Warmtegeleiding
- Wet van Fourier
- Q̇ = kAΔT/L
- Geleidingsweerstand
- R = L/(kA)
- Convectieweerstand
- R = 1/(hA)
- Weerstanden in serie
- Q̇ = ΔTtotal/ΣR
- U-waarde
- U = 1/(ΣR·A)
Warmteoverdracht: samenvattingspakket
Formuleoverzichten, de belangrijkste methodestappen voor elk onderwerp en 4 oefenopgaven, met volledige oplossingen achterin.
1Formules en methoden
Warmtewisselaars (LMTD)
- Warmtevermogen
- Q = U·A·ΔTlm
- Logaritmisch gemiddeld temperatuurverschil
- ΔTlm = (ΔT1 − ΔT2)/ln(ΔT1/ΔT2)
- Balans van een stroom
- Q = ṁcp(Tin − Tout)
2Oefenopgaven
1.WarmtegeleidingGemiddeld
Een wand bestaat uit 200 mm baksteen en 100 mm minerale wol, met een oppervlak van 10 m². De buitenzijden zijn 21 °C en 0 °C. Vind de temperatuur Ti op het grensvlak tussen de twee lagen.
L1 = 200 mm, k1 = 0,72 W/(m·K)L2 = 100 mm, k2 = 0,04 W/(m·K)A = 10 m²T1 = 21 °CT3 = 0 °C
Ti = °C
2.WarmtegeleidingMoeilijk
Een wand van 150 mm beton en 100 mm glas scheidt een kamer van 20 °C van de buitenlucht van -7 °C. De warmteoverdrachtscoëfficiënten zijn 6 W/(m²·K) binnen en 20 W/(m²·K) buiten, en het wandoppervlak is 6 m². Vind de temperatuur Ts van het binnenoppervlak van de wand.
L1 = 150 mm, k1 = 1,4 W/(m·K)L2 = 100 mm, k2 = 0,96 W/(m·K)A = 6 m²hi = 6 W/(m²·K)ho = 20 W/(m²·K)Troom = 20 °CTout = -7 °C
Ts = °C
3.Warmtewisselaars (LMTD)Gemiddeld
Een meestroomwarmtewisselaar draagt 290 kW over. Het warmtewisselend oppervlak is 20 m². De warme vloeistof koelt af van 130 tot 75 °C en de koude vloeistof warmt op van 25 tot 70 °C. Vind de warmtedoorgangscoëfficiënt U.
Q̇ = 290 kWA = 20 m²Th: 130 → 75 °CTc: 25 → 70 °C
U = W/(m²·K)
4.Warmtewisselaars (LMTD)Moeilijk
Stoom condenseert bij een constante 100 °C aan de buitenkant van de buizen van een condensor met een warmtewisselend oppervlak van 1,5 m² en U = 3000 W/(m²·K). Koelwater (0,5 kg/s, cp = 4,18 kJ/(kg·K)) komt de buizen binnen op 15 °C. Vind de uittredetemperatuur van het water Tc,out.
Ts = 100 °CA = 1,5 m²U = 3000 W/(m²·K)ṁ = 0,5 kg/scp = 4,18 kJ/(kg·K)Tc,in = 15 °C
Tc,out = °C
3Oplossingen
1.Warmtegeleiding
Antwoord: Ti = 18,9 °C
Warmteweerstand: stationaire warmtestroom door lagen in serie gedraagt zich als stroom door weerstanden in serie: Q̇ = ΔT/ΣR, met R = L/(kA) voor een geleidende laag en R = 1/(hA) voor een oppervlak met convectie. Het temperatuurverschil over elke laag is evenredig met haar weerstand.
Weerstanden van de lagen
R1 = L1/(k1A) = (200/1000)/(0,72·10) = 0,02778 K/W
R2 = L2/(k2A) = (100/1000)/(0,04·10) = 0,25 K/W
Warmtestroom
Q̇ = (T1 − T3)/(R1 + R2) = 21/0,2778 = 75,6 W
Temperatuur op het grensvlak
De temperatuur daalt over de eerste laag met Q̇·R₁.
Ti = T1 − Q̇·R1 = 21 − 75,6·0,02778 = 18,9 °C
Antwoord
Ti = 18,9 °C
2.Warmtegeleiding
Antwoord: Ts = 9,485 °C
Warmteweerstand: stationaire warmtestroom door lagen in serie gedraagt zich als stroom door weerstanden in serie: Q̇ = ΔT/ΣR, met R = L/(kA) voor een geleidende laag en R = 1/(hA) voor een oppervlak met convectie. Het temperatuurverschil over elke laag is evenredig met haar weerstand.
Weerstanden in serie
Ri = 1/(hiA) = 1/(6·6) = 0,02778 K/W
R1 = L1/(k1A) = (150/1000)/(1,4·6) = 0,01786 K/W
R2 = L2/(k2A) = (100/1000)/(0,96·6) = 0,01736 K/W
Ro = 1/(hoA) = 1/(20·6) = 0,008333 K/W
ΣR = 0,07133 K/W
Warmteverlies
Q̇ = (20 − (-7))/0,07133 = 378,5 W
Ts = Troom − Q̇·Ri = 20 − 378,5·0,02778 = 9,485 °C
Antwoord
Ts = 9,485 °C
3.Warmtewisselaars (LMTD)
Antwoord: U = 441,5 W/(m²·K)
LMTD method: the temperature difference between the streams changes along the exchanger, so the rate equation uses its logarithmic mean: Q̇ = U·A·ΔTlm, with ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), where ΔT₁ and ΔT₂ are the differences at the two ends. Counter-flow gives a larger ΔTlm than parallel flow for the same inlet and outlet temperatures.
Temperatuurverschillen aan de uiteinden
Bij meestroom liggen beide ingangen aan hetzelfde uiteinde, en beide uitgangen aan het andere.
ΔT₁ = Th,in − Tc,in = 130 − 25 = 105 K
ΔT₂ = Th,out − Tc,out = 75 − 70 = 5 K
Logaritmisch gemiddeld temperatuurverschil
ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂) = (105 − 5)/ln(105/5) = 32,85 K
Warmtedoorgangscoëfficiënt
U = Q̇/(A·ΔTlm) = 290000/(20·32,85) = 441,5 W/(m²·K)
Antwoord
U = 441,5 W/(m²·K)
4.Warmtewisselaars (LMTD)
Antwoord: Tc,out = 90,13 °C
LMTD method: the temperature difference between the streams changes along the exchanger, so the rate equation uses its logarithmic mean: Q̇ = U·A·ΔTlm, with ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), where ΔT₁ and ΔT₂ are the differences at the two ends. Counter-flow gives a larger ΔTlm than parallel flow for the same inlet and outlet temperatures.
Combineer de energiebalans en de warmteoverdrachtsvergelijking
Met ΔT₁ = Ts − Tc,in en ΔT₂ = Ts − Tc,out is het verschil ΔT₁ − ΔT₂ gelijk aan de temperatuurstijging van het water, dus de stijging valt weg.
ṁcp(ΔT₁ − ΔT₂) = U·A·(ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂)
ln(ΔT₁/ΔT₂) = U·A/(ṁcp) = 3000·1,5/(0,5·4180) = 2,153
Uittredetemperatuur
ΔT₂ = ΔT₁·e−2,153 = 85·0,1161 = 9,87 K
Tc,out = 100 − 9,87 = 90,13 °C
Antwoord
Tc,out = 90,13 °C
Overgedragen warmte: Q̇ = 157 kW.
ExamProblems · examproblems.com/courses/heat-transfer