Warmteoverdracht: samenvattingspakket

Formuleoverzichten, de belangrijkste methodestappen voor elk onderwerp en 4 oefenopgaven, met volledige oplossingen achterin.

Nieuwe opgavenTerug naar het vak

Kies in het printvenster “Opslaan als pdf” om een kopie op je apparaat te bewaren.

1Formules en methoden

Warmtegeleiding

Wet van Fourier
Q̇ = kAΔT/L
Geleidingsweerstand
R = L/(kA)
Convectieweerstand
R = 1/(hA)
Weerstanden in serie
Q̇ = ΔTtotal/ΣR
U-waarde
U = 1/(ΣR·A)

Warmtewisselaars (LMTD)

Warmtevermogen
Q = U·A·ΔTlm
Logaritmisch gemiddeld temperatuurverschil
ΔTlm = (ΔT1 − ΔT2)/ln(ΔT1/ΔT2)
Balans van een stroom
Q = ṁcp(Tin − Tout)

2Oefenopgaven

1.WarmtegeleidingGemiddeld
Minerale wol, k = 0,04100 mmBeton, k = 1,4100 mm15 °C-6 °CTi​ = ?Q̇

Een wand bestaat uit 100 mm minerale wol en 100 mm beton, met een oppervlak van 20 m². De buitenzijden zijn 15 °C en -6 °C. Vind de temperatuur Ti op het grensvlak tussen de twee lagen.

L1 = 100 mm, k1 = 0,04 W/(m·K)L2 = 100 mm, k2 = 1,4 W/(m·K)A = 20 m²T1 = 15 °CT3 = -6 °C
Ti = °C
2.WarmtegeleidingMoeilijk
Minerale wol, k = 0,04100 mmBeton, k = 1,4150 mmkamer 21 °Cbuiten -1 °CTs​ = ?Q̇

Een wand van 100 mm minerale wol en 150 mm beton scheidt een kamer van 21 °C van de buitenlucht van -1 °C. De warmteoverdrachtscoëfficiënten zijn 7,7 W/(m²·K) binnen en 20 W/(m²·K) buiten, en het wandoppervlak is 8 m². Vind de temperatuur Ts van het binnenoppervlak van de wand.

L1 = 100 mm, k1 = 0,04 W/(m·K)L2 = 150 mm, k2 = 1,4 W/(m·K)A = 8 m²hi = 7,7 W/(m²·K)ho = 20 W/(m²·K)Troom = 21 °CTout = -1 °C
Ts = °C
3.Warmtewisselaars (LMTD)Gemiddeld
lengteT135 °C75 °C75 °C20 °CΔT₁ΔT₂tegenstroom

Een tegenstroomwarmtewisselaar draagt 480 kW over. De warme vloeistof koelt af van 135 tot 75 °C en de koude vloeistof warmt op van 20 tot 75 °C. De warmtedoorgangscoëfficiënt is 200 W/(m²·K). Vind het benodigde warmtewisselend oppervlak A.

Q̇ = 480 kWU = 200 W/(m²·K)Th: 135 → 75 °CTc: 20 → 75 °C
A = m²
4.Warmtewisselaars (LMTD)Moeilijk
lengteT130 °C20 °C?ΔT₁ΔT₂condenserende stoom

Stoom condenseert bij een constante 130 °C aan de buitenkant van de buizen van een condensor met een warmtewisselend oppervlak van 2 m² en U = 2000 W/(m²·K). Koelwater (1 kg/s, cp = 4,18 kJ/(kg·K)) komt de buizen binnen op 20 °C. Vind de uittredetemperatuur van het water Tc,out.

Ts = 130 °CA = 2 m²U = 2000 W/(m²·K)ṁ = 1 kg/scp = 4,18 kJ/(kg·K)Tc,in = 20 °C
Tc,out = °C

3Oplossingen

1.Warmtegeleiding

Antwoord: Ti = −5,417 °C

Warmteweerstand: stationaire warmtestroom door lagen in serie gedraagt zich als stroom door weerstanden in serie: Q̇ = ΔT/ΣR, met R = L/(kA) voor een geleidende laag en R = 1/(hA) voor een oppervlak met convectie. Het temperatuurverschil over elke laag is evenredig met haar weerstand.

Weerstanden van de lagen

R1 = L1/(k1A) = (100/1000)/(0,04·20) = 0,125 K/W
R2 = L2/(k2A) = (100/1000)/(1,4·20) = 0,003571 K/W

Warmtestroom

Q̇ = (T1 − T3)/(R1 + R2) = 21/0,1286 = 163,3 W

Temperatuur op het grensvlak

De temperatuur daalt over de eerste laag met Q̇·R₁.

Ti = T1 − Q̇·R1 = 15 − 163,3·0,125 = −5,417 °C

Antwoord

Ti = −5,417 °C
2.Warmtegeleiding

Antwoord: Ts = 19,97 °C

Warmteweerstand: stationaire warmtestroom door lagen in serie gedraagt zich als stroom door weerstanden in serie: Q̇ = ΔT/ΣR, met R = L/(kA) voor een geleidende laag en R = 1/(hA) voor een oppervlak met convectie. Het temperatuurverschil over elke laag is evenredig met haar weerstand.

Weerstanden in serie

Ri = 1/(hiA) = 1/(7,7·8) = 0,01623 K/W
R1 = L1/(k1A) = (100/1000)/(0,04·8) = 0,3125 K/W
R2 = L2/(k2A) = (150/1000)/(1,4·8) = 0,01339 K/W
Ro = 1/(hoA) = 1/(20·8) = 0,00625 K/W
ΣR = 0,3484 K/W

Warmteverlies

Q̇ = (21 − (-1))/0,3484 = 63,15 W
Ts = Troom − Q̇·Ri = 21 − 63,15·0,01623 = 19,97 °C

Antwoord

Ts = 19,97 °C
3.Warmtewisselaars (LMTD)

Antwoord: A = 41,77 m²

LMTD-methode: het temperatuurverschil tussen de stromen verandert langs de warmtewisselaar, dus de overdrachtsvergelijking gebruikt het logaritmisch gemiddelde: Q̇ = U·A·ΔTlm, met ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), waarbij ΔT₁ en ΔT₂ de verschillen aan beide uiteinden zijn. Tegenstroom geeft een grotere ΔTlm dan meestroom bij dezelfde in- en uittredetemperaturen.

Temperatuurverschillen aan de uiteinden

Bij tegenstroom ligt de warme ingang tegenover de koude uitgang, en de warme uitgang tegenover de koude ingang.

ΔT₁ = Th,in − Tc,out = 135 − 75 = 60 K
ΔT₂ = Th,out − Tc,in = 75 − 20 = 55 K

Logaritmisch gemiddeld temperatuurverschil

ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂) = (60 − 55)/ln(60/55) = 57,46 K

Oppervlak

A = Q̇/(U·ΔTlm) = 480000/(200·57,46) = 41,77 m²

Antwoord

A = 41,77 m²
4.Warmtewisselaars (LMTD)

Antwoord: Tc,out = 87,75 °C

LMTD method: the temperature difference between the streams changes along the exchanger, so the rate equation uses its logarithmic mean: Q̇ = U·A·ΔTlm, with ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), where ΔT₁ and ΔT₂ are the differences at the two ends. Counter-flow gives a larger ΔTlm than parallel flow for the same inlet and outlet temperatures.

Combineer de energiebalans en de warmteoverdrachtsvergelijking

Met ΔT₁ = Ts − Tc,in en ΔT₂ = Ts − Tc,out is het verschil ΔT₁ − ΔT₂ gelijk aan de temperatuurstijging van het water, dus de stijging valt weg.

ṁcp(ΔT₁ − ΔT₂) = U·A·(ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂)
ln(ΔT₁/ΔT₂) = U·A/(ṁcp) = 2000·2/(1·4180) = 0,9569

Uittredetemperatuur

ΔT₂ = ΔT₁·e−0,9569 = 110·0,3841 = 42,25 K
Tc,out = 130 − 42,25 = 87,75 °C

Antwoord

Tc,out = 87,75 °C

Overgedragen warmte: Q̇ = 283,2 kW.

ExamProblems · examproblems.com/courses/heat-transfer