Warmtegeleiding
- Wet van Fourier
- Q̇ = kAΔT/L
- Geleidingsweerstand
- R = L/(kA)
- Convectieweerstand
- R = 1/(hA)
- Weerstanden in serie
- Q̇ = ΔTtotal/ΣR
- U-waarde
- U = 1/(ΣR·A)
Warmteoverdracht: samenvattingspakket
Formuleoverzichten, de belangrijkste methodestappen voor elk onderwerp en 4 oefenopgaven, met volledige oplossingen achterin.
1Formules en methoden
Warmtewisselaars (LMTD)
- Warmtevermogen
- Q = U·A·ΔTlm
- Logaritmisch gemiddeld temperatuurverschil
- ΔTlm = (ΔT1 − ΔT2)/ln(ΔT1/ΔT2)
- Balans van een stroom
- Q = ṁcp(Tin − Tout)
2Oefenopgaven
1.WarmtegeleidingGemiddeld
Een wand bestaat uit 250 mm beton en 25 mm gipsplaat, met een oppervlak van 10 m². De buitenzijden zijn 16 °C en 4 °C. Vind de temperatuur Ti op het grensvlak tussen de twee lagen.
L1 = 250 mm, k1 = 1,4 W/(m·K)L2 = 25 mm, k2 = 0,17 W/(m·K)A = 10 m²T1 = 16 °CT3 = 4 °C
Ti = °C
2.WarmtegeleidingMoeilijk
Een wand van 100 mm glas en 75 mm geëxpandeerd polystyreen scheidt een kamer van 20 °C van de buitenlucht van -3 °C. De warmteoverdrachtscoëfficiënten zijn 7,7 W/(m²·K) binnen en 30 W/(m²·K) buiten, en het wandoppervlak is 15 m². Vind het warmteverlies Q̇ door de wand.
L1 = 100 mm, k1 = 0,96 W/(m·K)L2 = 75 mm, k2 = 0,035 W/(m·K)A = 15 m²hi = 7,7 W/(m²·K)ho = 30 W/(m²·K)Troom = 20 °CTout = -3 °C
Q̇ = W
3.Warmtewisselaars (LMTD)Gemiddeld
Een meestroomwarmtewisselaar draagt 470 kW over. De warme vloeistof koelt af van 165 tot 150 °C en de koude vloeistof warmt op van 30 tot 65 °C. De warmtedoorgangscoëfficiënt is 200 W/(m²·K). Vind het benodigde warmtewisselend oppervlak A.
Q̇ = 470 kWU = 200 W/(m²·K)Th: 165 → 150 °CTc: 30 → 65 °C
A = m²
4.Warmtewisselaars (LMTD)Moeilijk
Warme olie (0,5 kg/s, cp = 2,1 kJ/(kg·K)) koelt af van 80 tot 60 °C in een tegenstroomwarmtewisselaar. Ze verwarmt 3 kg/s water (cp = 4,18 kJ/(kg·K)) dat binnenkomt op 20 °C. Met U = 200 W/(m²·K), vind het benodigde warmtewisselend oppervlak A.
ṁh = 0,5 kg/scp,h = 2,1 kJ/(kg·K)Th: 80 → 60 °Cṁc = 3 kg/scp,c = 4,18 kJ/(kg·K)Tc,in = 20 °CU = 200 W/(m²·K)
A = m²
3Oplossingen
1.Warmtegeleiding
Antwoord: Ti = 9,419 °C
Warmteweerstand: stationaire warmtestroom door lagen in serie gedraagt zich als stroom door weerstanden in serie: Q̇ = ΔT/ΣR, met R = L/(kA) voor een geleidende laag en R = 1/(hA) voor een oppervlak met convectie. Het temperatuurverschil over elke laag is evenredig met haar weerstand.
Weerstanden van de lagen
R1 = L1/(k1A) = (250/1000)/(1,4·10) = 0,01786 K/W
R2 = L2/(k2A) = (25/1000)/(0,17·10) = 0,01471 K/W
Warmtestroom
Q̇ = (T1 − T3)/(R1 + R2) = 12/0,03256 = 368,5 W
Temperatuur op het grensvlak
De temperatuur daalt over de eerste laag met Q̇·R₁.
Ti = T1 − Q̇·R1 = 16 − 368,5·0,01786 = 9,419 °C
Antwoord
Ti = 9,419 °C
2.Warmtegeleiding
Antwoord: Q̇ = 143,1 W
Warmteweerstand: stationaire warmtestroom door lagen in serie gedraagt zich als stroom door weerstanden in serie: Q̇ = ΔT/ΣR, met R = L/(kA) voor een geleidende laag en R = 1/(hA) voor een oppervlak met convectie. Het temperatuurverschil over elke laag is evenredig met haar weerstand.
Weerstanden in serie
Ri = 1/(hiA) = 1/(7,7·15) = 0,008658 K/W
R1 = L1/(k1A) = (100/1000)/(0,96·15) = 0,006944 K/W
R2 = L2/(k2A) = (75/1000)/(0,035·15) = 0,1429 K/W
Ro = 1/(hoA) = 1/(30·15) = 0,002222 K/W
ΣR = 0,1607 K/W
Warmteverlies
Q̇ = (20 − (-3))/0,1607 = 143,1 W
Antwoord
Q̇ = 143,1 W
3.Warmtewisselaars (LMTD)
Antwoord: A = 21,74 m²
LMTD-methode: het temperatuurverschil tussen de stromen verandert langs de warmtewisselaar, dus de overdrachtsvergelijking gebruikt het logaritmisch gemiddelde: Q̇ = U·A·ΔTlm, met ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), waarbij ΔT₁ en ΔT₂ de verschillen aan beide uiteinden zijn. Tegenstroom geeft een grotere ΔTlm dan meestroom bij dezelfde in- en uittredetemperaturen.
Temperatuurverschillen aan de uiteinden
Bij meestroom liggen beide ingangen aan hetzelfde uiteinde, en beide uitgangen aan het andere.
ΔT₁ = Th,in − Tc,in = 165 − 30 = 135 K
ΔT₂ = Th,out − Tc,out = 150 − 65 = 85 K
Logaritmisch gemiddeld temperatuurverschil
ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂) = (135 − 85)/ln(135/85) = 108,1 K
Oppervlak
A = Q̇/(U·ΔTlm) = 470000/(200·108,1) = 21,74 m²
Antwoord
A = 21,74 m²
4.Warmtewisselaars (LMTD)
Antwoord: A = 2,161 m²
LMTD-methode: het temperatuurverschil tussen de stromen verandert langs de warmtewisselaar, dus de overdrachtsvergelijking gebruikt het logaritmisch gemiddelde: Q̇ = U·A·ΔTlm, met ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), waarbij ΔT₁ en ΔT₂ de verschillen aan beide uiteinden zijn. Tegenstroom geeft een grotere ΔTlm dan meestroom bij dezelfde in- en uittredetemperaturen.
Warmtevermogen en uittredetemperatuur van het water
Q̇ = ṁhcp,h(Th,in − Th,out) = 0,5·2,1·20 = 21 kW
Tc,out = 20 + 21/(3·4,18) = 21,67 °C
Temperatuurverschillen aan de uiteinden
Bij tegenstroom ligt de warme ingang tegenover de koude uitgang, en de warme uitgang tegenover de koude ingang.
ΔT₁ = Th,in − Tc,out = 80 − 21,67 = 58,33 K
ΔT₂ = Th,out − Tc,in = 60 − 20 = 40 K
Logaritmisch gemiddeld temperatuurverschil
ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂) = (58,33 − 40)/ln(58,33/40) = 48,59 K
Oppervlak
A = Q̇/(U·ΔTlm) = 21000/(200·48,59) = 2,161 m²
Antwoord
A = 2,161 m²
ExamProblems · examproblems.com/courses/heat-transfer