Warmteoverdracht: samenvattingspakket

Formuleoverzichten, de belangrijkste methodestappen voor elk onderwerp en 4 oefenopgaven, met volledige oplossingen achterin.

Nieuwe opgavenTerug naar het vak

Kies in het printvenster “Opslaan als pdf” om een kopie op je apparaat te bewaren.

1Formules en methoden

Warmtegeleiding

Wet van Fourier
Q̇ = kAΔT/L
Geleidingsweerstand
R = L/(kA)
Convectieweerstand
R = 1/(hA)
Weerstanden in serie
Q̇ = ΔTtotal/ΣR
U-waarde
U = 1/(ΣR·A)

Warmtewisselaars (LMTD)

Warmtevermogen
Q = U·A·ΔTlm
Logaritmisch gemiddeld temperatuurverschil
ΔTlm = (ΔT1 − ΔT2)/ln(ΔT1/ΔT2)
Balans van een stroom
Q = ṁcp(Tin − Tout)

2Oefenopgaven

1.WarmtegeleidingGemiddeld
Beton, k = 1,450 mmBaksteen, k = 0,7250 mm18 °C8 °CQ̇ = ?

Een wand bestaat uit 50 mm beton en 50 mm baksteen, met een oppervlak van 15 m². De buitenzijden zijn 18 °C en 8 °C. Vind de warmtestroom Q̇ door de wand.

L1 = 50 mm, k1 = 1,4 W/(m·K)L2 = 50 mm, k2 = 0,72 W/(m·K)A = 15 m²T1 = 18 °CT3 = 8 °C
Q̇ = W
2.WarmtegeleidingMoeilijk
Geëxpandeerd polystyreen, k = 0,035150 mmMinerale wol, k = 0,0425 mmkamer 20 °Cbuiten -9 °CQ̇

Een wand van 150 mm geëxpandeerd polystyreen en 25 mm minerale wol scheidt een kamer van 20 °C van de buitenlucht van -9 °C. De warmteoverdrachtscoëfficiënten zijn 7,7 W/(m²·K) binnen en 25 W/(m²·K) buiten, en het wandoppervlak is 8 m². Vind de warmtedoorgangscoëfficiënt U van de wand.

L1 = 150 mm, k1 = 0,035 W/(m·K)L2 = 25 mm, k2 = 0,04 W/(m·K)A = 8 m²hi = 7,7 W/(m²·K)ho = 25 W/(m²·K)Troom = 20 °CTout = -9 °C
U = W/(m²·K)
3.Warmtewisselaars (LMTD)Gemiddeld
lengteT120 °C20 °C110 °CΔT₁ΔT₂condenserende stoom

In een condensor condenseert stoom bij een constante 120 °C aan de buitenkant van de buizen. Koelwater (0,5 kg/s, cp = 4,18 kJ/(kg·K)) stroomt door de buizen en warmt op van 20 tot 110 °C. De warmtedoorgangscoëfficiënt is 3500 W/(m²·K). Vind het benodigde warmtewisselend oppervlak A.

Ts = 120 °Cṁ = 0,5 kg/scp = 4,18 kJ/(kg·K)Tc: 20 → 110 °CU = 3500 W/(m²·K)
A = m²
4.Warmtewisselaars (LMTD)Moeilijk
lengteT135 °C85 °C37,51 °C10 °CΔT₁ΔT₂tegenstroom

Warme olie (1 kg/s, cp = 2,3 kJ/(kg·K)) koelt af van 135 tot 85 °C in een tegenstroomwarmtewisselaar. Ze verwarmt 1 kg/s water (cp = 4,18 kJ/(kg·K)) dat binnenkomt op 10 °C. Met U = 800 W/(m²·K), vind het benodigde warmtewisselend oppervlak A.

ṁh = 1 kg/scp,h = 2,3 kJ/(kg·K)Th: 135 → 85 °Cṁc = 1 kg/scp,c = 4,18 kJ/(kg·K)Tc,in = 10 °CU = 800 W/(m²·K)
A = m²

3Oplossingen

1.Warmtegeleiding

Antwoord: Q̇ = 1426 W

Warmteweerstand: stationaire warmtestroom door lagen in serie gedraagt zich als stroom door weerstanden in serie: Q̇ = ΔT/ΣR, met R = L/(kA) voor een geleidende laag en R = 1/(hA) voor een oppervlak met convectie. Het temperatuurverschil over elke laag is evenredig met haar weerstand.

Weerstanden van de lagen

R1 = L1/(k1A) = (50/1000)/(1,4·15) = 0,002381 K/W
R2 = L2/(k2A) = (50/1000)/(0,72·15) = 0,00463 K/W

Warmtestroom

Q̇ = (T1 − T3)/(R1 + R2) = 10/0,007011 = 1426 W

Antwoord

Q̇ = 1426 W
2.Warmtegeleiding

Antwoord: U = 0,1968 W/(m²·K)

Warmteweerstand: stationaire warmtestroom door lagen in serie gedraagt zich als stroom door weerstanden in serie: Q̇ = ΔT/ΣR, met R = L/(kA) voor een geleidende laag en R = 1/(hA) voor een oppervlak met convectie. Het temperatuurverschil over elke laag is evenredig met haar weerstand.

Weerstanden in serie

Ri = 1/(hiA) = 1/(7,7·8) = 0,01623 K/W
R1 = L1/(k1A) = (150/1000)/(0,035·8) = 0,5357 K/W
R2 = L2/(k2A) = (25/1000)/(0,04·8) = 0,07813 K/W
Ro = 1/(hoA) = 1/(25·8) = 0,005 K/W
ΣR = 0,6351 K/W

Warmtedoorgangscoëfficiënt

U = 1/(A·ΣR) = 1/(8·0,6351) = 0,1968 W/(m²·K)

Antwoord

U = 0,1968 W/(m²·K)
3.Warmtewisselaars (LMTD)

Antwoord: A = 1,375 m²

LMTD method: the temperature difference between the streams changes along the exchanger, so the rate equation uses its logarithmic mean: Q̇ = U·A·ΔTlm, with ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), where ΔT₁ and ΔT₂ are the differences at the two ends. Counter-flow gives a larger ΔTlm than parallel flow for the same inlet and outlet temperatures.

Warmtevermogen aan de waterkant

Q̇ = 0,5·4,18·(110 − 20) = 188,1 kW

Temperatuurverschillen aan de uiteinden

ΔT₁ = 120 − 20 = 100 K
ΔT₂ = 120 − 110 = 10 K

Logaritmisch gemiddeld temperatuurverschil

ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂) = (100 − 10)/ln(100/10) = 39,09 K

Oppervlak

A = Q̇/(U·ΔTlm) = 188100/(3500·39,09) = 1,375 m²

Antwoord

A = 1,375 m²
4.Warmtewisselaars (LMTD)

Antwoord: A = 1,676 m²

LMTD-methode: het temperatuurverschil tussen de stromen verandert langs de warmtewisselaar, dus de overdrachtsvergelijking gebruikt het logaritmisch gemiddelde: Q̇ = U·A·ΔTlm, met ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), waarbij ΔT₁ en ΔT₂ de verschillen aan beide uiteinden zijn. Tegenstroom geeft een grotere ΔTlm dan meestroom bij dezelfde in- en uittredetemperaturen.

Warmtevermogen en uittredetemperatuur van het water

Q̇ = ṁhcp,h(Th,in − Th,out) = 1·2,3·50 = 115 kW
Tc,out = 10 + 115/(1·4,18) = 37,51 °C

Temperatuurverschillen aan de uiteinden

Bij tegenstroom ligt de warme ingang tegenover de koude uitgang, en de warme uitgang tegenover de koude ingang.

ΔT₁ = Th,in − Tc,out = 135 − 37,51 = 97,49 K
ΔT₂ = Th,out − Tc,in = 85 − 10 = 75 K

Logaritmisch gemiddeld temperatuurverschil

ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂) = (97,49 − 75)/ln(97,49/75) = 85,75 K

Oppervlak

A = Q̇/(U·ΔTlm) = 115000/(800·85,75) = 1,676 m²

Antwoord

A = 1,676 m²

ExamProblems · examproblems.com/courses/heat-transfer