Warmtegeleiding
- Wet van Fourier
- Q̇ = kAΔT/L
- Geleidingsweerstand
- R = L/(kA)
- Convectieweerstand
- R = 1/(hA)
- Weerstanden in serie
- Q̇ = ΔTtotal/ΣR
- U-waarde
- U = 1/(ΣR·A)
Warmteoverdracht: samenvattingspakket
Formuleoverzichten, de belangrijkste methodestappen voor elk onderwerp en 4 oefenopgaven, met volledige oplossingen achterin.
1Formules en methoden
Warmtewisselaars (LMTD)
- Warmtevermogen
- Q = U·A·ΔTlm
- Logaritmisch gemiddeld temperatuurverschil
- ΔTlm = (ΔT1 − ΔT2)/ln(ΔT1/ΔT2)
- Balans van een stroom
- Q = ṁcp(Tin − Tout)
2Oefenopgaven
1.WarmtegeleidingGemiddeld
Een wand bestaat uit 50 mm hout en 100 mm beton, met een oppervlak van 12 m². De buitenzijden zijn 22 °C en -12 °C. Vind de warmtestroom Q̇ door de wand.
L1 = 50 mm, k1 = 0,17 W/(m·K)L2 = 100 mm, k2 = 1,4 W/(m·K)A = 12 m²T1 = 22 °CT3 = -12 °C
Q̇ = W
2.WarmtegeleidingMoeilijk
Een wand van 250 mm glas en 150 mm hout scheidt een kamer van 20 °C van de buitenlucht van -4 °C. De warmteoverdrachtscoëfficiënten zijn 8 W/(m²·K) binnen en 20 W/(m²·K) buiten, en het wandoppervlak is 8 m². Vind de warmtedoorgangscoëfficiënt U van de wand.
L1 = 250 mm, k1 = 0,96 W/(m·K)L2 = 150 mm, k2 = 0,17 W/(m·K)A = 8 m²hi = 8 W/(m²·K)ho = 20 W/(m²·K)Troom = 20 °CTout = -4 °C
U = W/(m²·K)
3.Warmtewisselaars (LMTD)Gemiddeld
In een condensor condenseert stoom bij een constante 105 °C aan de buitenkant van de buizen. Koelwater (0,5 kg/s, cp = 4,18 kJ/(kg·K)) stroomt door de buizen en warmt op van 20 tot 65 °C. De warmtedoorgangscoëfficiënt is 1500 W/(m²·K). Vind het benodigde warmtewisselend oppervlak A.
Ts = 105 °Cṁ = 0,5 kg/scp = 4,18 kJ/(kg·K)Tc: 20 → 65 °CU = 1500 W/(m²·K)
A = m²
4.Warmtewisselaars (LMTD)Moeilijk
In een tegenstroomwarmtewisselaar hebben beide stromen dezelfde warmtecapaciteitsstroom, ṁ·cp = 1 kW/K. De warme stroom komt binnen op 180 °C en de koude stroom op 30 °C. De wisselaar heeft A = 1 m² en U = 500 W/(m²·K). Vind de uittredetemperatuur van de warme stroom Th,out.
Ch = Cc = 1 kW/KTh,in = 180 °CTc,in = 30 °CA = 1 m²U = 500 W/(m²·K)
Th,out = °C
3Oplossingen
1.Warmtegeleiding
Antwoord: Q̇ = 1116 W
Warmteweerstand: stationaire warmtestroom door lagen in serie gedraagt zich als stroom door weerstanden in serie: Q̇ = ΔT/ΣR, met R = L/(kA) voor een geleidende laag en R = 1/(hA) voor een oppervlak met convectie. Het temperatuurverschil over elke laag is evenredig met haar weerstand.
Weerstanden van de lagen
R1 = L1/(k1A) = (50/1000)/(0,17·12) = 0,02451 K/W
R2 = L2/(k2A) = (100/1000)/(1,4·12) = 0,005952 K/W
Warmtestroom
Q̇ = (T1 − T3)/(R1 + R2) = 34/0,03046 = 1116 W
Antwoord
Q̇ = 1116 W
2.Warmtegeleiding
Antwoord: U = 0,7589 W/(m²·K)
Warmteweerstand: stationaire warmtestroom door lagen in serie gedraagt zich als stroom door weerstanden in serie: Q̇ = ΔT/ΣR, met R = L/(kA) voor een geleidende laag en R = 1/(hA) voor een oppervlak met convectie. Het temperatuurverschil over elke laag is evenredig met haar weerstand.
Weerstanden in serie
Ri = 1/(hiA) = 1/(8·8) = 0,01563 K/W
R1 = L1/(k1A) = (250/1000)/(0,96·8) = 0,03255 K/W
R2 = L2/(k2A) = (150/1000)/(0,17·8) = 0,1103 K/W
Ro = 1/(hoA) = 1/(20·8) = 0,00625 K/W
ΣR = 0,1647 K/W
Warmtedoorgangscoëfficiënt
U = 1/(A·ΣR) = 1/(8·0,1647) = 0,7589 W/(m²·K)
Antwoord
U = 0,7589 W/(m²·K)
3.Warmtewisselaars (LMTD)
Antwoord: A = 1,05 m²
LMTD method: the temperature difference between the streams changes along the exchanger, so the rate equation uses its logarithmic mean: Q̇ = U·A·ΔTlm, with ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), where ΔT₁ and ΔT₂ are the differences at the two ends. Counter-flow gives a larger ΔTlm than parallel flow for the same inlet and outlet temperatures.
Warmtevermogen aan de waterkant
Q̇ = 0,5·4,18·(65 − 20) = 94,05 kW
Temperatuurverschillen aan de uiteinden
ΔT₁ = 105 − 20 = 85 K
ΔT₂ = 105 − 65 = 40 K
Logaritmisch gemiddeld temperatuurverschil
ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂) = (85 − 40)/ln(85/40) = 59,7 K
Oppervlak
A = Q̇/(U·ΔTlm) = 94050/(1500·59,7) = 1,05 m²
Antwoord
A = 1,05 m²
4.Warmtewisselaars (LMTD)
Antwoord: Th,out = 130 °C
LMTD method: the temperature difference between the streams changes along the exchanger, so the rate equation uses its logarithmic mean: Q̇ = U·A·ΔTlm, with ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), where ΔT₁ and ΔT₂ are the differences at the two ends. Counter-flow gives a larger ΔTlm than parallel flow for the same inlet and outlet temperatures.
Constant temperatuurverschil
De koude uitlaat ligt tegenover de warme inlaat: Tc,out = Tc,in + (Th,in − Th,out), dus ΔT₁ = Th,in − Tc,out = Th,out − Tc,in = ΔT₂.
ΔTlm = Th,out − Tc,in
Energiebalans gelijk aan warmteoverdrachtsvergelijking
1·(180 − Th,out) = 0,5·(Th,out − 30)
Th,out = (1·180 + 0,5·30)/(1 + 0,5) = 130 °C
Antwoord
Th,out = 130 °C
Overgedragen warmte: Q̇ = 50 kW; de koude stroom verlaat de wisselaar op 80 °C.
ExamProblems · examproblems.com/courses/heat-transfer