Warmteoverdracht: samenvattingspakket

Formuleoverzichten, de belangrijkste methodestappen voor elk onderwerp en 4 oefenopgaven, met volledige oplossingen achterin.

Nieuwe opgavenTerug naar het vak

Kies in het printvenster “Opslaan als pdf” om een kopie op je apparaat te bewaren.

1Formules en methoden

Warmtegeleiding

Wet van Fourier
Q̇ = kAΔT/L
Geleidingsweerstand
R = L/(kA)
Convectieweerstand
R = 1/(hA)
Weerstanden in serie
Q̇ = ΔTtotal/ΣR
U-waarde
U = 1/(ΣR·A)

Warmtewisselaars (LMTD)

Warmtevermogen
Q = U·A·ΔTlm
Logaritmisch gemiddeld temperatuurverschil
ΔTlm = (ΔT1 − ΔT2)/ln(ΔT1/ΔT2)
Balans van een stroom
Q = ṁcp(Tin − Tout)

2Oefenopgaven

1.WarmtegeleidingGemiddeld
Minerale wol, k = 0,04250 mmGipsplaat, k = 0,17100 mm17 °C-5 °CQ̇ = ?

Een wand bestaat uit 250 mm minerale wol en 100 mm gipsplaat, met een oppervlak van 8 m². De buitenzijden zijn 17 °C en -5 °C. Vind de warmtestroom Q̇ door de wand.

L1 = 250 mm, k1 = 0,04 W/(m·K)L2 = 100 mm, k2 = 0,17 W/(m·K)A = 8 m²T1 = 17 °CT3 = -5 °C
Q̇ = W
2.WarmtegeleidingMoeilijk
Hout, k = 0,17100 mmGlas, k = 0,9650 mmkamer 21 °Cbuiten -14 °CTs​ = ?Q̇

Een wand van 100 mm hout en 50 mm glas scheidt een kamer van 21 °C van de buitenlucht van -14 °C. De warmteoverdrachtscoëfficiënten zijn 8 W/(m²·K) binnen en 25 W/(m²·K) buiten, en het wandoppervlak is 12 m². Vind de temperatuur Ts van het binnenoppervlak van de wand.

L1 = 100 mm, k1 = 0,17 W/(m·K)L2 = 50 mm, k2 = 0,96 W/(m·K)A = 12 m²hi = 8 W/(m²·K)ho = 25 W/(m²·K)Troom = 21 °CTout = -14 °C
Ts = °C
3.Warmtewisselaars (LMTD)Gemiddeld
lengteT140 °C115 °C80 °C30 °CΔT₁ΔT₂tegenstroom

Een tegenstroomwarmtewisselaar draagt 190 kW over. Het warmtewisselend oppervlak is 6 m². De warme vloeistof koelt af van 140 tot 115 °C en de koude vloeistof warmt op van 30 tot 80 °C. Vind de warmtedoorgangscoëfficiënt U.

Q̇ = 190 kWA = 6 m²Th: 140 → 115 °CTc: 30 → 80 °C
U = W/(m²·K)
4.Warmtewisselaars (LMTD)Moeilijk
lengteT115 °C70 °C36,51 °C20 °CΔT₁ΔT₂tegenstroom

Warme olie (1 kg/s, cp = 2,3 kJ/(kg·K)) koelt af van 115 tot 70 °C in een tegenstroomwarmtewisselaar. Ze verwarmt 1,5 kg/s water (cp = 4,18 kJ/(kg·K)) dat binnenkomt op 20 °C. Met U = 1000 W/(m²·K), vind het benodigde warmtewisselend oppervlak A.

ṁh = 1 kg/scp,h = 2,3 kJ/(kg·K)Th: 115 → 70 °Cṁc = 1,5 kg/scp,c = 4,18 kJ/(kg·K)Tc,in = 20 °CU = 1000 W/(m²·K)
A = m²

3Oplossingen

1.Warmtegeleiding

Antwoord: Q̇ = 25,74 W

Warmteweerstand: stationaire warmtestroom door lagen in serie gedraagt zich als stroom door weerstanden in serie: Q̇ = ΔT/ΣR, met R = L/(kA) voor een geleidende laag en R = 1/(hA) voor een oppervlak met convectie. Het temperatuurverschil over elke laag is evenredig met haar weerstand.

Weerstanden van de lagen

R1 = L1/(k1A) = (250/1000)/(0,04·8) = 0,7813 K/W
R2 = L2/(k2A) = (100/1000)/(0,17·8) = 0,07353 K/W

Warmtestroom

Q̇ = (T1 − T3)/(R1 + R2) = 22/0,8548 = 25,74 W

Antwoord

Q̇ = 25,74 W
2.Warmtegeleiding

Antwoord: Ts = 15,57 °C

Warmteweerstand: stationaire warmtestroom door lagen in serie gedraagt zich als stroom door weerstanden in serie: Q̇ = ΔT/ΣR, met R = L/(kA) voor een geleidende laag en R = 1/(hA) voor een oppervlak met convectie. Het temperatuurverschil over elke laag is evenredig met haar weerstand.

Weerstanden in serie

Ri = 1/(hiA) = 1/(8·12) = 0,01042 K/W
R1 = L1/(k1A) = (100/1000)/(0,17·12) = 0,04902 K/W
R2 = L2/(k2A) = (50/1000)/(0,96·12) = 0,00434 K/W
Ro = 1/(hoA) = 1/(25·12) = 0,003333 K/W
ΣR = 0,06711 K/W

Warmteverlies

Q̇ = (21 − (-14))/0,06711 = 521,5 W
Ts = Troom − Q̇·Ri = 21 − 521,5·0,01042 = 15,57 °C

Antwoord

Ts = 15,57 °C
3.Warmtewisselaars (LMTD)

Antwoord: U = 441,2 W/(m²·K)

LMTD method: the temperature difference between the streams changes along the exchanger, so the rate equation uses its logarithmic mean: Q̇ = U·A·ΔTlm, with ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), where ΔT₁ and ΔT₂ are the differences at the two ends. Counter-flow gives a larger ΔTlm than parallel flow for the same inlet and outlet temperatures.

Temperatuurverschillen aan de uiteinden

Bij tegenstroom ligt de warme ingang tegenover de koude uitgang, en de warme uitgang tegenover de koude ingang.

ΔT₁ = Th,in − Tc,out = 140 − 80 = 60 K
ΔT₂ = Th,out − Tc,in = 115 − 30 = 85 K

Logaritmisch gemiddeld temperatuurverschil

ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂) = (60 − 85)/ln(60/85) = 71,78 K

Warmtedoorgangscoëfficiënt

U = Q̇/(A·ΔTlm) = 190000/(6·71,78) = 441,2 W/(m²·K)

Antwoord

U = 441,2 W/(m²·K)
4.Warmtewisselaars (LMTD)

Antwoord: A = 1,638 m²

LMTD-methode: het temperatuurverschil tussen de stromen verandert langs de warmtewisselaar, dus de overdrachtsvergelijking gebruikt het logaritmisch gemiddelde: Q̇ = U·A·ΔTlm, met ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), waarbij ΔT₁ en ΔT₂ de verschillen aan beide uiteinden zijn. Tegenstroom geeft een grotere ΔTlm dan meestroom bij dezelfde in- en uittredetemperaturen.

Warmtevermogen en uittredetemperatuur van het water

Q̇ = ṁhcp,h(Th,in − Th,out) = 1·2,3·45 = 103,5 kW
Tc,out = 20 + 103,5/(1,5·4,18) = 36,51 °C

Temperatuurverschillen aan de uiteinden

Bij tegenstroom ligt de warme ingang tegenover de koude uitgang, en de warme uitgang tegenover de koude ingang.

ΔT₁ = Th,in − Tc,out = 115 − 36,51 = 78,49 K
ΔT₂ = Th,out − Tc,in = 70 − 20 = 50 K

Logaritmisch gemiddeld temperatuurverschil

ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂) = (78,49 − 50)/ln(78,49/50) = 63,18 K

Oppervlak

A = Q̇/(U·ΔTlm) = 103500/(1000·63,18) = 1,638 m²

Antwoord

A = 1,638 m²

ExamProblems · examproblems.com/courses/heat-transfer