Warmteoverdracht: samenvattingspakket

Formuleoverzichten, de belangrijkste methodestappen voor elk onderwerp en 4 oefenopgaven, met volledige oplossingen achterin.

Nieuwe opgavenTerug naar het vak

Kies in het printvenster “Opslaan als pdf” om een kopie op je apparaat te bewaren.

1Formules en methoden

Warmtegeleiding

Wet van Fourier
Q̇ = kAΔT/L
Geleidingsweerstand
R = L/(kA)
Convectieweerstand
R = 1/(hA)
Weerstanden in serie
Q̇ = ΔTtotal/ΣR
U-waarde
U = 1/(ΣR·A)

Warmtewisselaars (LMTD)

Warmtevermogen
Q = U·A·ΔTlm
Logaritmisch gemiddeld temperatuurverschil
ΔTlm = (ΔT1 − ΔT2)/ln(ΔT1/ΔT2)
Balans van een stroom
Q = ṁcp(Tin − Tout)

2Oefenopgaven

1.WarmtegeleidingGemiddeld
Hout, k = 0,17150 mmGipsplaat, k = 0,17100 mm24 °C1 °CQ̇ = ?

Een wand bestaat uit 150 mm hout en 100 mm gipsplaat, met een oppervlak van 20 m². De buitenzijden zijn 24 °C en 1 °C. Vind de warmtestroom Q̇ door de wand.

L1 = 150 mm, k1 = 0,17 W/(m·K)L2 = 100 mm, k2 = 0,17 W/(m·K)A = 20 m²T1 = 24 °CT3 = 1 °C
Q̇ = W
2.WarmtegeleidingMoeilijk
Baksteen, k = 0,72100 mmHout, k = 0,1775 mmkamer 22 °Cbuiten 2 °CQ̇

Een wand van 100 mm baksteen en 75 mm hout scheidt een kamer van 22 °C van de buitenlucht van 2 °C. De warmteoverdrachtscoëfficiënten zijn 10 W/(m²·K) binnen en 30 W/(m²·K) buiten, en het wandoppervlak is 4 m². Vind de warmtedoorgangscoëfficiënt U van de wand.

L1 = 100 mm, k1 = 0,72 W/(m·K)L2 = 75 mm, k2 = 0,17 W/(m·K)A = 4 m²hi = 10 W/(m²·K)ho = 30 W/(m²·K)Troom = 22 °CTout = 2 °C
U = W/(m²·K)
3.Warmtewisselaars (LMTD)Gemiddeld
lengteT110 °C10 °C85 °CΔT₁ΔT₂condenserende stoom

In een condensor condenseert stoom bij een constante 110 °C aan de buitenkant van de buizen. Koelwater (1,5 kg/s, cp = 4,18 kJ/(kg·K)) stroomt door de buizen en warmt op van 10 tot 85 °C. De warmtedoorgangscoëfficiënt is 2500 W/(m²·K). Vind het benodigde warmtewisselend oppervlak A.

Ts = 110 °Cṁ = 1,5 kg/scp = 4,18 kJ/(kg·K)Tc: 10 → 85 °CU = 2500 W/(m²·K)
A = m²
4.Warmtewisselaars (LMTD)Moeilijk
lengteT170 °C55 °C146,6 °C20 °CΔT₁ΔT₂tegenstroom

Warme olie (2 kg/s, cp = 2,3 kJ/(kg·K)) koelt af van 170 tot 55 °C in een tegenstroomwarmtewisselaar. Ze verwarmt 1 kg/s water (cp = 4,18 kJ/(kg·K)) dat binnenkomt op 20 °C. Met U = 200 W/(m²·K), vind het benodigde warmtewisselend oppervlak A.

ṁh = 2 kg/scp,h = 2,3 kJ/(kg·K)Th: 170 → 55 °Cṁc = 1 kg/scp,c = 4,18 kJ/(kg·K)Tc,in = 20 °CU = 200 W/(m²·K)
A = m²

3Oplossingen

1.Warmtegeleiding

Antwoord: Q̇ = 312,8 W

Warmteweerstand: stationaire warmtestroom door lagen in serie gedraagt zich als stroom door weerstanden in serie: Q̇ = ΔT/ΣR, met R = L/(kA) voor een geleidende laag en R = 1/(hA) voor een oppervlak met convectie. Het temperatuurverschil over elke laag is evenredig met haar weerstand.

Weerstanden van de lagen

R1 = L1/(k1A) = (150/1000)/(0,17·20) = 0,04412 K/W
R2 = L2/(k2A) = (100/1000)/(0,17·20) = 0,02941 K/W

Warmtestroom

Q̇ = (T1 − T3)/(R1 + R2) = 23/0,07353 = 312,8 W

Antwoord

Q̇ = 312,8 W
2.Warmtegeleiding

Antwoord: U = 1,402 W/(m²·K)

Warmteweerstand: stationaire warmtestroom door lagen in serie gedraagt zich als stroom door weerstanden in serie: Q̇ = ΔT/ΣR, met R = L/(kA) voor een geleidende laag en R = 1/(hA) voor een oppervlak met convectie. Het temperatuurverschil over elke laag is evenredig met haar weerstand.

Weerstanden in serie

Ri = 1/(hiA) = 1/(10·4) = 0,025 K/W
R1 = L1/(k1A) = (100/1000)/(0,72·4) = 0,03472 K/W
R2 = L2/(k2A) = (75/1000)/(0,17·4) = 0,1103 K/W
Ro = 1/(hoA) = 1/(30·4) = 0,008333 K/W
ΣR = 0,1783 K/W

Warmtedoorgangscoëfficiënt

U = 1/(A·ΣR) = 1/(4·0,1783) = 1,402 W/(m²·K)

Antwoord

U = 1,402 W/(m²·K)
3.Warmtewisselaars (LMTD)

Antwoord: A = 3,477 m²

LMTD method: the temperature difference between the streams changes along the exchanger, so the rate equation uses its logarithmic mean: Q̇ = U·A·ΔTlm, with ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), where ΔT₁ and ΔT₂ are the differences at the two ends. Counter-flow gives a larger ΔTlm than parallel flow for the same inlet and outlet temperatures.

Warmtevermogen aan de waterkant

Q̇ = 1,5·4,18·(85 − 10) = 470,2 kW

Temperatuurverschillen aan de uiteinden

ΔT₁ = 110 − 10 = 100 K
ΔT₂ = 110 − 85 = 25 K

Logaritmisch gemiddeld temperatuurverschil

ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂) = (100 − 25)/ln(100/25) = 54,1 K

Oppervlak

A = Q̇/(U·ΔTlm) = 470250/(2500·54,1) = 3,477 m²

Antwoord

A = 3,477 m²
4.Warmtewisselaars (LMTD)

Antwoord: A = 91,72 m²

LMTD-methode: het temperatuurverschil tussen de stromen verandert langs de warmtewisselaar, dus de overdrachtsvergelijking gebruikt het logaritmisch gemiddelde: Q̇ = U·A·ΔTlm, met ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), waarbij ΔT₁ en ΔT₂ de verschillen aan beide uiteinden zijn. Tegenstroom geeft een grotere ΔTlm dan meestroom bij dezelfde in- en uittredetemperaturen.

Warmtevermogen en uittredetemperatuur van het water

Q̇ = ṁhcp,h(Th,in − Th,out) = 2·2,3·115 = 529 kW
Tc,out = 20 + 529/(1·4,18) = 146,6 °C

Temperatuurverschillen aan de uiteinden

Bij tegenstroom ligt de warme ingang tegenover de koude uitgang, en de warme uitgang tegenover de koude ingang.

ΔT₁ = Th,in − Tc,out = 170 − 146,6 = 23,44 K
ΔT₂ = Th,out − Tc,in = 55 − 20 = 35 K

Logaritmisch gemiddeld temperatuurverschil

ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂) = (23,44 − 35)/ln(23,44/35) = 28,84 K

Oppervlak

A = Q̇/(U·ΔTlm) = 529000/(200·28,84) = 91,72 m²

Antwoord

A = 91,72 m²

ExamProblems · examproblems.com/courses/heat-transfer