °C

Antwoord

Th,out = 76,92 °C

Overgedragen warmte: Q̇ = 249,2 kW; de koude stroom verlaat de wisselaar op 108,1 °C.

ExamProblems · examproblems.com/courses/heat-transfer