Warmtegeleiding
- Wet van Fourier
- Q̇ = kAΔT/L
- Geleidingsweerstand
- R = L/(kA)
- Convectieweerstand
- R = 1/(hA)
- Weerstanden in serie
- Q̇ = ΔTtotal/ΣR
- U-waarde
- U = 1/(ΣR·A)
Warmteoverdracht: samenvattingspakket
Formuleoverzichten, de belangrijkste methodestappen voor elk onderwerp en 4 oefenopgaven, met volledige oplossingen achterin.
1Formules en methoden
Warmtewisselaars (LMTD)
- Warmtevermogen
- Q = U·A·ΔTlm
- Logaritmisch gemiddeld temperatuurverschil
- ΔTlm = (ΔT1 − ΔT2)/ln(ΔT1/ΔT2)
- Balans van een stroom
- Q = ṁcp(Tin − Tout)
2Oefenopgaven
1.WarmtegeleidingGemiddeld
Een wand bestaat uit 50 mm baksteen en 50 mm beton, met een oppervlak van 6 m². De buitenzijden zijn 21 °C en 8 °C. Vind de warmtestroom Q̇ door de wand.
L1 = 50 mm, k1 = 0,72 W/(m·K)L2 = 50 mm, k2 = 1,4 W/(m·K)A = 6 m²T1 = 21 °CT3 = 8 °C
Q̇ = W
2.WarmtegeleidingMoeilijk
Een wand van 200 mm beton en 150 mm minerale wol scheidt een kamer van 20 °C van de buitenlucht van -7 °C. De warmteoverdrachtscoëfficiënten zijn 6 W/(m²·K) binnen en 25 W/(m²·K) buiten, en het wandoppervlak is 6 m². Vind de warmtedoorgangscoëfficiënt U van de wand.
L1 = 200 mm, k1 = 1,4 W/(m·K)L2 = 150 mm, k2 = 0,04 W/(m·K)A = 6 m²hi = 6 W/(m²·K)ho = 25 W/(m²·K)Troom = 20 °CTout = -7 °C
U = W/(m²·K)
3.Warmtewisselaars (LMTD)Gemiddeld
Een tegenstroomwarmtewisselaar draagt 460 kW over. De warme vloeistof koelt af van 175 tot 130 °C en de koude vloeistof warmt op van 15 tot 115 °C. De warmtedoorgangscoëfficiënt is 300 W/(m²·K). Vind het benodigde warmtewisselend oppervlak A.
Q̇ = 460 kWU = 300 W/(m²·K)Th: 175 → 130 °CTc: 15 → 115 °C
A = m²
4.Warmtewisselaars (LMTD)Moeilijk
In een dubbelepijpwarmtewisselaar met tegenstroom stroomt hete olie (0,3 kg/s, cp = 2,3 kJ/(kg·K)) door de binnenbuis en koelt af van 115 tot 60 °C. Water (1,5 kg/s, cp = 4,18 kJ/(kg·K)) in de ringspleet komt binnen op 10 °C. De binnenbuis heeft een diameter van 40 mm, en U = 250 W/(m²·K) is op deze diameter gebaseerd. Vind de benodigde buislengte L.
ṁh = 0,3 kg/scp,h = 2,3 kJ/(kg·K)Th: 115 → 60 °Cṁc = 1,5 kg/sTc,in = 10 °CD = 40 mmU = 250 W/(m²·K)
L = m
3Oplossingen
1.Warmtegeleiding
Antwoord: Q̇ = 741,7 W
Warmteweerstand: stationaire warmtestroom door lagen in serie gedraagt zich als stroom door weerstanden in serie: Q̇ = ΔT/ΣR, met R = L/(kA) voor een geleidende laag en R = 1/(hA) voor een oppervlak met convectie. Het temperatuurverschil over elke laag is evenredig met haar weerstand.
Weerstanden van de lagen
R1 = L1/(k1A) = (50/1000)/(0,72·6) = 0,01157 K/W
R2 = L2/(k2A) = (50/1000)/(1,4·6) = 0,005952 K/W
Warmtestroom
Q̇ = (T1 − T3)/(R1 + R2) = 13/0,01753 = 741,7 W
Antwoord
Q̇ = 741,7 W
2.Warmtegeleiding
Antwoord: U = 0,2439 W/(m²·K)
Warmteweerstand: stationaire warmtestroom door lagen in serie gedraagt zich als stroom door weerstanden in serie: Q̇ = ΔT/ΣR, met R = L/(kA) voor een geleidende laag en R = 1/(hA) voor een oppervlak met convectie. Het temperatuurverschil over elke laag is evenredig met haar weerstand.
Weerstanden in serie
Ri = 1/(hiA) = 1/(6·6) = 0,02778 K/W
R1 = L1/(k1A) = (200/1000)/(1,4·6) = 0,02381 K/W
R2 = L2/(k2A) = (150/1000)/(0,04·6) = 0,625 K/W
Ro = 1/(hoA) = 1/(25·6) = 0,006667 K/W
ΣR = 0,6833 K/W
Warmtedoorgangscoëfficiënt
U = 1/(A·ΣR) = 1/(6·0,6833) = 0,2439 W/(m²·K)
Antwoord
U = 0,2439 W/(m²·K)
3.Warmtewisselaars (LMTD)
Antwoord: A = 18,14 m²
LMTD-methode: het temperatuurverschil tussen de stromen verandert langs de warmtewisselaar, dus de overdrachtsvergelijking gebruikt het logaritmisch gemiddelde: Q̇ = U·A·ΔTlm, met ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), waarbij ΔT₁ en ΔT₂ de verschillen aan beide uiteinden zijn. Tegenstroom geeft een grotere ΔTlm dan meestroom bij dezelfde in- en uittredetemperaturen.
Temperatuurverschillen aan de uiteinden
Bij tegenstroom ligt de warme ingang tegenover de koude uitgang, en de warme uitgang tegenover de koude ingang.
ΔT₁ = Th,in − Tc,out = 175 − 115 = 60 K
ΔT₂ = Th,out − Tc,in = 130 − 15 = 115 K
Logaritmisch gemiddeld temperatuurverschil
ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂) = (60 − 115)/ln(60/115) = 84,54 K
Oppervlak
A = Q̇/(U·ΔTlm) = 460000/(300·84,54) = 18,14 m²
Antwoord
A = 18,14 m²
4.Warmtewisselaars (LMTD)
Antwoord: L = 16,85 m
LMTD method: the temperature difference between the streams changes along the exchanger, so the rate equation uses its logarithmic mean: Q̇ = U·A·ΔTlm, with ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), where ΔT₁ and ΔT₂ are the differences at the two ends. Counter-flow gives a larger ΔTlm than parallel flow for the same inlet and outlet temperatures.
Warmtevermogen en uittredetemperatuur van het water
Q̇ = 0,3·2,3·(115 − 60) = 37,95 kW
Tc,out = 10 + 37,95/(1,5·4,18) = 16,05 °C
Temperatuurverschillen aan de uiteinden
Bij tegenstroom ligt de warme ingang tegenover de koude uitgang, en de warme uitgang tegenover de koude ingang.
ΔT₁ = Th,in − Tc,out = 115 − 16,05 = 98,95 K
ΔT₂ = Th,out − Tc,in = 60 − 10 = 50 K
Logaritmisch gemiddeld temperatuurverschil
ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂) = (98,95 − 50)/ln(98,95/50) = 71,71 K
Oppervlak en lengte
A = 37950/(250·71,71) = 2,117 m²
L = A/(πD) = 2,117/(π·0,04) = 16,85 m
Antwoord
L = 16,85 m
ExamProblems · examproblems.com/courses/heat-transfer