Warmtegeleiding
- Wet van Fourier
- Q̇ = kAΔT/L
- Geleidingsweerstand
- R = L/(kA)
- Convectieweerstand
- R = 1/(hA)
- Weerstanden in serie
- Q̇ = ΔTtotal/ΣR
- U-waarde
- U = 1/(ΣR·A)
Warmteoverdracht: samenvattingspakket
Formuleoverzichten, de belangrijkste methodestappen voor elk onderwerp en 4 oefenopgaven, met volledige oplossingen achterin.
1Formules en methoden
Warmtewisselaars (LMTD)
- Warmtevermogen
- Q = U·A·ΔTlm
- Logaritmisch gemiddeld temperatuurverschil
- ΔTlm = (ΔT1 − ΔT2)/ln(ΔT1/ΔT2)
- Balans van een stroom
- Q = ṁcp(Tin − Tout)
2Oefenopgaven
1.WarmtegeleidingGemiddeld
Een wand bestaat uit 150 mm geëxpandeerd polystyreen en 100 mm baksteen, met een oppervlak van 20 m². De buitenzijden zijn 25 °C en -14 °C. Vind de warmtestroom Q̇ door de wand.
L1 = 150 mm, k1 = 0,035 W/(m·K)L2 = 100 mm, k2 = 0,72 W/(m·K)A = 20 m²T1 = 25 °CT3 = -14 °C
Q̇ = W
2.WarmtegeleidingMoeilijk
Een wand van 50 mm glas en 100 mm minerale wol scheidt een kamer van 21 °C van de buitenlucht van -10 °C. De warmteoverdrachtscoëfficiënten zijn 8 W/(m²·K) binnen en 20 W/(m²·K) buiten, en het wandoppervlak is 8 m². Vind de temperatuur Ts van het binnenoppervlak van de wand.
L1 = 50 mm, k1 = 0,96 W/(m·K)L2 = 100 mm, k2 = 0,04 W/(m·K)A = 8 m²hi = 8 W/(m²·K)ho = 20 W/(m²·K)Troom = 21 °CTout = -10 °C
Ts = °C
3.Warmtewisselaars (LMTD)Gemiddeld
Een tegenstroomwarmtewisselaar draagt 360 kW over. De warme vloeistof koelt af van 85 tot 35 °C en de koude vloeistof warmt op van 10 tot 75 °C. De warmtedoorgangscoëfficiënt is 500 W/(m²·K). Vind het benodigde warmtewisselend oppervlak A.
Q̇ = 360 kWU = 500 W/(m²·K)Th: 85 → 35 °CTc: 10 → 75 °C
A = m²
4.Warmtewisselaars (LMTD)Moeilijk
Warme olie (2 kg/s, cp = 2,3 kJ/(kg·K)) koelt af van 150 tot 85 °C in een tegenstroomwarmtewisselaar. Ze verwarmt 2 kg/s water (cp = 4,18 kJ/(kg·K)) dat binnenkomt op 30 °C. Met U = 1500 W/(m²·K), vind het benodigde warmtewisselend oppervlak A.
ṁh = 2 kg/scp,h = 2,3 kJ/(kg·K)Th: 150 → 85 °Cṁc = 2 kg/scp,c = 4,18 kJ/(kg·K)Tc,in = 30 °CU = 1500 W/(m²·K)
A = m²
3Oplossingen
1.Warmtegeleiding
Antwoord: Q̇ = 176,3 W
Warmteweerstand: stationaire warmtestroom door lagen in serie gedraagt zich als stroom door weerstanden in serie: Q̇ = ΔT/ΣR, met R = L/(kA) voor een geleidende laag en R = 1/(hA) voor een oppervlak met convectie. Het temperatuurverschil over elke laag is evenredig met haar weerstand.
Weerstanden van de lagen
R1 = L1/(k1A) = (150/1000)/(0,035·20) = 0,2143 K/W
R2 = L2/(k2A) = (100/1000)/(0,72·20) = 0,006944 K/W
Warmtestroom
Q̇ = (T1 − T3)/(R1 + R2) = 39/0,2212 = 176,3 W
Antwoord
Q̇ = 176,3 W
2.Warmtegeleiding
Antwoord: Ts = 19,58 °C
Warmteweerstand: stationaire warmtestroom door lagen in serie gedraagt zich als stroom door weerstanden in serie: Q̇ = ΔT/ΣR, met R = L/(kA) voor een geleidende laag en R = 1/(hA) voor een oppervlak met convectie. Het temperatuurverschil over elke laag is evenredig met haar weerstand.
Weerstanden in serie
Ri = 1/(hiA) = 1/(8·8) = 0,01563 K/W
R1 = L1/(k1A) = (50/1000)/(0,96·8) = 0,00651 K/W
R2 = L2/(k2A) = (100/1000)/(0,04·8) = 0,3125 K/W
Ro = 1/(hoA) = 1/(20·8) = 0,00625 K/W
ΣR = 0,3409 K/W
Warmteverlies
Q̇ = (21 − (-10))/0,3409 = 90,94 W
Ts = Troom − Q̇·Ri = 21 − 90,94·0,01563 = 19,58 °C
Antwoord
Ts = 19,58 °C
3.Warmtewisselaars (LMTD)
Antwoord: A = 43,98 m²
LMTD-methode: het temperatuurverschil tussen de stromen verandert langs de warmtewisselaar, dus de overdrachtsvergelijking gebruikt het logaritmisch gemiddelde: Q̇ = U·A·ΔTlm, met ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), waarbij ΔT₁ en ΔT₂ de verschillen aan beide uiteinden zijn. Tegenstroom geeft een grotere ΔTlm dan meestroom bij dezelfde in- en uittredetemperaturen.
Temperatuurverschillen aan de uiteinden
Bij tegenstroom ligt de warme ingang tegenover de koude uitgang, en de warme uitgang tegenover de koude ingang.
ΔT₁ = Th,in − Tc,out = 85 − 75 = 10 K
ΔT₂ = Th,out − Tc,in = 35 − 10 = 25 K
Logaritmisch gemiddeld temperatuurverschil
ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂) = (10 − 25)/ln(10/25) = 16,37 K
Oppervlak
A = Q̇/(U·ΔTlm) = 360000/(500·16,37) = 43,98 m²
Antwoord
A = 43,98 m²
4.Warmtewisselaars (LMTD)
Antwoord: A = 2,907 m²
LMTD-methode: het temperatuurverschil tussen de stromen verandert langs de warmtewisselaar, dus de overdrachtsvergelijking gebruikt het logaritmisch gemiddelde: Q̇ = U·A·ΔTlm, met ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), waarbij ΔT₁ en ΔT₂ de verschillen aan beide uiteinden zijn. Tegenstroom geeft een grotere ΔTlm dan meestroom bij dezelfde in- en uittredetemperaturen.
Warmtevermogen en uittredetemperatuur van het water
Q̇ = ṁhcp,h(Th,in − Th,out) = 2·2,3·65 = 299 kW
Tc,out = 30 + 299/(2·4,18) = 65,77 °C
Temperatuurverschillen aan de uiteinden
Bij tegenstroom ligt de warme ingang tegenover de koude uitgang, en de warme uitgang tegenover de koude ingang.
ΔT₁ = Th,in − Tc,out = 150 − 65,77 = 84,23 K
ΔT₂ = Th,out − Tc,in = 85 − 30 = 55 K
Logaritmisch gemiddeld temperatuurverschil
ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂) = (84,23 − 55)/ln(84,23/55) = 68,58 K
Oppervlak
A = Q̇/(U·ΔTlm) = 299000/(1500·68,58) = 2,907 m²
Antwoord
A = 2,907 m²
ExamProblems · examproblems.com/courses/heat-transfer