Warmteoverdracht: samenvattingspakket

Formuleoverzichten, de belangrijkste methodestappen voor elk onderwerp en 4 oefenopgaven, met volledige oplossingen achterin.

Nieuwe opgavenTerug naar het vak

Kies in het printvenster “Opslaan als pdf” om een kopie op je apparaat te bewaren.

1Formules en methoden

Warmtegeleiding

Wet van Fourier
Q̇ = kAΔT/L
Geleidingsweerstand
R = L/(kA)
Convectieweerstand
R = 1/(hA)
Weerstanden in serie
Q̇ = ΔTtotal/ΣR
U-waarde
U = 1/(ΣR·A)

Warmtewisselaars (LMTD)

Warmtevermogen
Q = U·A·ΔTlm
Logaritmisch gemiddeld temperatuurverschil
ΔTlm = (ΔT1 − ΔT2)/ln(ΔT1/ΔT2)
Balans van een stroom
Q = ṁcp(Tin − Tout)

2Oefenopgaven

1.WarmtegeleidingGemiddeld
Beton, k = 1,4200 mmGipsplaat, k = 0,1725 mm15 °C3 °CTi​ = ?Q̇

Een wand bestaat uit 200 mm beton en 25 mm gipsplaat, met een oppervlak van 15 m². De buitenzijden zijn 15 °C en 3 °C. Vind de temperatuur Ti op het grensvlak tussen de twee lagen.

L1 = 200 mm, k1 = 1,4 W/(m·K)L2 = 25 mm, k2 = 0,17 W/(m·K)A = 15 m²T1 = 15 °CT3 = 3 °C
Ti = °C
2.WarmtegeleidingMoeilijk
Beton, k = 1,4100 mmMinerale wol, k = 0,04100 mmkamer 20 °Cbuiten -10 °CQ̇

Een wand van 100 mm beton en 100 mm minerale wol scheidt een kamer van 20 °C van de buitenlucht van -10 °C. De warmteoverdrachtscoëfficiënten zijn 7,7 W/(m²·K) binnen en 20 W/(m²·K) buiten, en het wandoppervlak is 10 m². Vind de warmtedoorgangscoëfficiënt U van de wand.

L1 = 100 mm, k1 = 1,4 W/(m·K)L2 = 100 mm, k2 = 0,04 W/(m·K)A = 10 m²hi = 7,7 W/(m²·K)ho = 20 W/(m²·K)Troom = 20 °CTout = -10 °C
U = W/(m²·K)
3.Warmtewisselaars (LMTD)Gemiddeld
lengteT140 °C110 °C60 °C20 °CΔT₁ΔT₂tegenstroom

Een pijpenbundelwarmtewisselaar (één mantelgang, twee buisgangen) moet 190 kW overdragen. De warme vloeistof koelt af van 140 tot 110 °C en de koude vloeistof warmt op van 20 tot 60 °C. De LMTD-correctiefactor voor deze opstelling is F = 0,8, en U = 800 W/(m²·K). Vind het benodigde warmtewisselend oppervlak A.

Q̇ = 190 kWF = 0,8U = 800 W/(m²·K)Th: 140 → 110 °CTc: 20 → 60 °C
A = m²
4.Warmtewisselaars (LMTD)Moeilijk
lengteT110 °C15 °C?ΔT₁ΔT₂condenserende stoom

Stoom condenseert bij een constante 110 °C aan de buitenkant van de buizen van een condensor met een warmtewisselend oppervlak van 6 m² en U = 1000 W/(m²·K). Koelwater (2 kg/s, cp = 4,18 kJ/(kg·K)) komt de buizen binnen op 15 °C. Vind de uittredetemperatuur van het water Tc,out.

Ts = 110 °CA = 6 m²U = 1000 W/(m²·K)ṁ = 2 kg/scp = 4,18 kJ/(kg·K)Tc,in = 15 °C
Tc,out = °C

3Oplossingen

1.Warmtegeleiding

Antwoord: Ti = 9,087 °C

Warmteweerstand: stationaire warmtestroom door lagen in serie gedraagt zich als stroom door weerstanden in serie: Q̇ = ΔT/ΣR, met R = L/(kA) voor een geleidende laag en R = 1/(hA) voor een oppervlak met convectie. Het temperatuurverschil over elke laag is evenredig met haar weerstand.

Weerstanden van de lagen

R1 = L1/(k1A) = (200/1000)/(1,4·15) = 0,009524 K/W
R2 = L2/(k2A) = (25/1000)/(0,17·15) = 0,009804 K/W

Warmtestroom

Q̇ = (T1 − T3)/(R1 + R2) = 12/0,01933 = 620,9 W

Temperatuur op het grensvlak

De temperatuur daalt over de eerste laag met Q̇·R₁.

Ti = T1 − Q̇·R1 = 15 − 620,9·0,009524 = 9,087 °C

Antwoord

Ti = 9,087 °C
2.Warmtegeleiding

Antwoord: U = 0,3635 W/(m²·K)

Warmteweerstand: stationaire warmtestroom door lagen in serie gedraagt zich als stroom door weerstanden in serie: Q̇ = ΔT/ΣR, met R = L/(kA) voor een geleidende laag en R = 1/(hA) voor een oppervlak met convectie. Het temperatuurverschil over elke laag is evenredig met haar weerstand.

Weerstanden in serie

Ri = 1/(hiA) = 1/(7,7·10) = 0,01299 K/W
R1 = L1/(k1A) = (100/1000)/(1,4·10) = 0,007143 K/W
R2 = L2/(k2A) = (100/1000)/(0,04·10) = 0,25 K/W
Ro = 1/(hoA) = 1/(20·10) = 0,005 K/W
ΣR = 0,2751 K/W

Warmtedoorgangscoëfficiënt

U = 1/(A·ΣR) = 1/(10·0,2751) = 0,3635 W/(m²·K)

Antwoord

U = 0,3635 W/(m²·K)
3.Warmtewisselaars (LMTD)

Antwoord: A = 3,497 m²

LMTD method: the temperature difference between the streams changes along the exchanger, so the rate equation uses its logarithmic mean: Q̇ = U·A·ΔTlm, with ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), where ΔT₁ and ΔT₂ are the differences at the two ends. Counter-flow gives a larger ΔTlm than parallel flow for the same inlet and outlet temperatures.

Eindtemperatuurverschillen (tegenstroom)

Bij tegenstroom ligt de warme ingang tegenover de koude uitgang, en de warme uitgang tegenover de koude ingang.

ΔT₁ = Th,in − Tc,out = 140 − 60 = 80 K
ΔT₂ = Th,out − Tc,in = 110 − 20 = 90 K

Logaritmisch gemiddeld temperatuurverschil

ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂) = (80 − 90)/ln(80/90) = 84,9 K

Oppervlak

A = Q̇/(U·F·ΔTlm,cf) = 190000/(800·0,8·84,9) = 3,497 m²

Antwoord

A = 3,497 m²
4.Warmtewisselaars (LMTD)

Antwoord: Tc,out = 63,65 °C

LMTD method: the temperature difference between the streams changes along the exchanger, so the rate equation uses its logarithmic mean: Q̇ = U·A·ΔTlm, with ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), where ΔT₁ and ΔT₂ are the differences at the two ends. Counter-flow gives a larger ΔTlm than parallel flow for the same inlet and outlet temperatures.

Combineer de energiebalans en de warmteoverdrachtsvergelijking

Met ΔT₁ = Ts − Tc,in en ΔT₂ = Ts − Tc,out is het verschil ΔT₁ − ΔT₂ gelijk aan de temperatuurstijging van het water, dus de stijging valt weg.

ṁcp(ΔT₁ − ΔT₂) = U·A·(ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂)
ln(ΔT₁/ΔT₂) = U·A/(ṁcp) = 1000·6/(2·4180) = 0,7177

Uittredetemperatuur

ΔT₂ = ΔT₁·e−0,7177 = 95·0,4879 = 46,35 K
Tc,out = 110 − 46,35 = 63,65 °C

Antwoord

Tc,out = 63,65 °C

Overgedragen warmte: Q̇ = 406,7 kW.

ExamProblems · examproblems.com/courses/heat-transfer