Warmteoverdracht: samenvattingspakket

Formuleoverzichten, de belangrijkste methodestappen voor elk onderwerp en 4 oefenopgaven, met volledige oplossingen achterin.

Nieuwe opgavenTerug naar het vak

Kies in het printvenster “Opslaan als pdf” om een kopie op je apparaat te bewaren.

1Formules en methoden

Warmtegeleiding

Wet van Fourier
Q̇ = kAΔT/L
Geleidingsweerstand
R = L/(kA)
Convectieweerstand
R = 1/(hA)
Weerstanden in serie
Q̇ = ΔTtotal/ΣR
U-waarde
U = 1/(ΣR·A)

Warmtewisselaars (LMTD)

Warmtevermogen
Q = U·A·ΔTlm
Logaritmisch gemiddeld temperatuurverschil
ΔTlm = (ΔT1 − ΔT2)/ln(ΔT1/ΔT2)
Balans van een stroom
Q = ṁcp(Tin − Tout)

2Oefenopgaven

1.WarmtegeleidingGemiddeld
Hout, k = 0,17100 mmBeton, k = 1,425 mm25 °C-5 °CTi​ = ?Q̇

Een wand bestaat uit 100 mm hout en 25 mm beton, met een oppervlak van 12 m². De buitenzijden zijn 25 °C en -5 °C. Vind de temperatuur Ti op het grensvlak tussen de twee lagen.

L1 = 100 mm, k1 = 0,17 W/(m·K)L2 = 25 mm, k2 = 1,4 W/(m·K)A = 12 m²T1 = 25 °CT3 = -5 °C
Ti = °C
2.WarmtegeleidingMoeilijk
Geëxpandeerd polystyreen, k = 0,035150 mmGlas, k = 0,9675 mmkamer 22 °Cbuiten -13 °CQ̇

Een wand van 150 mm geëxpandeerd polystyreen en 75 mm glas scheidt een kamer van 22 °C van de buitenlucht van -13 °C. De warmteoverdrachtscoëfficiënten zijn 8 W/(m²·K) binnen en 30 W/(m²·K) buiten, en het wandoppervlak is 12 m². Vind de warmtedoorgangscoëfficiënt U van de wand.

L1 = 150 mm, k1 = 0,035 W/(m·K)L2 = 75 mm, k2 = 0,96 W/(m·K)A = 12 m²hi = 8 W/(m²·K)ho = 30 W/(m²·K)Troom = 22 °CTout = -13 °C
U = W/(m²·K)
3.Warmtewisselaars (LMTD)Gemiddeld
lengteT110 °C10 °C30 °CΔT₁ΔT₂condenserende stoom

In een condensor condenseert stoom bij een constante 110 °C aan de buitenkant van de buizen. Koelwater (5 kg/s, cp = 4,18 kJ/(kg·K)) stroomt door de buizen en warmt op van 10 tot 30 °C. De warmtedoorgangscoëfficiënt is 2000 W/(m²·K). Vind het benodigde warmtewisselend oppervlak A.

Ts = 110 °Cṁ = 5 kg/scp = 4,18 kJ/(kg·K)Tc: 10 → 30 °CU = 2000 W/(m²·K)
A = m²
4.Warmtewisselaars (LMTD)Moeilijk
lengteT100 °C20 °C?ΔT₁ΔT₂condenserende stoom

Stoom condenseert bij een constante 100 °C aan de buitenkant van de buizen van een condensor met een warmtewisselend oppervlak van 5 m² en U = 2500 W/(m²·K). Koelwater (1 kg/s, cp = 4,18 kJ/(kg·K)) komt de buizen binnen op 20 °C. Vind de uittredetemperatuur van het water Tc,out.

Ts = 100 °CA = 5 m²U = 2500 W/(m²·K)ṁ = 1 kg/scp = 4,18 kJ/(kg·K)Tc,in = 20 °C
Tc,out = °C

3Oplossingen

1.Warmtegeleiding

Antwoord: Ti = −4,116 °C

Warmteweerstand: stationaire warmtestroom door lagen in serie gedraagt zich als stroom door weerstanden in serie: Q̇ = ΔT/ΣR, met R = L/(kA) voor een geleidende laag en R = 1/(hA) voor een oppervlak met convectie. Het temperatuurverschil over elke laag is evenredig met haar weerstand.

Weerstanden van de lagen

R1 = L1/(k1A) = (100/1000)/(0,17·12) = 0,04902 K/W
R2 = L2/(k2A) = (25/1000)/(1,4·12) = 0,001488 K/W

Warmtestroom

Q̇ = (T1 − T3)/(R1 + R2) = 30/0,05051 = 594 W

Temperatuur op het grensvlak

De temperatuur daalt over de eerste laag met Q̇·R₁.

Ti = T1 − Q̇·R1 = 25 − 594·0,04902 = −4,116 °C

Antwoord

Ti = −4,116 °C
2.Warmtegeleiding

Antwoord: U = 0,2211 W/(m²·K)

Warmteweerstand: stationaire warmtestroom door lagen in serie gedraagt zich als stroom door weerstanden in serie: Q̇ = ΔT/ΣR, met R = L/(kA) voor een geleidende laag en R = 1/(hA) voor een oppervlak met convectie. Het temperatuurverschil over elke laag is evenredig met haar weerstand.

Weerstanden in serie

Ri = 1/(hiA) = 1/(8·12) = 0,01042 K/W
R1 = L1/(k1A) = (150/1000)/(0,035·12) = 0,3571 K/W
R2 = L2/(k2A) = (75/1000)/(0,96·12) = 0,00651 K/W
Ro = 1/(hoA) = 1/(30·12) = 0,002778 K/W
ΣR = 0,3768 K/W

Warmtedoorgangscoëfficiënt

U = 1/(A·ΣR) = 1/(12·0,3768) = 0,2211 W/(m²·K)

Antwoord

U = 0,2211 W/(m²·K)
3.Warmtewisselaars (LMTD)

Antwoord: A = 2,332 m²

LMTD method: the temperature difference between the streams changes along the exchanger, so the rate equation uses its logarithmic mean: Q̇ = U·A·ΔTlm, with ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), where ΔT₁ and ΔT₂ are the differences at the two ends. Counter-flow gives a larger ΔTlm than parallel flow for the same inlet and outlet temperatures.

Warmtevermogen aan de waterkant

Q̇ = 5·4,18·(30 − 10) = 418 kW

Temperatuurverschillen aan de uiteinden

ΔT₁ = 110 − 10 = 100 K
ΔT₂ = 110 − 30 = 80 K

Logaritmisch gemiddeld temperatuurverschil

ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂) = (100 − 80)/ln(100/80) = 89,63 K

Oppervlak

A = Q̇/(U·ΔTlm) = 418000/(2000·89,63) = 2,332 m²

Antwoord

A = 2,332 m²
4.Warmtewisselaars (LMTD)

Antwoord: Tc,out = 95,98 °C

LMTD method: the temperature difference between the streams changes along the exchanger, so the rate equation uses its logarithmic mean: Q̇ = U·A·ΔTlm, with ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), where ΔT₁ and ΔT₂ are the differences at the two ends. Counter-flow gives a larger ΔTlm than parallel flow for the same inlet and outlet temperatures.

Combineer de energiebalans en de warmteoverdrachtsvergelijking

Met ΔT₁ = Ts − Tc,in en ΔT₂ = Ts − Tc,out is het verschil ΔT₁ − ΔT₂ gelijk aan de temperatuurstijging van het water, dus de stijging valt weg.

ṁcp(ΔT₁ − ΔT₂) = U·A·(ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂)
ln(ΔT₁/ΔT₂) = U·A/(ṁcp) = 2500·5/(1·4180) = 2,99

Uittredetemperatuur

ΔT₂ = ΔT₁·e−2,99 = 80·0,05027 = 4,021 K
Tc,out = 100 − 4,021 = 95,98 °C

Antwoord

Tc,out = 95,98 °C

Overgedragen warmte: Q̇ = 317,6 kW.

ExamProblems · examproblems.com/courses/heat-transfer