Warmtegeleiding
- Wet van Fourier
- Q̇ = kAΔT/L
- Geleidingsweerstand
- R = L/(kA)
- Convectieweerstand
- R = 1/(hA)
- Weerstanden in serie
- Q̇ = ΔTtotal/ΣR
- U-waarde
- U = 1/(ΣR·A)
Warmteoverdracht: samenvattingspakket
Formuleoverzichten, de belangrijkste methodestappen voor elk onderwerp en 4 oefenopgaven, met volledige oplossingen achterin.
1Formules en methoden
Warmtewisselaars (LMTD)
- Warmtevermogen
- Q = U·A·ΔTlm
- Logaritmisch gemiddeld temperatuurverschil
- ΔTlm = (ΔT1 − ΔT2)/ln(ΔT1/ΔT2)
- Balans van een stroom
- Q = ṁcp(Tin − Tout)
2Oefenopgaven
1.WarmtegeleidingGemiddeld
Een wand bestaat uit 100 mm hout en 150 mm glas, met een oppervlak van 15 m². De buitenzijden zijn 17 °C en -15 °C. Vind de temperatuur Ti op het grensvlak tussen de twee lagen.
L1 = 100 mm, k1 = 0,17 W/(m·K)L2 = 150 mm, k2 = 0,96 W/(m·K)A = 15 m²T1 = 17 °CT3 = -15 °C
Ti = °C
2.WarmtegeleidingMoeilijk
Een wand van 250 mm hout en 150 mm gipsplaat scheidt een kamer van 22 °C van de buitenlucht van -7 °C. De warmteoverdrachtscoëfficiënten zijn 8 W/(m²·K) binnen en 30 W/(m²·K) buiten, en het wandoppervlak is 6 m². Vind de temperatuur Ts van het binnenoppervlak van de wand.
L1 = 250 mm, k1 = 0,17 W/(m·K)L2 = 150 mm, k2 = 0,17 W/(m·K)A = 6 m²hi = 8 W/(m²·K)ho = 30 W/(m²·K)Troom = 22 °CTout = -7 °C
Ts = °C
3.Warmtewisselaars (LMTD)Gemiddeld
Een tegenstroomwarmtewisselaar draagt 50 kW over. De warme vloeistof koelt af van 145 tot 65 °C en de koude vloeistof warmt op van 15 tot 90 °C. De warmtedoorgangscoëfficiënt is 1000 W/(m²·K). Vind het benodigde warmtewisselend oppervlak A.
Q̇ = 50 kWU = 1000 W/(m²·K)Th: 145 → 65 °CTc: 15 → 90 °C
A = m²
4.Warmtewisselaars (LMTD)Moeilijk
Warme olie (1 kg/s, cp = 2,3 kJ/(kg·K)) koelt af van 115 tot 60 °C in een tegenstroomwarmtewisselaar. Ze verwarmt 2 kg/s water (cp = 4,18 kJ/(kg·K)) dat binnenkomt op 10 °C. Met U = 1000 W/(m²·K), vind het benodigde warmtewisselend oppervlak A.
ṁh = 1 kg/scp,h = 2,3 kJ/(kg·K)Th: 115 → 60 °Cṁc = 2 kg/scp,c = 4,18 kJ/(kg·K)Tc,in = 10 °CU = 1000 W/(m²·K)
A = m²
3Oplossingen
1.Warmtegeleiding
Antwoord: Ti = −8,284 °C
Warmteweerstand: stationaire warmtestroom door lagen in serie gedraagt zich als stroom door weerstanden in serie: Q̇ = ΔT/ΣR, met R = L/(kA) voor een geleidende laag en R = 1/(hA) voor een oppervlak met convectie. Het temperatuurverschil over elke laag is evenredig met haar weerstand.
Weerstanden van de lagen
R1 = L1/(k1A) = (100/1000)/(0,17·15) = 0,03922 K/W
R2 = L2/(k2A) = (150/1000)/(0,96·15) = 0,01042 K/W
Warmtestroom
Q̇ = (T1 − T3)/(R1 + R2) = 32/0,04963 = 644,7 W
Temperatuur op het grensvlak
De temperatuur daalt over de eerste laag met Q̇·R₁.
Ti = T1 − Q̇·R1 = 17 − 644,7·0,03922 = −8,284 °C
Antwoord
Ti = −8,284 °C
2.Warmtegeleiding
Antwoord: Ts = 20,56 °C
Warmteweerstand: stationaire warmtestroom door lagen in serie gedraagt zich als stroom door weerstanden in serie: Q̇ = ΔT/ΣR, met R = L/(kA) voor een geleidende laag en R = 1/(hA) voor een oppervlak met convectie. Het temperatuurverschil over elke laag is evenredig met haar weerstand.
Weerstanden in serie
Ri = 1/(hiA) = 1/(8·6) = 0,02083 K/W
R1 = L1/(k1A) = (250/1000)/(0,17·6) = 0,2451 K/W
R2 = L2/(k2A) = (150/1000)/(0,17·6) = 0,1471 K/W
Ro = 1/(hoA) = 1/(30·6) = 0,005556 K/W
ΣR = 0,4185 K/W
Warmteverlies
Q̇ = (22 − (-7))/0,4185 = 69,29 W
Ts = Troom − Q̇·Ri = 22 − 69,29·0,02083 = 20,56 °C
Antwoord
Ts = 20,56 °C
3.Warmtewisselaars (LMTD)
Antwoord: A = 0,9531 m²
LMTD-methode: het temperatuurverschil tussen de stromen verandert langs de warmtewisselaar, dus de overdrachtsvergelijking gebruikt het logaritmisch gemiddelde: Q̇ = U·A·ΔTlm, met ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), waarbij ΔT₁ en ΔT₂ de verschillen aan beide uiteinden zijn. Tegenstroom geeft een grotere ΔTlm dan meestroom bij dezelfde in- en uittredetemperaturen.
Temperatuurverschillen aan de uiteinden
Bij tegenstroom ligt de warme ingang tegenover de koude uitgang, en de warme uitgang tegenover de koude ingang.
ΔT₁ = Th,in − Tc,out = 145 − 90 = 55 K
ΔT₂ = Th,out − Tc,in = 65 − 15 = 50 K
Logaritmisch gemiddeld temperatuurverschil
ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂) = (55 − 50)/ln(55/50) = 52,46 K
Oppervlak
A = Q̇/(U·ΔTlm) = 50000/(1000·52,46) = 0,9531 m²
Antwoord
A = 0,9531 m²
4.Warmtewisselaars (LMTD)
Antwoord: A = 1,86 m²
LMTD-methode: het temperatuurverschil tussen de stromen verandert langs de warmtewisselaar, dus de overdrachtsvergelijking gebruikt het logaritmisch gemiddelde: Q̇ = U·A·ΔTlm, met ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), waarbij ΔT₁ en ΔT₂ de verschillen aan beide uiteinden zijn. Tegenstroom geeft een grotere ΔTlm dan meestroom bij dezelfde in- en uittredetemperaturen.
Warmtevermogen en uittredetemperatuur van het water
Q̇ = ṁhcp,h(Th,in − Th,out) = 1·2,3·55 = 126,5 kW
Tc,out = 10 + 126,5/(2·4,18) = 25,13 °C
Temperatuurverschillen aan de uiteinden
Bij tegenstroom ligt de warme ingang tegenover de koude uitgang, en de warme uitgang tegenover de koude ingang.
ΔT₁ = Th,in − Tc,out = 115 − 25,13 = 89,87 K
ΔT₂ = Th,out − Tc,in = 60 − 10 = 50 K
Logaritmisch gemiddeld temperatuurverschil
ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂) = (89,87 − 50)/ln(89,87/50) = 68 K
Oppervlak
A = Q̇/(U·ΔTlm) = 126500/(1000·68) = 1,86 m²
Antwoord
A = 1,86 m²
ExamProblems · examproblems.com/courses/heat-transfer