Warmteoverdracht: samenvattingspakket

Formuleoverzichten, de belangrijkste methodestappen voor elk onderwerp en 4 oefenopgaven, met volledige oplossingen achterin.

Nieuwe opgavenTerug naar het vak

Kies in het printvenster “Opslaan als pdf” om een kopie op je apparaat te bewaren.

1Formules en methoden

Warmtegeleiding

Wet van Fourier
Q̇ = kAΔT/L
Geleidingsweerstand
R = L/(kA)
Convectieweerstand
R = 1/(hA)
Weerstanden in serie
Q̇ = ΔTtotal/ΣR
U-waarde
U = 1/(ΣR·A)

Warmtewisselaars (LMTD)

Warmtevermogen
Q = U·A·ΔTlm
Logaritmisch gemiddeld temperatuurverschil
ΔTlm = (ΔT1 − ΔT2)/ln(ΔT1/ΔT2)
Balans van een stroom
Q = ṁcp(Tin − Tout)

2Oefenopgaven

1.WarmtegeleidingGemiddeld
Baksteen, k = 0,72200 mmGipsplaat, k = 0,1750 mm24 °C-10 °CQ̇ = ?

Een wand bestaat uit 200 mm baksteen en 50 mm gipsplaat, met een oppervlak van 8 m². De buitenzijden zijn 24 °C en -10 °C. Vind de warmtestroom Q̇ door de wand.

L1 = 200 mm, k1 = 0,72 W/(m·K)L2 = 50 mm, k2 = 0,17 W/(m·K)A = 8 m²T1 = 24 °CT3 = -10 °C
Q̇ = W
2.WarmtegeleidingMoeilijk
Geëxpandeerd polystyreen, k = 0,03550 mmGipsplaat, k = 0,17150 mmkamer 22 °Cbuiten -4 °CQ̇

Een wand van 50 mm geëxpandeerd polystyreen en 150 mm gipsplaat scheidt een kamer van 22 °C van de buitenlucht van -4 °C. De warmteoverdrachtscoëfficiënten zijn 7,7 W/(m²·K) binnen en 30 W/(m²·K) buiten, en het wandoppervlak is 8 m². Vind de warmtedoorgangscoëfficiënt U van de wand.

L1 = 50 mm, k1 = 0,035 W/(m·K)L2 = 150 mm, k2 = 0,17 W/(m·K)A = 8 m²hi = 7,7 W/(m²·K)ho = 30 W/(m²·K)Troom = 22 °CTout = -4 °C
U = W/(m²·K)
3.Warmtewisselaars (LMTD)Gemiddeld
lengteT155 °C60 °C135 °C10 °CΔT₁ΔT₂tegenstroom

Een pijpenbundelwarmtewisselaar (één mantelgang, twee buisgangen) moet 520 kW overdragen. De warme vloeistof koelt af van 155 tot 60 °C en de koude vloeistof warmt op van 10 tot 135 °C. De LMTD-correctiefactor voor deze opstelling is F = 0,9, en U = 200 W/(m²·K). Vind het benodigde warmtewisselend oppervlak A.

Q̇ = 520 kWF = 0,9U = 200 W/(m²·K)Th: 155 → 60 °CTc: 10 → 135 °C
A = m²
4.Warmtewisselaars (LMTD)Moeilijk
lengteT105 °C45 °C64,52 °C15 °CΔT₁ΔT₂tegenstroom

Warme olie (1,5 kg/s, cp = 2,3 kJ/(kg·K)) koelt af van 105 tot 45 °C in een tegenstroomwarmtewisselaar. Ze verwarmt 1 kg/s water (cp = 4,18 kJ/(kg·K)) dat binnenkomt op 15 °C. Met U = 200 W/(m²·K), vind het benodigde warmtewisselend oppervlak A.

ṁh = 1,5 kg/scp,h = 2,3 kJ/(kg·K)Th: 105 → 45 °Cṁc = 1 kg/scp,c = 4,18 kJ/(kg·K)Tc,in = 15 °CU = 200 W/(m²·K)
A = m²

3Oplossingen

1.Warmtegeleiding

Antwoord: Q̇ = 475,6 W

Warmteweerstand: stationaire warmtestroom door lagen in serie gedraagt zich als stroom door weerstanden in serie: Q̇ = ΔT/ΣR, met R = L/(kA) voor een geleidende laag en R = 1/(hA) voor een oppervlak met convectie. Het temperatuurverschil over elke laag is evenredig met haar weerstand.

Weerstanden van de lagen

R1 = L1/(k1A) = (200/1000)/(0,72·8) = 0,03472 K/W
R2 = L2/(k2A) = (50/1000)/(0,17·8) = 0,03676 K/W

Warmtestroom

Q̇ = (T1 − T3)/(R1 + R2) = 34/0,07149 = 475,6 W

Antwoord

Q̇ = 475,6 W
2.Warmtegeleiding

Antwoord: U = 0,4042 W/(m²·K)

Warmteweerstand: stationaire warmtestroom door lagen in serie gedraagt zich als stroom door weerstanden in serie: Q̇ = ΔT/ΣR, met R = L/(kA) voor een geleidende laag en R = 1/(hA) voor een oppervlak met convectie. Het temperatuurverschil over elke laag is evenredig met haar weerstand.

Weerstanden in serie

Ri = 1/(hiA) = 1/(7,7·8) = 0,01623 K/W
R1 = L1/(k1A) = (50/1000)/(0,035·8) = 0,1786 K/W
R2 = L2/(k2A) = (150/1000)/(0,17·8) = 0,1103 K/W
Ro = 1/(hoA) = 1/(30·8) = 0,004167 K/W
ΣR = 0,3093 K/W

Warmtedoorgangscoëfficiënt

U = 1/(A·ΣR) = 1/(8·0,3093) = 0,4042 W/(m²·K)

Antwoord

U = 0,4042 W/(m²·K)
3.Warmtewisselaars (LMTD)

Antwoord: A = 88,24 m²

LMTD method: the temperature difference between the streams changes along the exchanger, so the rate equation uses its logarithmic mean: Q̇ = U·A·ΔTlm, with ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), where ΔT₁ and ΔT₂ are the differences at the two ends. Counter-flow gives a larger ΔTlm than parallel flow for the same inlet and outlet temperatures.

Eindtemperatuurverschillen (tegenstroom)

Bij tegenstroom ligt de warme ingang tegenover de koude uitgang, en de warme uitgang tegenover de koude ingang.

ΔT₁ = Th,in − Tc,out = 155 − 135 = 20 K
ΔT₂ = Th,out − Tc,in = 60 − 10 = 50 K

Logaritmisch gemiddeld temperatuurverschil

ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂) = (20 − 50)/ln(20/50) = 32,74 K

Oppervlak

A = Q̇/(U·F·ΔTlm,cf) = 520000/(200·0,9·32,74) = 88,24 m²

Antwoord

A = 88,24 m²
4.Warmtewisselaars (LMTD)

Antwoord: A = 29,59 m²

LMTD-methode: het temperatuurverschil tussen de stromen verandert langs de warmtewisselaar, dus de overdrachtsvergelijking gebruikt het logaritmisch gemiddelde: Q̇ = U·A·ΔTlm, met ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), waarbij ΔT₁ en ΔT₂ de verschillen aan beide uiteinden zijn. Tegenstroom geeft een grotere ΔTlm dan meestroom bij dezelfde in- en uittredetemperaturen.

Warmtevermogen en uittredetemperatuur van het water

Q̇ = ṁhcp,h(Th,in − Th,out) = 1,5·2,3·60 = 207 kW
Tc,out = 15 + 207/(1·4,18) = 64,52 °C

Temperatuurverschillen aan de uiteinden

Bij tegenstroom ligt de warme ingang tegenover de koude uitgang, en de warme uitgang tegenover de koude ingang.

ΔT₁ = Th,in − Tc,out = 105 − 64,52 = 40,48 K
ΔT₂ = Th,out − Tc,in = 45 − 15 = 30 K

Logaritmisch gemiddeld temperatuurverschil

ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂) = (40,48 − 30)/ln(40,48/30) = 34,98 K

Oppervlak

A = Q̇/(U·ΔTlm) = 207000/(200·34,98) = 29,59 m²

Antwoord

A = 29,59 m²

ExamProblems · examproblems.com/courses/heat-transfer