Warmtegeleiding
- Wet van Fourier
- Q̇ = kAΔT/L
- Geleidingsweerstand
- R = L/(kA)
- Convectieweerstand
- R = 1/(hA)
- Weerstanden in serie
- Q̇ = ΔTtotal/ΣR
- U-waarde
- U = 1/(ΣR·A)
Warmteoverdracht: samenvattingspakket
Formuleoverzichten, de belangrijkste methodestappen voor elk onderwerp en 4 oefenopgaven, met volledige oplossingen achterin.
1Formules en methoden
Warmtewisselaars (LMTD)
- Warmtevermogen
- Q = U·A·ΔTlm
- Logaritmisch gemiddeld temperatuurverschil
- ΔTlm = (ΔT1 − ΔT2)/ln(ΔT1/ΔT2)
- Balans van een stroom
- Q = ṁcp(Tin − Tout)
2Oefenopgaven
1.WarmtegeleidingGemiddeld
Een wand bestaat uit 150 mm glas en 25 mm beton, met een oppervlak van 8 m². De buitenzijden zijn 22 °C en -2 °C. Vind de warmtestroom Q̇ door de wand.
L1 = 150 mm, k1 = 0,96 W/(m·K)L2 = 25 mm, k2 = 1,4 W/(m·K)A = 8 m²T1 = 22 °CT3 = -2 °C
Q̇ = W
2.WarmtegeleidingMoeilijk
Een wand van 250 mm beton en 25 mm minerale wol scheidt een kamer van 21 °C van de buitenlucht van -6 °C. De warmteoverdrachtscoëfficiënten zijn 10 W/(m²·K) binnen en 30 W/(m²·K) buiten, en het wandoppervlak is 12 m². Vind de temperatuur Ts van het binnenoppervlak van de wand.
L1 = 250 mm, k1 = 1,4 W/(m·K)L2 = 25 mm, k2 = 0,04 W/(m·K)A = 12 m²hi = 10 W/(m²·K)ho = 30 W/(m²·K)Troom = 21 °CTout = -6 °C
Ts = °C
3.Warmtewisselaars (LMTD)Gemiddeld
Een tegenstroomwarmtewisselaar draagt 60 kW over. De warme vloeistof koelt af van 85 tot 50 °C en de koude vloeistof warmt op van 15 tot 30 °C. De warmtedoorgangscoëfficiënt is 300 W/(m²·K). Vind het benodigde warmtewisselend oppervlak A.
Q̇ = 60 kWU = 300 W/(m²·K)Th: 85 → 50 °CTc: 15 → 30 °C
A = m²
4.Warmtewisselaars (LMTD)Moeilijk
In een tegenstroomwarmtewisselaar hebben beide stromen dezelfde warmtecapaciteitsstroom, ṁ·cp = 2 kW/K. De warme stroom komt binnen op 165 °C en de koude stroom op 25 °C. De wisselaar heeft A = 5 m² en U = 300 W/(m²·K). Vind de uittredetemperatuur van de warme stroom Th,out.
Ch = Cc = 2 kW/KTh,in = 165 °CTc,in = 25 °CA = 5 m²U = 300 W/(m²·K)
Th,out = °C
3Oplossingen
1.Warmtegeleiding
Antwoord: Q̇ = 1103 W
Warmteweerstand: stationaire warmtestroom door lagen in serie gedraagt zich als stroom door weerstanden in serie: Q̇ = ΔT/ΣR, met R = L/(kA) voor een geleidende laag en R = 1/(hA) voor een oppervlak met convectie. Het temperatuurverschil over elke laag is evenredig met haar weerstand.
Weerstanden van de lagen
R1 = L1/(k1A) = (150/1000)/(0,96·8) = 0,01953 K/W
R2 = L2/(k2A) = (25/1000)/(1,4·8) = 0,002232 K/W
Warmtestroom
Q̇ = (T1 − T3)/(R1 + R2) = 24/0,02176 = 1103 W
Antwoord
Q̇ = 1103 W
2.Warmtegeleiding
Antwoord: Ts = 18,12 °C
Warmteweerstand: stationaire warmtestroom door lagen in serie gedraagt zich als stroom door weerstanden in serie: Q̇ = ΔT/ΣR, met R = L/(kA) voor een geleidende laag en R = 1/(hA) voor een oppervlak met convectie. Het temperatuurverschil over elke laag is evenredig met haar weerstand.
Weerstanden in serie
Ri = 1/(hiA) = 1/(10·12) = 0,008333 K/W
R1 = L1/(k1A) = (250/1000)/(1,4·12) = 0,01488 K/W
R2 = L2/(k2A) = (25/1000)/(0,04·12) = 0,05208 K/W
Ro = 1/(hoA) = 1/(30·12) = 0,002778 K/W
ΣR = 0,07808 K/W
Warmteverlies
Q̇ = (21 − (-6))/0,07808 = 345,8 W
Ts = Troom − Q̇·Ri = 21 − 345,8·0,008333 = 18,12 °C
Antwoord
Ts = 18,12 °C
3.Warmtewisselaars (LMTD)
Antwoord: A = 4,52 m²
LMTD-methode: het temperatuurverschil tussen de stromen verandert langs de warmtewisselaar, dus de overdrachtsvergelijking gebruikt het logaritmisch gemiddelde: Q̇ = U·A·ΔTlm, met ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), waarbij ΔT₁ en ΔT₂ de verschillen aan beide uiteinden zijn. Tegenstroom geeft een grotere ΔTlm dan meestroom bij dezelfde in- en uittredetemperaturen.
Temperatuurverschillen aan de uiteinden
Bij tegenstroom ligt de warme ingang tegenover de koude uitgang, en de warme uitgang tegenover de koude ingang.
ΔT₁ = Th,in − Tc,out = 85 − 30 = 55 K
ΔT₂ = Th,out − Tc,in = 50 − 15 = 35 K
Logaritmisch gemiddeld temperatuurverschil
ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂) = (55 − 35)/ln(55/35) = 44,25 K
Oppervlak
A = Q̇/(U·ΔTlm) = 60000/(300·44,25) = 4,52 m²
Antwoord
A = 4,52 m²
4.Warmtewisselaars (LMTD)
Antwoord: Th,out = 105 °C
LMTD method: the temperature difference between the streams changes along the exchanger, so the rate equation uses its logarithmic mean: Q̇ = U·A·ΔTlm, with ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), where ΔT₁ and ΔT₂ are the differences at the two ends. Counter-flow gives a larger ΔTlm than parallel flow for the same inlet and outlet temperatures.
Constant temperatuurverschil
De koude uitlaat ligt tegenover de warme inlaat: Tc,out = Tc,in + (Th,in − Th,out), dus ΔT₁ = Th,in − Tc,out = Th,out − Tc,in = ΔT₂.
ΔTlm = Th,out − Tc,in
Energiebalans gelijk aan warmteoverdrachtsvergelijking
2·(165 − Th,out) = 1,5·(Th,out − 25)
Th,out = (2·165 + 1,5·25)/(2 + 1,5) = 105 °C
Antwoord
Th,out = 105 °C
Overgedragen warmte: Q̇ = 120 kW; de koude stroom verlaat de wisselaar op 85 °C.
ExamProblems · examproblems.com/courses/heat-transfer