Warmtegeleiding
- Wet van Fourier
- Q̇ = kAΔT/L
- Geleidingsweerstand
- R = L/(kA)
- Convectieweerstand
- R = 1/(hA)
- Weerstanden in serie
- Q̇ = ΔTtotal/ΣR
- U-waarde
- U = 1/(ΣR·A)
Warmteoverdracht: samenvattingspakket
Formuleoverzichten, de belangrijkste methodestappen voor elk onderwerp en 4 oefenopgaven, met volledige oplossingen achterin.
1Formules en methoden
Warmtewisselaars (LMTD)
- Warmtevermogen
- Q = U·A·ΔTlm
- Logaritmisch gemiddeld temperatuurverschil
- ΔTlm = (ΔT1 − ΔT2)/ln(ΔT1/ΔT2)
- Balans van een stroom
- Q = ṁcp(Tin − Tout)
2Oefenopgaven
1.WarmtegeleidingGemiddeld
Een wand bestaat uit 50 mm gipsplaat en 150 mm minerale wol, met een oppervlak van 12 m². De buitenzijden zijn 22 °C en -1 °C. Vind de temperatuur Ti op het grensvlak tussen de twee lagen.
L1 = 50 mm, k1 = 0,17 W/(m·K)L2 = 150 mm, k2 = 0,04 W/(m·K)A = 12 m²T1 = 22 °CT3 = -1 °C
Ti = °C
2.WarmtegeleidingMoeilijk
Een wand van 150 mm geëxpandeerd polystyreen en 75 mm beton scheidt een kamer van 20 °C van de buitenlucht van -10 °C. De warmteoverdrachtscoëfficiënten zijn 6 W/(m²·K) binnen en 25 W/(m²·K) buiten, en het wandoppervlak is 4 m². Vind het warmteverlies Q̇ door de wand.
L1 = 150 mm, k1 = 0,035 W/(m·K)L2 = 75 mm, k2 = 1,4 W/(m·K)A = 4 m²hi = 6 W/(m²·K)ho = 25 W/(m²·K)Troom = 20 °CTout = -10 °C
Q̇ = W
3.Warmtewisselaars (LMTD)Gemiddeld
Een tegenstroomwarmtewisselaar draagt 400 kW over. De warme vloeistof koelt af van 105 tot 40 °C en de koude vloeistof warmt op van 10 tot 50 °C. De warmtedoorgangscoëfficiënt is 500 W/(m²·K). Vind het benodigde warmtewisselend oppervlak A.
Q̇ = 400 kWU = 500 W/(m²·K)Th: 105 → 40 °CTc: 10 → 50 °C
A = m²
4.Warmtewisselaars (LMTD)Moeilijk
Warme olie (1,5 kg/s, cp = 2,1 kJ/(kg·K)) koelt af van 150 tot 80 °C in een tegenstroomwarmtewisselaar. Ze verwarmt 1,5 kg/s water (cp = 4,18 kJ/(kg·K)) dat binnenkomt op 30 °C. Met U = 500 W/(m²·K), vind het benodigde warmtewisselend oppervlak A.
ṁh = 1,5 kg/scp,h = 2,1 kJ/(kg·K)Th: 150 → 80 °Cṁc = 1,5 kg/scp,c = 4,18 kJ/(kg·K)Tc,in = 30 °CU = 500 W/(m²·K)
A = m²
3Oplossingen
1.Warmtegeleiding
Antwoord: Ti = 20,33 °C
Warmteweerstand: stationaire warmtestroom door lagen in serie gedraagt zich als stroom door weerstanden in serie: Q̇ = ΔT/ΣR, met R = L/(kA) voor een geleidende laag en R = 1/(hA) voor een oppervlak met convectie. Het temperatuurverschil over elke laag is evenredig met haar weerstand.
Weerstanden van de lagen
R1 = L1/(k1A) = (50/1000)/(0,17·12) = 0,02451 K/W
R2 = L2/(k2A) = (150/1000)/(0,04·12) = 0,3125 K/W
Warmtestroom
Q̇ = (T1 − T3)/(R1 + R2) = 23/0,337 = 68,25 W
Temperatuur op het grensvlak
De temperatuur daalt over de eerste laag met Q̇·R₁.
Ti = T1 − Q̇·R1 = 22 − 68,25·0,02451 = 20,33 °C
Antwoord
Ti = 20,33 °C
2.Warmtegeleiding
Antwoord: Q̇ = 26,4 W
Warmteweerstand: stationaire warmtestroom door lagen in serie gedraagt zich als stroom door weerstanden in serie: Q̇ = ΔT/ΣR, met R = L/(kA) voor een geleidende laag en R = 1/(hA) voor een oppervlak met convectie. Het temperatuurverschil over elke laag is evenredig met haar weerstand.
Weerstanden in serie
Ri = 1/(hiA) = 1/(6·4) = 0,04167 K/W
R1 = L1/(k1A) = (150/1000)/(0,035·4) = 1,071 K/W
R2 = L2/(k2A) = (75/1000)/(1,4·4) = 0,01339 K/W
Ro = 1/(hoA) = 1/(25·4) = 0,01 K/W
ΣR = 1,136 K/W
Warmteverlies
Q̇ = (20 − (-10))/1,136 = 26,4 W
Antwoord
Q̇ = 26,4 W
3.Warmtewisselaars (LMTD)
Antwoord: A = 19,4 m²
LMTD-methode: het temperatuurverschil tussen de stromen verandert langs de warmtewisselaar, dus de overdrachtsvergelijking gebruikt het logaritmisch gemiddelde: Q̇ = U·A·ΔTlm, met ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), waarbij ΔT₁ en ΔT₂ de verschillen aan beide uiteinden zijn. Tegenstroom geeft een grotere ΔTlm dan meestroom bij dezelfde in- en uittredetemperaturen.
Temperatuurverschillen aan de uiteinden
Bij tegenstroom ligt de warme ingang tegenover de koude uitgang, en de warme uitgang tegenover de koude ingang.
ΔT₁ = Th,in − Tc,out = 105 − 50 = 55 K
ΔT₂ = Th,out − Tc,in = 40 − 10 = 30 K
Logaritmisch gemiddeld temperatuurverschil
ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂) = (55 − 30)/ln(55/30) = 41,24 K
Oppervlak
A = Q̇/(U·ΔTlm) = 400000/(500·41,24) = 19,4 m²
Antwoord
A = 19,4 m²
4.Warmtewisselaars (LMTD)
Antwoord: A = 6,693 m²
LMTD-methode: het temperatuurverschil tussen de stromen verandert langs de warmtewisselaar, dus de overdrachtsvergelijking gebruikt het logaritmisch gemiddelde: Q̇ = U·A·ΔTlm, met ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), waarbij ΔT₁ en ΔT₂ de verschillen aan beide uiteinden zijn. Tegenstroom geeft een grotere ΔTlm dan meestroom bij dezelfde in- en uittredetemperaturen.
Warmtevermogen en uittredetemperatuur van het water
Q̇ = ṁhcp,h(Th,in − Th,out) = 1,5·2,1·70 = 220,5 kW
Tc,out = 30 + 220,5/(1,5·4,18) = 65,17 °C
Temperatuurverschillen aan de uiteinden
Bij tegenstroom ligt de warme ingang tegenover de koude uitgang, en de warme uitgang tegenover de koude ingang.
ΔT₁ = Th,in − Tc,out = 150 − 65,17 = 84,83 K
ΔT₂ = Th,out − Tc,in = 80 − 30 = 50 K
Logaritmisch gemiddeld temperatuurverschil
ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂) = (84,83 − 50)/ln(84,83/50) = 65,89 K
Oppervlak
A = Q̇/(U·ΔTlm) = 220500/(500·65,89) = 6,693 m²
Antwoord
A = 6,693 m²
ExamProblems · examproblems.com/courses/heat-transfer