Warmteoverdracht: samenvattingspakket

Formuleoverzichten, de belangrijkste methodestappen voor elk onderwerp en 4 oefenopgaven, met volledige oplossingen achterin.

Nieuwe opgavenTerug naar het vak

Kies in het printvenster “Opslaan als pdf” om een kopie op je apparaat te bewaren.

1Formules en methoden

Warmtegeleiding

Wet van Fourier
Q̇ = kAΔT/L
Geleidingsweerstand
R = L/(kA)
Convectieweerstand
R = 1/(hA)
Weerstanden in serie
Q̇ = ΔTtotal/ΣR
U-waarde
U = 1/(ΣR·A)

Warmtewisselaars (LMTD)

Warmtevermogen
Q = U·A·ΔTlm
Logaritmisch gemiddeld temperatuurverschil
ΔTlm = (ΔT1 − ΔT2)/ln(ΔT1/ΔT2)
Balans van een stroom
Q = ṁcp(Tin − Tout)

2Oefenopgaven

1.WarmtegeleidingGemiddeld
Hout, k = 0,17200 mmBaksteen, k = 0,72150 mm20 °C-12 °CTi​ = ?Q̇

Een wand bestaat uit 200 mm hout en 150 mm baksteen, met een oppervlak van 12 m². De buitenzijden zijn 20 °C en -12 °C. Vind de temperatuur Ti op het grensvlak tussen de twee lagen.

L1 = 200 mm, k1 = 0,17 W/(m·K)L2 = 150 mm, k2 = 0,72 W/(m·K)A = 12 m²T1 = 20 °CT3 = -12 °C
Ti = °C
2.WarmtegeleidingMoeilijk
Geëxpandeerd polystyreen, k = 0,035150 mmBeton, k = 1,425 mmkamer 21 °Cbuiten -11 °CTs​ = ?Q̇

Een wand van 150 mm geëxpandeerd polystyreen en 25 mm beton scheidt een kamer van 21 °C van de buitenlucht van -11 °C. De warmteoverdrachtscoëfficiënten zijn 7,7 W/(m²·K) binnen en 20 W/(m²·K) buiten, en het wandoppervlak is 12 m². Vind de temperatuur Ts van het binnenoppervlak van de wand.

L1 = 150 mm, k1 = 0,035 W/(m·K)L2 = 25 mm, k2 = 1,4 W/(m·K)A = 12 m²hi = 7,7 W/(m²·K)ho = 20 W/(m²·K)Troom = 21 °CTout = -11 °C
Ts = °C
3.Warmtewisselaars (LMTD)Gemiddeld
lengteT155 °C90 °C35 °C20 °CΔT₁ΔT₂tegenstroom

Een tegenstroomwarmtewisselaar draagt 290 kW over. Het warmtewisselend oppervlak is 8 m². De warme vloeistof koelt af van 155 tot 90 °C en de koude vloeistof warmt op van 20 tot 35 °C. Vind de warmtedoorgangscoëfficiënt U.

Q̇ = 290 kWA = 8 m²Th: 155 → 90 °CTc: 20 → 35 °C
U = W/(m²·K)
4.Warmtewisselaars (LMTD)Moeilijk
lengteT160 °C125 °C72,8 °C10 °CΔT₁ΔT₂tegenstroom

Warme olie (1,5 kg/s, cp = 2,5 kJ/(kg·K)) koelt af van 160 tot 125 °C in een tegenstroomwarmtewisselaar. Ze verwarmt 0,5 kg/s water (cp = 4,18 kJ/(kg·K)) dat binnenkomt op 10 °C. Met U = 200 W/(m²·K), vind het benodigde warmtewisselend oppervlak A.

ṁh = 1,5 kg/scp,h = 2,5 kJ/(kg·K)Th: 160 → 125 °Cṁc = 0,5 kg/scp,c = 4,18 kJ/(kg·K)Tc,in = 10 °CU = 200 W/(m²·K)
A = m²

3Oplossingen

1.Warmtegeleiding

Antwoord: Ti = −7,186 °C

Warmteweerstand: stationaire warmtestroom door lagen in serie gedraagt zich als stroom door weerstanden in serie: Q̇ = ΔT/ΣR, met R = L/(kA) voor een geleidende laag en R = 1/(hA) voor een oppervlak met convectie. Het temperatuurverschil over elke laag is evenredig met haar weerstand.

Weerstanden van de lagen

R1 = L1/(k1A) = (200/1000)/(0,17·12) = 0,09804 K/W
R2 = L2/(k2A) = (150/1000)/(0,72·12) = 0,01736 K/W

Warmtestroom

Q̇ = (T1 − T3)/(R1 + R2) = 32/0,1154 = 277,3 W

Temperatuur op het grensvlak

De temperatuur daalt over de eerste laag met Q̇·R₁.

Ti = T1 − Q̇·R1 = 20 − 277,3·0,09804 = −7,186 °C

Antwoord

Ti = −7,186 °C
2.Warmtegeleiding

Antwoord: Ts = 20,07 °C

Warmteweerstand: stationaire warmtestroom door lagen in serie gedraagt zich als stroom door weerstanden in serie: Q̇ = ΔT/ΣR, met R = L/(kA) voor een geleidende laag en R = 1/(hA) voor een oppervlak met convectie. Het temperatuurverschil over elke laag is evenredig met haar weerstand.

Weerstanden in serie

Ri = 1/(hiA) = 1/(7,7·12) = 0,01082 K/W
R1 = L1/(k1A) = (150/1000)/(0,035·12) = 0,3571 K/W
R2 = L2/(k2A) = (25/1000)/(1,4·12) = 0,001488 K/W
Ro = 1/(hoA) = 1/(20·12) = 0,004167 K/W
ΣR = 0,3736 K/W

Warmteverlies

Q̇ = (21 − (-11))/0,3736 = 85,65 W
Ts = Troom − Q̇·Ri = 21 − 85,65·0,01082 = 20,07 °C

Antwoord

Ts = 20,07 °C
3.Warmtewisselaars (LMTD)

Antwoord: U = 390,8 W/(m²·K)

LMTD method: the temperature difference between the streams changes along the exchanger, so the rate equation uses its logarithmic mean: Q̇ = U·A·ΔTlm, with ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), where ΔT₁ and ΔT₂ are the differences at the two ends. Counter-flow gives a larger ΔTlm than parallel flow for the same inlet and outlet temperatures.

Temperatuurverschillen aan de uiteinden

Bij tegenstroom ligt de warme ingang tegenover de koude uitgang, en de warme uitgang tegenover de koude ingang.

ΔT₁ = Th,in − Tc,out = 155 − 35 = 120 K
ΔT₂ = Th,out − Tc,in = 90 − 20 = 70 K

Logaritmisch gemiddeld temperatuurverschil

ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂) = (120 − 70)/ln(120/70) = 92,76 K

Warmtedoorgangscoëfficiënt

U = Q̇/(A·ΔTlm) = 290000/(8·92,76) = 390,8 W/(m²·K)

Antwoord

U = 390,8 W/(m²·K)
4.Warmtewisselaars (LMTD)

Antwoord: A = 6,532 m²

LMTD-methode: het temperatuurverschil tussen de stromen verandert langs de warmtewisselaar, dus de overdrachtsvergelijking gebruikt het logaritmisch gemiddelde: Q̇ = U·A·ΔTlm, met ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), waarbij ΔT₁ en ΔT₂ de verschillen aan beide uiteinden zijn. Tegenstroom geeft een grotere ΔTlm dan meestroom bij dezelfde in- en uittredetemperaturen.

Warmtevermogen en uittredetemperatuur van het water

Q̇ = ṁhcp,h(Th,in − Th,out) = 1,5·2,5·35 = 131,3 kW
Tc,out = 10 + 131,3/(0,5·4,18) = 72,8 °C

Temperatuurverschillen aan de uiteinden

Bij tegenstroom ligt de warme ingang tegenover de koude uitgang, en de warme uitgang tegenover de koude ingang.

ΔT₁ = Th,in − Tc,out = 160 − 72,8 = 87,2 K
ΔT₂ = Th,out − Tc,in = 125 − 10 = 115 K

Logaritmisch gemiddeld temperatuurverschil

ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂) = (87,2 − 115)/ln(87,2/115) = 100,5 K

Oppervlak

A = Q̇/(U·ΔTlm) = 131250/(200·100,5) = 6,532 m²

Antwoord

A = 6,532 m²

ExamProblems · examproblems.com/courses/heat-transfer