Warmtegeleiding
- Wet van Fourier
- Q̇ = kAΔT/L
- Geleidingsweerstand
- R = L/(kA)
- Convectieweerstand
- R = 1/(hA)
- Weerstanden in serie
- Q̇ = ΔTtotal/ΣR
- U-waarde
- U = 1/(ΣR·A)
Warmteoverdracht: samenvattingspakket
Formuleoverzichten, de belangrijkste methodestappen voor elk onderwerp en 4 oefenopgaven, met volledige oplossingen achterin.
1Formules en methoden
Warmtewisselaars (LMTD)
- Warmtevermogen
- Q = U·A·ΔTlm
- Logaritmisch gemiddeld temperatuurverschil
- ΔTlm = (ΔT1 − ΔT2)/ln(ΔT1/ΔT2)
- Balans van een stroom
- Q = ṁcp(Tin − Tout)
2Oefenopgaven
1.WarmtegeleidingGemiddeld
Een wand bestaat uit 250 mm minerale wol en 75 mm gipsplaat, met een oppervlak van 4 m². De buitenzijden zijn 21 °C en 5 °C. Vind de warmtestroom Q̇ door de wand.
L1 = 250 mm, k1 = 0,04 W/(m·K)L2 = 75 mm, k2 = 0,17 W/(m·K)A = 4 m²T1 = 21 °CT3 = 5 °C
Q̇ = W
2.WarmtegeleidingMoeilijk
Een wand van 50 mm geëxpandeerd polystyreen en 150 mm beton scheidt een kamer van 20 °C van de buitenlucht van -15 °C. De warmteoverdrachtscoëfficiënten zijn 10 W/(m²·K) binnen en 20 W/(m²·K) buiten, en het wandoppervlak is 4 m². Vind het warmteverlies Q̇ door de wand.
L1 = 50 mm, k1 = 0,035 W/(m·K)L2 = 150 mm, k2 = 1,4 W/(m·K)A = 4 m²hi = 10 W/(m²·K)ho = 20 W/(m²·K)Troom = 20 °CTout = -15 °C
Q̇ = W
3.Warmtewisselaars (LMTD)Gemiddeld
Een tegenstroomwarmtewisselaar draagt 190 kW over. De warme vloeistof koelt af van 105 tot 65 °C en de koude vloeistof warmt op van 20 tot 65 °C. De warmtedoorgangscoëfficiënt is 1500 W/(m²·K). Vind het benodigde warmtewisselend oppervlak A.
Q̇ = 190 kWU = 1500 W/(m²·K)Th: 105 → 65 °CTc: 20 → 65 °C
A = m²
4.Warmtewisselaars (LMTD)Moeilijk
Warme olie (2 kg/s, cp = 2,5 kJ/(kg·K)) koelt af van 155 tot 55 °C in een tegenstroomwarmtewisselaar. Ze verwarmt 1 kg/s water (cp = 4,18 kJ/(kg·K)) dat binnenkomt op 30 °C. Met U = 200 W/(m²·K), vind het benodigde warmtewisselend oppervlak A.
ṁh = 2 kg/scp,h = 2,5 kJ/(kg·K)Th: 155 → 55 °Cṁc = 1 kg/scp,c = 4,18 kJ/(kg·K)Tc,in = 30 °CU = 200 W/(m²·K)
A = m²
3Oplossingen
1.Warmtegeleiding
Antwoord: Q̇ = 9,565 W
Warmteweerstand: stationaire warmtestroom door lagen in serie gedraagt zich als stroom door weerstanden in serie: Q̇ = ΔT/ΣR, met R = L/(kA) voor een geleidende laag en R = 1/(hA) voor een oppervlak met convectie. Het temperatuurverschil over elke laag is evenredig met haar weerstand.
Weerstanden van de lagen
R1 = L1/(k1A) = (250/1000)/(0,04·4) = 1,563 K/W
R2 = L2/(k2A) = (75/1000)/(0,17·4) = 0,1103 K/W
Warmtestroom
Q̇ = (T1 − T3)/(R1 + R2) = 16/1,673 = 9,565 W
Antwoord
Q̇ = 9,565 W
2.Warmtegeleiding
Antwoord: Q̇ = 83,05 W
Warmteweerstand: stationaire warmtestroom door lagen in serie gedraagt zich als stroom door weerstanden in serie: Q̇ = ΔT/ΣR, met R = L/(kA) voor een geleidende laag en R = 1/(hA) voor een oppervlak met convectie. Het temperatuurverschil over elke laag is evenredig met haar weerstand.
Weerstanden in serie
Ri = 1/(hiA) = 1/(10·4) = 0,025 K/W
R1 = L1/(k1A) = (50/1000)/(0,035·4) = 0,3571 K/W
R2 = L2/(k2A) = (150/1000)/(1,4·4) = 0,02679 K/W
Ro = 1/(hoA) = 1/(20·4) = 0,0125 K/W
ΣR = 0,4214 K/W
Warmteverlies
Q̇ = (20 − (-15))/0,4214 = 83,05 W
Antwoord
Q̇ = 83,05 W
3.Warmtewisselaars (LMTD)
Antwoord: A = 2,984 m²
LMTD-methode: het temperatuurverschil tussen de stromen verandert langs de warmtewisselaar, dus de overdrachtsvergelijking gebruikt het logaritmisch gemiddelde: Q̇ = U·A·ΔTlm, met ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), waarbij ΔT₁ en ΔT₂ de verschillen aan beide uiteinden zijn. Tegenstroom geeft een grotere ΔTlm dan meestroom bij dezelfde in- en uittredetemperaturen.
Temperatuurverschillen aan de uiteinden
Bij tegenstroom ligt de warme ingang tegenover de koude uitgang, en de warme uitgang tegenover de koude ingang.
ΔT₁ = Th,in − Tc,out = 105 − 65 = 40 K
ΔT₂ = Th,out − Tc,in = 65 − 20 = 45 K
Logaritmisch gemiddeld temperatuurverschil
ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂) = (40 − 45)/ln(40/45) = 42,45 K
Oppervlak
A = Q̇/(U·ΔTlm) = 190000/(1500·42,45) = 2,984 m²
Antwoord
A = 2,984 m²
4.Warmtewisselaars (LMTD)
Antwoord: A = 195,7 m²
LMTD-methode: het temperatuurverschil tussen de stromen verandert langs de warmtewisselaar, dus de overdrachtsvergelijking gebruikt het logaritmisch gemiddelde: Q̇ = U·A·ΔTlm, met ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), waarbij ΔT₁ en ΔT₂ de verschillen aan beide uiteinden zijn. Tegenstroom geeft een grotere ΔTlm dan meestroom bij dezelfde in- en uittredetemperaturen.
Warmtevermogen en uittredetemperatuur van het water
Q̇ = ṁhcp,h(Th,in − Th,out) = 2·2,5·100 = 500 kW
Tc,out = 30 + 500/(1·4,18) = 149,6 °C
Temperatuurverschillen aan de uiteinden
Bij tegenstroom ligt de warme ingang tegenover de koude uitgang, en de warme uitgang tegenover de koude ingang.
ΔT₁ = Th,in − Tc,out = 155 − 149,6 = 5,383 K
ΔT₂ = Th,out − Tc,in = 55 − 30 = 25 K
Logaritmisch gemiddeld temperatuurverschil
ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂) = (5,383 − 25)/ln(5,383/25) = 12,77 K
Oppervlak
A = Q̇/(U·ΔTlm) = 500000/(200·12,77) = 195,7 m²
Antwoord
A = 195,7 m²
ExamProblems · examproblems.com/courses/heat-transfer