Warmtegeleiding
- Wet van Fourier
- Q̇ = kAΔT/L
- Geleidingsweerstand
- R = L/(kA)
- Convectieweerstand
- R = 1/(hA)
- Weerstanden in serie
- Q̇ = ΔTtotal/ΣR
- U-waarde
- U = 1/(ΣR·A)
Warmteoverdracht: samenvattingspakket
Formuleoverzichten, de belangrijkste methodestappen voor elk onderwerp en 4 oefenopgaven, met volledige oplossingen achterin.
1Formules en methoden
Warmtewisselaars (LMTD)
- Warmtevermogen
- Q = U·A·ΔTlm
- Logaritmisch gemiddeld temperatuurverschil
- ΔTlm = (ΔT1 − ΔT2)/ln(ΔT1/ΔT2)
- Balans van een stroom
- Q = ṁcp(Tin − Tout)
2Oefenopgaven
1.WarmtegeleidingGemiddeld
Een wand bestaat uit 200 mm glas en 25 mm baksteen, met een oppervlak van 10 m². De buitenzijden zijn 23 °C en 9 °C. Vind de temperatuur Ti op het grensvlak tussen de twee lagen.
L1 = 200 mm, k1 = 0,96 W/(m·K)L2 = 25 mm, k2 = 0,72 W/(m·K)A = 10 m²T1 = 23 °CT3 = 9 °C
Ti = °C
2.WarmtegeleidingMoeilijk
Een wand van 150 mm hout en 150 mm geëxpandeerd polystyreen scheidt een kamer van 20 °C van de buitenlucht van -1 °C. De warmteoverdrachtscoëfficiënten zijn 10 W/(m²·K) binnen en 30 W/(m²·K) buiten, en het wandoppervlak is 20 m². Vind de temperatuur Ts van het binnenoppervlak van de wand.
L1 = 150 mm, k1 = 0,17 W/(m·K)L2 = 150 mm, k2 = 0,035 W/(m·K)A = 20 m²hi = 10 W/(m²·K)ho = 30 W/(m²·K)Troom = 20 °CTout = -1 °C
Ts = °C
3.Warmtewisselaars (LMTD)Gemiddeld
Een meestroomwarmtewisselaar draagt 500 kW over. De warme vloeistof koelt af van 130 tot 85 °C en de koude vloeistof warmt op van 30 tot 80 °C. De warmtedoorgangscoëfficiënt is 1500 W/(m²·K). Vind het benodigde warmtewisselend oppervlak A.
Q̇ = 500 kWU = 1500 W/(m²·K)Th: 130 → 85 °CTc: 30 → 80 °C
A = m²
4.Warmtewisselaars (LMTD)Moeilijk
In een dubbelepijpwarmtewisselaar met meestroom stroomt hete olie (0,5 kg/s, cp = 2,5 kJ/(kg·K)) door de binnenbuis en koelt af van 130 tot 95 °C. Water (0,8 kg/s, cp = 4,18 kJ/(kg·K)) in de ringspleet komt binnen op 15 °C. De binnenbuis heeft een diameter van 32 mm, en U = 250 W/(m²·K) is op deze diameter gebaseerd. Vind de benodigde buislengte L.
ṁh = 0,5 kg/scp,h = 2,5 kJ/(kg·K)Th: 130 → 95 °Cṁc = 0,8 kg/sTc,in = 15 °CD = 32 mmU = 250 W/(m²·K)
L = m
3Oplossingen
1.Warmtegeleiding
Antwoord: Ti = 11 °C
Warmteweerstand: stationaire warmtestroom door lagen in serie gedraagt zich als stroom door weerstanden in serie: Q̇ = ΔT/ΣR, met R = L/(kA) voor een geleidende laag en R = 1/(hA) voor een oppervlak met convectie. Het temperatuurverschil over elke laag is evenredig met haar weerstand.
Weerstanden van de lagen
R1 = L1/(k1A) = (200/1000)/(0,96·10) = 0,02083 K/W
R2 = L2/(k2A) = (25/1000)/(0,72·10) = 0,003472 K/W
Warmtestroom
Q̇ = (T1 − T3)/(R1 + R2) = 14/0,02431 = 576 W
Temperatuur op het grensvlak
De temperatuur daalt over de eerste laag met Q̇·R₁.
Ti = T1 − Q̇·R1 = 23 − 576·0,02083 = 11 °C
Antwoord
Ti = 11 °C
2.Warmtegeleiding
Antwoord: Ts = 19,6 °C
Warmteweerstand: stationaire warmtestroom door lagen in serie gedraagt zich als stroom door weerstanden in serie: Q̇ = ΔT/ΣR, met R = L/(kA) voor een geleidende laag en R = 1/(hA) voor een oppervlak met convectie. Het temperatuurverschil over elke laag is evenredig met haar weerstand.
Weerstanden in serie
Ri = 1/(hiA) = 1/(10·20) = 0,005 K/W
R1 = L1/(k1A) = (150/1000)/(0,17·20) = 0,04412 K/W
R2 = L2/(k2A) = (150/1000)/(0,035·20) = 0,2143 K/W
Ro = 1/(hoA) = 1/(30·20) = 0,001667 K/W
ΣR = 0,2651 K/W
Warmteverlies
Q̇ = (20 − (-1))/0,2651 = 79,22 W
Ts = Troom − Q̇·Ri = 20 − 79,22·0,005 = 19,6 °C
Antwoord
Ts = 19,6 °C
3.Warmtewisselaars (LMTD)
Antwoord: A = 10,51 m²
LMTD-methode: het temperatuurverschil tussen de stromen verandert langs de warmtewisselaar, dus de overdrachtsvergelijking gebruikt het logaritmisch gemiddelde: Q̇ = U·A·ΔTlm, met ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), waarbij ΔT₁ en ΔT₂ de verschillen aan beide uiteinden zijn. Tegenstroom geeft een grotere ΔTlm dan meestroom bij dezelfde in- en uittredetemperaturen.
Temperatuurverschillen aan de uiteinden
Bij meestroom liggen beide ingangen aan hetzelfde uiteinde, en beide uitgangen aan het andere.
ΔT₁ = Th,in − Tc,in = 130 − 30 = 100 K
ΔT₂ = Th,out − Tc,out = 85 − 80 = 5 K
Logaritmisch gemiddeld temperatuurverschil
ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂) = (100 − 5)/ln(100/5) = 31,71 K
Oppervlak
A = Q̇/(U·ΔTlm) = 500000/(1500·31,71) = 10,51 m²
Antwoord
A = 10,51 m²
4.Warmtewisselaars (LMTD)
Antwoord: L = 19,6 m
LMTD method: the temperature difference between the streams changes along the exchanger, so the rate equation uses its logarithmic mean: Q̇ = U·A·ΔTlm, with ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), where ΔT₁ and ΔT₂ are the differences at the two ends. Counter-flow gives a larger ΔTlm than parallel flow for the same inlet and outlet temperatures.
Warmtevermogen en uittredetemperatuur van het water
Q̇ = 0,5·2,5·(130 − 95) = 43,75 kW
Tc,out = 15 + 43,75/(0,8·4,18) = 28,08 °C
Temperatuurverschillen aan de uiteinden
Bij meestroom liggen beide ingangen aan hetzelfde uiteinde, en beide uitgangen aan het andere.
ΔT₁ = Th,in − Tc,in = 130 − 15 = 115 K
ΔT₂ = Th,out − Tc,out = 95 − 28,08 = 66,92 K
Logaritmisch gemiddeld temperatuurverschil
ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂) = (115 − 66,92)/ln(115/66,92) = 88,8 K
Oppervlak en lengte
A = 43750/(250·88,8) = 1,971 m²
L = A/(πD) = 1,971/(π·0,032) = 19,6 m
Antwoord
L = 19,6 m
ExamProblems · examproblems.com/courses/heat-transfer