Warmteoverdracht: samenvattingspakket

Formuleoverzichten, de belangrijkste methodestappen voor elk onderwerp en 4 oefenopgaven, met volledige oplossingen achterin.

Nieuwe opgavenTerug naar het vak

Kies in het printvenster “Opslaan als pdf” om een kopie op je apparaat te bewaren.

1Formules en methoden

Warmtegeleiding

Wet van Fourier
Q̇ = kAΔT/L
Geleidingsweerstand
R = L/(kA)
Convectieweerstand
R = 1/(hA)
Weerstanden in serie
Q̇ = ΔTtotal/ΣR
U-waarde
U = 1/(ΣR·A)

Warmtewisselaars (LMTD)

Warmtevermogen
Q = U·A·ΔTlm
Logaritmisch gemiddeld temperatuurverschil
ΔTlm = (ΔT1 − ΔT2)/ln(ΔT1/ΔT2)
Balans van een stroom
Q = ṁcp(Tin − Tout)

2Oefenopgaven

1.WarmtegeleidingGemiddeld
Geëxpandeerd polystyreen, k = 0,035100 mmBaksteen, k = 0,72100 mm20 °C-9 °CTi​ = ?Q̇

Een wand bestaat uit 100 mm geëxpandeerd polystyreen en 100 mm baksteen, met een oppervlak van 8 m². De buitenzijden zijn 20 °C en -9 °C. Vind de temperatuur Ti op het grensvlak tussen de twee lagen.

L1 = 100 mm, k1 = 0,035 W/(m·K)L2 = 100 mm, k2 = 0,72 W/(m·K)A = 8 m²T1 = 20 °CT3 = -9 °C
Ti = °C
2.WarmtegeleidingMoeilijk
Glas, k = 0,96100 mmMinerale wol, k = 0,0475 mmkamer 22 °Cbuiten 5 °CQ̇ = ?

Een wand van 100 mm glas en 75 mm minerale wol scheidt een kamer van 22 °C van de buitenlucht van 5 °C. De warmteoverdrachtscoëfficiënten zijn 10 W/(m²·K) binnen en 25 W/(m²·K) buiten, en het wandoppervlak is 8 m². Vind het warmteverlies Q̇ door de wand.

L1 = 100 mm, k1 = 0,96 W/(m·K)L2 = 75 mm, k2 = 0,04 W/(m·K)A = 8 m²hi = 10 W/(m²·K)ho = 25 W/(m²·K)Troom = 22 °CTout = 5 °C
Q̇ = W
3.Warmtewisselaars (LMTD)Gemiddeld
lengteT105 °C25 °C45 °CΔT₁ΔT₂condenserende stoom

In een condensor condenseert stoom bij een constante 105 °C aan de buitenkant van de buizen. Koelwater (1 kg/s, cp = 4,18 kJ/(kg·K)) stroomt door de buizen en warmt op van 25 tot 45 °C. De warmtedoorgangscoëfficiënt is 2000 W/(m²·K). Vind het benodigde warmtewisselend oppervlak A.

Ts = 105 °Cṁ = 1 kg/scp = 4,18 kJ/(kg·K)Tc: 25 → 45 °CU = 2000 W/(m²·K)
A = m²
4.Warmtewisselaars (LMTD)Moeilijk
lengteT155 °C??20 °CΔT₁ΔT₂tegenstroom

In een tegenstroomwarmtewisselaar hebben beide stromen dezelfde warmtecapaciteitsstroom, ṁ·cp = 4 kW/K. De warme stroom komt binnen op 155 °C en de koude stroom op 20 °C. De wisselaar heeft A = 6 m² en U = 800 W/(m²·K). Vind de uittredetemperatuur van de warme stroom Th,out.

Ch = Cc = 4 kW/KTh,in = 155 °CTc,in = 20 °CA = 6 m²U = 800 W/(m²·K)
Th,out = °C

3Oplossingen

1.Warmtegeleiding

Antwoord: Ti = −7,656 °C

Warmteweerstand: stationaire warmtestroom door lagen in serie gedraagt zich als stroom door weerstanden in serie: Q̇ = ΔT/ΣR, met R = L/(kA) voor een geleidende laag en R = 1/(hA) voor een oppervlak met convectie. Het temperatuurverschil over elke laag is evenredig met haar weerstand.

Weerstanden van de lagen

R1 = L1/(k1A) = (100/1000)/(0,035·8) = 0,3571 K/W
R2 = L2/(k2A) = (100/1000)/(0,72·8) = 0,01736 K/W

Warmtestroom

Q̇ = (T1 − T3)/(R1 + R2) = 29/0,3745 = 77,44 W

Temperatuur op het grensvlak

De temperatuur daalt over de eerste laag met Q̇·R₁.

Ti = T1 − Q̇·R1 = 20 − 77,44·0,3571 = −7,656 °C

Antwoord

Ti = −7,656 °C
2.Warmtegeleiding

Antwoord: Q̇ = 64,18 W

Warmteweerstand: stationaire warmtestroom door lagen in serie gedraagt zich als stroom door weerstanden in serie: Q̇ = ΔT/ΣR, met R = L/(kA) voor een geleidende laag en R = 1/(hA) voor een oppervlak met convectie. Het temperatuurverschil over elke laag is evenredig met haar weerstand.

Weerstanden in serie

Ri = 1/(hiA) = 1/(10·8) = 0,0125 K/W
R1 = L1/(k1A) = (100/1000)/(0,96·8) = 0,01302 K/W
R2 = L2/(k2A) = (75/1000)/(0,04·8) = 0,2344 K/W
Ro = 1/(hoA) = 1/(25·8) = 0,005 K/W
ΣR = 0,2649 K/W

Warmteverlies

Q̇ = (22 − (5))/0,2649 = 64,18 W

Antwoord

Q̇ = 64,18 W
3.Warmtewisselaars (LMTD)

Antwoord: A = 0,6013 m²

LMTD method: the temperature difference between the streams changes along the exchanger, so the rate equation uses its logarithmic mean: Q̇ = U·A·ΔTlm, with ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), where ΔT₁ and ΔT₂ are the differences at the two ends. Counter-flow gives a larger ΔTlm than parallel flow for the same inlet and outlet temperatures.

Warmtevermogen aan de waterkant

Q̇ = 1·4,18·(45 − 25) = 83,6 kW

Temperatuurverschillen aan de uiteinden

ΔT₁ = 105 − 25 = 80 K
ΔT₂ = 105 − 45 = 60 K

Logaritmisch gemiddeld temperatuurverschil

ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂) = (80 − 60)/ln(80/60) = 69,52 K

Oppervlak

A = Q̇/(U·ΔTlm) = 83600/(2000·69,52) = 0,6013 m²

Antwoord

A = 0,6013 m²
4.Warmtewisselaars (LMTD)

Antwoord: Th,out = 81,36 °C

LMTD method: the temperature difference between the streams changes along the exchanger, so the rate equation uses its logarithmic mean: Q̇ = U·A·ΔTlm, with ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), where ΔT₁ and ΔT₂ are the differences at the two ends. Counter-flow gives a larger ΔTlm than parallel flow for the same inlet and outlet temperatures.

Constant temperatuurverschil

De koude uitlaat ligt tegenover de warme inlaat: Tc,out = Tc,in + (Th,in − Th,out), dus ΔT₁ = Th,in − Tc,out = Th,out − Tc,in = ΔT₂.

ΔTlm = Th,out − Tc,in

Energiebalans gelijk aan warmteoverdrachtsvergelijking

4·(155 − Th,out) = 4,8·(Th,out − 20)
Th,out = (4·155 + 4,8·20)/(4 + 4,8) = 81,36 °C

Antwoord

Th,out = 81,36 °C

Overgedragen warmte: Q̇ = 294,5 kW; de koude stroom verlaat de wisselaar op 93,64 °C.

ExamProblems · examproblems.com/courses/heat-transfer