Warmtegeleiding
- Wet van Fourier
- Q̇ = kAΔT/L
- Geleidingsweerstand
- R = L/(kA)
- Convectieweerstand
- R = 1/(hA)
- Weerstanden in serie
- Q̇ = ΔTtotal/ΣR
- U-waarde
- U = 1/(ΣR·A)
Warmteoverdracht: samenvattingspakket
Formuleoverzichten, de belangrijkste methodestappen voor elk onderwerp en 4 oefenopgaven, met volledige oplossingen achterin.
1Formules en methoden
Warmtewisselaars (LMTD)
- Warmtevermogen
- Q = U·A·ΔTlm
- Logaritmisch gemiddeld temperatuurverschil
- ΔTlm = (ΔT1 − ΔT2)/ln(ΔT1/ΔT2)
- Balans van een stroom
- Q = ṁcp(Tin − Tout)
2Oefenopgaven
1.WarmtegeleidingGemiddeld
Een wand bestaat uit 250 mm minerale wol en 100 mm glas, met een oppervlak van 10 m². De buitenzijden zijn 21 °C en 2 °C. Vind de warmtestroom Q̇ door de wand.
L1 = 250 mm, k1 = 0,04 W/(m·K)L2 = 100 mm, k2 = 0,96 W/(m·K)A = 10 m²T1 = 21 °CT3 = 2 °C
Q̇ = W
2.WarmtegeleidingMoeilijk
Een wand van 250 mm gipsplaat en 25 mm geëxpandeerd polystyreen scheidt een kamer van 21 °C van de buitenlucht van -1 °C. De warmteoverdrachtscoëfficiënten zijn 10 W/(m²·K) binnen en 25 W/(m²·K) buiten, en het wandoppervlak is 20 m². Vind de warmtedoorgangscoëfficiënt U van de wand.
L1 = 250 mm, k1 = 0,17 W/(m·K)L2 = 25 mm, k2 = 0,035 W/(m·K)A = 20 m²hi = 10 W/(m²·K)ho = 25 W/(m²·K)Troom = 21 °CTout = -1 °C
U = W/(m²·K)
3.Warmtewisselaars (LMTD)Gemiddeld
Een tegenstroomwarmtewisselaar draagt 370 kW over. De warme vloeistof koelt af van 180 tot 100 °C en de koude vloeistof warmt op van 10 tot 40 °C. De warmtedoorgangscoëfficiënt is 1000 W/(m²·K). Vind het benodigde warmtewisselend oppervlak A.
Q̇ = 370 kWU = 1000 W/(m²·K)Th: 180 → 100 °CTc: 10 → 40 °C
A = m²
4.Warmtewisselaars (LMTD)Moeilijk
In een tegenstroomwarmtewisselaar hebben beide stromen dezelfde warmtecapaciteitsstroom, ṁ·cp = 0,5 kW/K. De warme stroom komt binnen op 120 °C en de koude stroom op 10 °C. De wisselaar heeft A = 0,5 m² en U = 300 W/(m²·K). Vind de uittredetemperatuur van de warme stroom Th,out.
Ch = Cc = 0,5 kW/KTh,in = 120 °CTc,in = 10 °CA = 0,5 m²U = 300 W/(m²·K)
Th,out = °C
3Oplossingen
1.Warmtegeleiding
Antwoord: Q̇ = 29,9 W
Warmteweerstand: stationaire warmtestroom door lagen in serie gedraagt zich als stroom door weerstanden in serie: Q̇ = ΔT/ΣR, met R = L/(kA) voor een geleidende laag en R = 1/(hA) voor een oppervlak met convectie. Het temperatuurverschil over elke laag is evenredig met haar weerstand.
Weerstanden van de lagen
R1 = L1/(k1A) = (250/1000)/(0,04·10) = 0,625 K/W
R2 = L2/(k2A) = (100/1000)/(0,96·10) = 0,01042 K/W
Warmtestroom
Q̇ = (T1 − T3)/(R1 + R2) = 19/0,6354 = 29,9 W
Antwoord
Q̇ = 29,9 W
2.Warmtegeleiding
Antwoord: U = 0,4301 W/(m²·K)
Warmteweerstand: stationaire warmtestroom door lagen in serie gedraagt zich als stroom door weerstanden in serie: Q̇ = ΔT/ΣR, met R = L/(kA) voor een geleidende laag en R = 1/(hA) voor een oppervlak met convectie. Het temperatuurverschil over elke laag is evenredig met haar weerstand.
Weerstanden in serie
Ri = 1/(hiA) = 1/(10·20) = 0,005 K/W
R1 = L1/(k1A) = (250/1000)/(0,17·20) = 0,07353 K/W
R2 = L2/(k2A) = (25/1000)/(0,035·20) = 0,03571 K/W
Ro = 1/(hoA) = 1/(25·20) = 0,002 K/W
ΣR = 0,1162 K/W
Warmtedoorgangscoëfficiënt
U = 1/(A·ΣR) = 1/(20·0,1162) = 0,4301 W/(m²·K)
Antwoord
U = 0,4301 W/(m²·K)
3.Warmtewisselaars (LMTD)
Antwoord: A = 3,27 m²
LMTD-methode: het temperatuurverschil tussen de stromen verandert langs de warmtewisselaar, dus de overdrachtsvergelijking gebruikt het logaritmisch gemiddelde: Q̇ = U·A·ΔTlm, met ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), waarbij ΔT₁ en ΔT₂ de verschillen aan beide uiteinden zijn. Tegenstroom geeft een grotere ΔTlm dan meestroom bij dezelfde in- en uittredetemperaturen.
Temperatuurverschillen aan de uiteinden
Bij tegenstroom ligt de warme ingang tegenover de koude uitgang, en de warme uitgang tegenover de koude ingang.
ΔT₁ = Th,in − Tc,out = 180 − 40 = 140 K
ΔT₂ = Th,out − Tc,in = 100 − 10 = 90 K
Logaritmisch gemiddeld temperatuurverschil
ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂) = (140 − 90)/ln(140/90) = 113,2 K
Oppervlak
A = Q̇/(U·ΔTlm) = 370000/(1000·113,2) = 3,27 m²
Antwoord
A = 3,27 m²
4.Warmtewisselaars (LMTD)
Antwoord: Th,out = 94,62 °C
LMTD method: the temperature difference between the streams changes along the exchanger, so the rate equation uses its logarithmic mean: Q̇ = U·A·ΔTlm, with ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), where ΔT₁ and ΔT₂ are the differences at the two ends. Counter-flow gives a larger ΔTlm than parallel flow for the same inlet and outlet temperatures.
Constant temperatuurverschil
De koude uitlaat ligt tegenover de warme inlaat: Tc,out = Tc,in + (Th,in − Th,out), dus ΔT₁ = Th,in − Tc,out = Th,out − Tc,in = ΔT₂.
ΔTlm = Th,out − Tc,in
Energiebalans gelijk aan warmteoverdrachtsvergelijking
0,5·(120 − Th,out) = 0,15·(Th,out − 10)
Th,out = (0,5·120 + 0,15·10)/(0,5 + 0,15) = 94,62 °C
Antwoord
Th,out = 94,62 °C
Overgedragen warmte: Q̇ = 12,69 kW; de koude stroom verlaat de wisselaar op 35,38 °C.
ExamProblems · examproblems.com/courses/heat-transfer