Warmtegeleiding
- Wet van Fourier
- Q̇ = kAΔT/L
- Geleidingsweerstand
- R = L/(kA)
- Convectieweerstand
- R = 1/(hA)
- Weerstanden in serie
- Q̇ = ΔTtotal/ΣR
- U-waarde
- U = 1/(ΣR·A)
Warmteoverdracht: samenvattingspakket
Formuleoverzichten, de belangrijkste methodestappen voor elk onderwerp en 4 oefenopgaven, met volledige oplossingen achterin.
1Formules en methoden
Warmtewisselaars (LMTD)
- Warmtevermogen
- Q = U·A·ΔTlm
- Logaritmisch gemiddeld temperatuurverschil
- ΔTlm = (ΔT1 − ΔT2)/ln(ΔT1/ΔT2)
- Balans van een stroom
- Q = ṁcp(Tin − Tout)
2Oefenopgaven
1.WarmtegeleidingGemiddeld
Een wand bestaat uit 100 mm hout en 100 mm baksteen, met een oppervlak van 4 m². De buitenzijden zijn 24 °C en -7 °C. Vind de warmtestroom Q̇ door de wand.
L1 = 100 mm, k1 = 0,17 W/(m·K)L2 = 100 mm, k2 = 0,72 W/(m·K)A = 4 m²T1 = 24 °CT3 = -7 °C
Q̇ = W
2.WarmtegeleidingMoeilijk
Een wand van 50 mm hout en 100 mm baksteen scheidt een kamer van 22 °C van de buitenlucht van 4 °C. De warmteoverdrachtscoëfficiënten zijn 6 W/(m²·K) binnen en 25 W/(m²·K) buiten, en het wandoppervlak is 12 m². Vind de warmtedoorgangscoëfficiënt U van de wand.
L1 = 50 mm, k1 = 0,17 W/(m·K)L2 = 100 mm, k2 = 0,72 W/(m·K)A = 12 m²hi = 6 W/(m²·K)ho = 25 W/(m²·K)Troom = 22 °CTout = 4 °C
U = W/(m²·K)
3.Warmtewisselaars (LMTD)Gemiddeld
In een condensor condenseert stoom bij een constante 120 °C aan de buitenkant van de buizen. Koelwater (3 kg/s, cp = 4,18 kJ/(kg·K)) stroomt door de buizen en warmt op van 25 tot 85 °C. De warmtedoorgangscoëfficiënt is 1000 W/(m²·K). Vind het benodigde warmtewisselend oppervlak A.
Ts = 120 °Cṁ = 3 kg/scp = 4,18 kJ/(kg·K)Tc: 25 → 85 °CU = 1000 W/(m²·K)
A = m²
4.Warmtewisselaars (LMTD)Moeilijk
In een tegenstroomwarmtewisselaar hebben beide stromen dezelfde warmtecapaciteitsstroom, ṁ·cp = 0,5 kW/K. De warme stroom komt binnen op 140 °C en de koude stroom op 10 °C. De wisselaar heeft A = 0,5 m² en U = 300 W/(m²·K). Vind de uittredetemperatuur van de warme stroom Th,out.
Ch = Cc = 0,5 kW/KTh,in = 140 °CTc,in = 10 °CA = 0,5 m²U = 300 W/(m²·K)
Th,out = °C
3Oplossingen
1.Warmtegeleiding
Antwoord: Q̇ = 170,5 W
Warmteweerstand: stationaire warmtestroom door lagen in serie gedraagt zich als stroom door weerstanden in serie: Q̇ = ΔT/ΣR, met R = L/(kA) voor een geleidende laag en R = 1/(hA) voor een oppervlak met convectie. Het temperatuurverschil over elke laag is evenredig met haar weerstand.
Weerstanden van de lagen
R1 = L1/(k1A) = (100/1000)/(0,17·4) = 0,1471 K/W
R2 = L2/(k2A) = (100/1000)/(0,72·4) = 0,03472 K/W
Warmtestroom
Q̇ = (T1 − T3)/(R1 + R2) = 31/0,1818 = 170,5 W
Antwoord
Q̇ = 170,5 W
2.Warmtegeleiding
Antwoord: U = 1,563 W/(m²·K)
Warmteweerstand: stationaire warmtestroom door lagen in serie gedraagt zich als stroom door weerstanden in serie: Q̇ = ΔT/ΣR, met R = L/(kA) voor een geleidende laag en R = 1/(hA) voor een oppervlak met convectie. Het temperatuurverschil over elke laag is evenredig met haar weerstand.
Weerstanden in serie
Ri = 1/(hiA) = 1/(6·12) = 0,01389 K/W
R1 = L1/(k1A) = (50/1000)/(0,17·12) = 0,02451 K/W
R2 = L2/(k2A) = (100/1000)/(0,72·12) = 0,01157 K/W
Ro = 1/(hoA) = 1/(25·12) = 0,003333 K/W
ΣR = 0,05331 K/W
Warmtedoorgangscoëfficiënt
U = 1/(A·ΣR) = 1/(12·0,05331) = 1,563 W/(m²·K)
Antwoord
U = 1,563 W/(m²·K)
3.Warmtewisselaars (LMTD)
Antwoord: A = 12,52 m²
LMTD method: the temperature difference between the streams changes along the exchanger, so the rate equation uses its logarithmic mean: Q̇ = U·A·ΔTlm, with ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), where ΔT₁ and ΔT₂ are the differences at the two ends. Counter-flow gives a larger ΔTlm than parallel flow for the same inlet and outlet temperatures.
Warmtevermogen aan de waterkant
Q̇ = 3·4,18·(85 − 25) = 752,4 kW
Temperatuurverschillen aan de uiteinden
ΔT₁ = 120 − 25 = 95 K
ΔT₂ = 120 − 85 = 35 K
Logaritmisch gemiddeld temperatuurverschil
ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂) = (95 − 35)/ln(95/35) = 60,09 K
Oppervlak
A = Q̇/(U·ΔTlm) = 752400/(1000·60,09) = 12,52 m²
Antwoord
A = 12,52 m²
4.Warmtewisselaars (LMTD)
Antwoord: Th,out = 110 °C
LMTD method: the temperature difference between the streams changes along the exchanger, so the rate equation uses its logarithmic mean: Q̇ = U·A·ΔTlm, with ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), where ΔT₁ and ΔT₂ are the differences at the two ends. Counter-flow gives a larger ΔTlm than parallel flow for the same inlet and outlet temperatures.
Constant temperatuurverschil
De koude uitlaat ligt tegenover de warme inlaat: Tc,out = Tc,in + (Th,in − Th,out), dus ΔT₁ = Th,in − Tc,out = Th,out − Tc,in = ΔT₂.
ΔTlm = Th,out − Tc,in
Energiebalans gelijk aan warmteoverdrachtsvergelijking
0,5·(140 − Th,out) = 0,15·(Th,out − 10)
Th,out = (0,5·140 + 0,15·10)/(0,5 + 0,15) = 110 °C
Antwoord
Th,out = 110 °C
Overgedragen warmte: Q̇ = 15 kW; de koude stroom verlaat de wisselaar op 40 °C.
ExamProblems · examproblems.com/courses/heat-transfer