Warmtegeleiding
- Wet van Fourier
- Q̇ = kAΔT/L
- Geleidingsweerstand
- R = L/(kA)
- Convectieweerstand
- R = 1/(hA)
- Weerstanden in serie
- Q̇ = ΔTtotal/ΣR
- U-waarde
- U = 1/(ΣR·A)
Warmteoverdracht: samenvattingspakket
Formuleoverzichten, de belangrijkste methodestappen voor elk onderwerp en 4 oefenopgaven, met volledige oplossingen achterin.
1Formules en methoden
Warmtewisselaars (LMTD)
- Warmtevermogen
- Q = U·A·ΔTlm
- Logaritmisch gemiddeld temperatuurverschil
- ΔTlm = (ΔT1 − ΔT2)/ln(ΔT1/ΔT2)
- Balans van een stroom
- Q = ṁcp(Tin − Tout)
2Oefenopgaven
1.WarmtegeleidingGemiddeld
Een wand bestaat uit 100 mm beton en 150 mm glas, met een oppervlak van 12 m². De buitenzijden zijn 16 °C en -11 °C. Vind de warmtestroom Q̇ door de wand.
L1 = 100 mm, k1 = 1,4 W/(m·K)L2 = 150 mm, k2 = 0,96 W/(m·K)A = 12 m²T1 = 16 °CT3 = -11 °C
Q̇ = W
2.WarmtegeleidingMoeilijk
Een wand van 100 mm hout en 150 mm baksteen scheidt een kamer van 22 °C van de buitenlucht van 5 °C. De warmteoverdrachtscoëfficiënten zijn 7,7 W/(m²·K) binnen en 30 W/(m²·K) buiten, en het wandoppervlak is 8 m². Vind het warmteverlies Q̇ door de wand.
L1 = 100 mm, k1 = 0,17 W/(m·K)L2 = 150 mm, k2 = 0,72 W/(m·K)A = 8 m²hi = 7,7 W/(m²·K)ho = 30 W/(m²·K)Troom = 22 °CTout = 5 °C
Q̇ = W
3.Warmtewisselaars (LMTD)Gemiddeld
Een tegenstroomwarmtewisselaar draagt 450 kW over. De warme vloeistof koelt af van 115 tot 90 °C en de koude vloeistof warmt op van 25 tot 60 °C. De warmtedoorgangscoëfficiënt is 1000 W/(m²·K). Vind het benodigde warmtewisselend oppervlak A.
Q̇ = 450 kWU = 1000 W/(m²·K)Th: 115 → 90 °CTc: 25 → 60 °C
A = m²
4.Warmtewisselaars (LMTD)Moeilijk
Warme olie (0,5 kg/s, cp = 2,5 kJ/(kg·K)) koelt af van 180 tot 145 °C in een tegenstroomwarmtewisselaar. Ze verwarmt 1,5 kg/s water (cp = 4,18 kJ/(kg·K)) dat binnenkomt op 10 °C. Met U = 200 W/(m²·K), vind het benodigde warmtewisselend oppervlak A.
ṁh = 0,5 kg/scp,h = 2,5 kJ/(kg·K)Th: 180 → 145 °Cṁc = 1,5 kg/scp,c = 4,18 kJ/(kg·K)Tc,in = 10 °CU = 200 W/(m²·K)
A = m²
3Oplossingen
1.Warmtegeleiding
Antwoord: Q̇ = 1423 W
Warmteweerstand: stationaire warmtestroom door lagen in serie gedraagt zich als stroom door weerstanden in serie: Q̇ = ΔT/ΣR, met R = L/(kA) voor een geleidende laag en R = 1/(hA) voor een oppervlak met convectie. Het temperatuurverschil over elke laag is evenredig met haar weerstand.
Weerstanden van de lagen
R1 = L1/(k1A) = (100/1000)/(1,4·12) = 0,005952 K/W
R2 = L2/(k2A) = (150/1000)/(0,96·12) = 0,01302 K/W
Warmtestroom
Q̇ = (T1 − T3)/(R1 + R2) = 27/0,01897 = 1423 W
Antwoord
Q̇ = 1423 W
2.Warmtegeleiding
Antwoord: Q̇ = 141,7 W
Warmteweerstand: stationaire warmtestroom door lagen in serie gedraagt zich als stroom door weerstanden in serie: Q̇ = ΔT/ΣR, met R = L/(kA) voor een geleidende laag en R = 1/(hA) voor een oppervlak met convectie. Het temperatuurverschil over elke laag is evenredig met haar weerstand.
Weerstanden in serie
Ri = 1/(hiA) = 1/(7,7·8) = 0,01623 K/W
R1 = L1/(k1A) = (100/1000)/(0,17·8) = 0,07353 K/W
R2 = L2/(k2A) = (150/1000)/(0,72·8) = 0,02604 K/W
Ro = 1/(hoA) = 1/(30·8) = 0,004167 K/W
ΣR = 0,12 K/W
Warmteverlies
Q̇ = (22 − (5))/0,12 = 141,7 W
Antwoord
Q̇ = 141,7 W
3.Warmtewisselaars (LMTD)
Antwoord: A = 7,517 m²
LMTD-methode: het temperatuurverschil tussen de stromen verandert langs de warmtewisselaar, dus de overdrachtsvergelijking gebruikt het logaritmisch gemiddelde: Q̇ = U·A·ΔTlm, met ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), waarbij ΔT₁ en ΔT₂ de verschillen aan beide uiteinden zijn. Tegenstroom geeft een grotere ΔTlm dan meestroom bij dezelfde in- en uittredetemperaturen.
Temperatuurverschillen aan de uiteinden
Bij tegenstroom ligt de warme ingang tegenover de koude uitgang, en de warme uitgang tegenover de koude ingang.
ΔT₁ = Th,in − Tc,out = 115 − 60 = 55 K
ΔT₂ = Th,out − Tc,in = 90 − 25 = 65 K
Logaritmisch gemiddeld temperatuurverschil
ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂) = (55 − 65)/ln(55/65) = 59,86 K
Oppervlak
A = Q̇/(U·ΔTlm) = 450000/(1000·59,86) = 7,517 m²
Antwoord
A = 7,517 m²
4.Warmtewisselaars (LMTD)
Antwoord: A = 1,472 m²
LMTD-methode: het temperatuurverschil tussen de stromen verandert langs de warmtewisselaar, dus de overdrachtsvergelijking gebruikt het logaritmisch gemiddelde: Q̇ = U·A·ΔTlm, met ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), waarbij ΔT₁ en ΔT₂ de verschillen aan beide uiteinden zijn. Tegenstroom geeft een grotere ΔTlm dan meestroom bij dezelfde in- en uittredetemperaturen.
Warmtevermogen en uittredetemperatuur van het water
Q̇ = ṁhcp,h(Th,in − Th,out) = 0,5·2,5·35 = 43,75 kW
Tc,out = 10 + 43,75/(1,5·4,18) = 16,98 °C
Temperatuurverschillen aan de uiteinden
Bij tegenstroom ligt de warme ingang tegenover de koude uitgang, en de warme uitgang tegenover de koude ingang.
ΔT₁ = Th,in − Tc,out = 180 − 16,98 = 163 K
ΔT₂ = Th,out − Tc,in = 145 − 10 = 135 K
Logaritmisch gemiddeld temperatuurverschil
ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂) = (163 − 135)/ln(163/135) = 148,6 K
Oppervlak
A = Q̇/(U·ΔTlm) = 43750/(200·148,6) = 1,472 m²
Antwoord
A = 1,472 m²
ExamProblems · examproblems.com/courses/heat-transfer