Warmtegeleiding
- Wet van Fourier
- Q̇ = kAΔT/L
- Geleidingsweerstand
- R = L/(kA)
- Convectieweerstand
- R = 1/(hA)
- Weerstanden in serie
- Q̇ = ΔTtotal/ΣR
- U-waarde
- U = 1/(ΣR·A)
Warmteoverdracht: samenvattingspakket
Formuleoverzichten, de belangrijkste methodestappen voor elk onderwerp en 4 oefenopgaven, met volledige oplossingen achterin.
1Formules en methoden
Warmtewisselaars (LMTD)
- Warmtevermogen
- Q = U·A·ΔTlm
- Logaritmisch gemiddeld temperatuurverschil
- ΔTlm = (ΔT1 − ΔT2)/ln(ΔT1/ΔT2)
- Balans van een stroom
- Q = ṁcp(Tin − Tout)
2Oefenopgaven
1.WarmtegeleidingGemiddeld
Een wand bestaat uit 250 mm beton en 75 mm baksteen, met een oppervlak van 4 m². De buitenzijden zijn 16 °C en 0 °C. Vind de temperatuur Ti op het grensvlak tussen de twee lagen.
L1 = 250 mm, k1 = 1,4 W/(m·K)L2 = 75 mm, k2 = 0,72 W/(m·K)A = 4 m²T1 = 16 °CT3 = 0 °C
Ti = °C
2.WarmtegeleidingMoeilijk
Een wand van 150 mm baksteen en 100 mm geëxpandeerd polystyreen scheidt een kamer van 21 °C van de buitenlucht van -6 °C. De warmteoverdrachtscoëfficiënten zijn 8 W/(m²·K) binnen en 30 W/(m²·K) buiten, en het wandoppervlak is 20 m². Vind de temperatuur Ts van het binnenoppervlak van de wand.
L1 = 150 mm, k1 = 0,72 W/(m·K)L2 = 100 mm, k2 = 0,035 W/(m·K)A = 20 m²hi = 8 W/(m²·K)ho = 30 W/(m²·K)Troom = 21 °CTout = -6 °C
Ts = °C
3.Warmtewisselaars (LMTD)Gemiddeld
Een tegenstroomwarmtewisselaar draagt 250 kW over. De warme vloeistof koelt af van 160 tot 130 °C en de koude vloeistof warmt op van 10 tot 105 °C. De warmtedoorgangscoëfficiënt is 500 W/(m²·K). Vind het benodigde warmtewisselend oppervlak A.
Q̇ = 250 kWU = 500 W/(m²·K)Th: 160 → 130 °CTc: 10 → 105 °C
A = m²
4.Warmtewisselaars (LMTD)Moeilijk
In een dubbelepijpwarmtewisselaar met meestroom stroomt hete olie (0,2 kg/s, cp = 2,5 kJ/(kg·K)) door de binnenbuis en koelt af van 130 tot 100 °C. Water (0,8 kg/s, cp = 4,18 kJ/(kg·K)) in de ringspleet komt binnen op 25 °C. De binnenbuis heeft een diameter van 40 mm, en U = 250 W/(m²·K) is op deze diameter gebaseerd. Vind de benodigde buislengte L.
ṁh = 0,2 kg/scp,h = 2,5 kJ/(kg·K)Th: 130 → 100 °Cṁc = 0,8 kg/sTc,in = 25 °CD = 40 mmU = 250 W/(m²·K)
L = m
3Oplossingen
1.Warmtegeleiding
Antwoord: Ti = 5,895 °C
Warmteweerstand: stationaire warmtestroom door lagen in serie gedraagt zich als stroom door weerstanden in serie: Q̇ = ΔT/ΣR, met R = L/(kA) voor een geleidende laag en R = 1/(hA) voor een oppervlak met convectie. Het temperatuurverschil over elke laag is evenredig met haar weerstand.
Weerstanden van de lagen
R1 = L1/(k1A) = (250/1000)/(1,4·4) = 0,04464 K/W
R2 = L2/(k2A) = (75/1000)/(0,72·4) = 0,02604 K/W
Warmtestroom
Q̇ = (T1 − T3)/(R1 + R2) = 16/0,07068 = 226,4 W
Temperatuur op het grensvlak
De temperatuur daalt over de eerste laag met Q̇·R₁.
Ti = T1 − Q̇·R1 = 16 − 226,4·0,04464 = 5,895 °C
Antwoord
Ti = 5,895 °C
2.Warmtegeleiding
Antwoord: Ts = 19,95 °C
Warmteweerstand: stationaire warmtestroom door lagen in serie gedraagt zich als stroom door weerstanden in serie: Q̇ = ΔT/ΣR, met R = L/(kA) voor een geleidende laag en R = 1/(hA) voor een oppervlak met convectie. Het temperatuurverschil over elke laag is evenredig met haar weerstand.
Weerstanden in serie
Ri = 1/(hiA) = 1/(8·20) = 0,00625 K/W
R1 = L1/(k1A) = (150/1000)/(0,72·20) = 0,01042 K/W
R2 = L2/(k2A) = (100/1000)/(0,035·20) = 0,1429 K/W
Ro = 1/(hoA) = 1/(30·20) = 0,001667 K/W
ΣR = 0,1612 K/W
Warmteverlies
Q̇ = (21 − (-6))/0,1612 = 167,5 W
Ts = Troom − Q̇·Ri = 21 − 167,5·0,00625 = 19,95 °C
Antwoord
Ts = 19,95 °C
3.Warmtewisselaars (LMTD)
Antwoord: A = 6,001 m²
LMTD-methode: het temperatuurverschil tussen de stromen verandert langs de warmtewisselaar, dus de overdrachtsvergelijking gebruikt het logaritmisch gemiddelde: Q̇ = U·A·ΔTlm, met ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), waarbij ΔT₁ en ΔT₂ de verschillen aan beide uiteinden zijn. Tegenstroom geeft een grotere ΔTlm dan meestroom bij dezelfde in- en uittredetemperaturen.
Temperatuurverschillen aan de uiteinden
Bij tegenstroom ligt de warme ingang tegenover de koude uitgang, en de warme uitgang tegenover de koude ingang.
ΔT₁ = Th,in − Tc,out = 160 − 105 = 55 K
ΔT₂ = Th,out − Tc,in = 130 − 10 = 120 K
Logaritmisch gemiddeld temperatuurverschil
ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂) = (55 − 120)/ln(55/120) = 83,32 K
Oppervlak
A = Q̇/(U·ΔTlm) = 250000/(500·83,32) = 6,001 m²
Antwoord
A = 6,001 m²
4.Warmtewisselaars (LMTD)
Antwoord: L = 5,512 m
LMTD method: the temperature difference between the streams changes along the exchanger, so the rate equation uses its logarithmic mean: Q̇ = U·A·ΔTlm, with ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), where ΔT₁ and ΔT₂ are the differences at the two ends. Counter-flow gives a larger ΔTlm than parallel flow for the same inlet and outlet temperatures.
Warmtevermogen en uittredetemperatuur van het water
Q̇ = 0,2·2,5·(130 − 100) = 15 kW
Tc,out = 25 + 15/(0,8·4,18) = 29,49 °C
Temperatuurverschillen aan de uiteinden
Bij meestroom liggen beide ingangen aan hetzelfde uiteinde, en beide uitgangen aan het andere.
ΔT₁ = Th,in − Tc,in = 130 − 25 = 105 K
ΔT₂ = Th,out − Tc,out = 100 − 29,49 = 70,51 K
Logaritmisch gemiddeld temperatuurverschil
ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂) = (105 − 70,51)/ln(105/70,51) = 86,62 K
Oppervlak en lengte
A = 15000/(250·86,62) = 0,6927 m²
L = A/(πD) = 0,6927/(π·0,04) = 5,512 m
Antwoord
L = 5,512 m
ExamProblems · examproblems.com/courses/heat-transfer