Warmteoverdracht: samenvattingspakket

Formuleoverzichten, de belangrijkste methodestappen voor elk onderwerp en 4 oefenopgaven, met volledige oplossingen achterin.

Nieuwe opgavenTerug naar het vak

Kies in het printvenster “Opslaan als pdf” om een kopie op je apparaat te bewaren.

1Formules en methoden

Warmtegeleiding

Wet van Fourier
Q̇ = kAΔT/L
Geleidingsweerstand
R = L/(kA)
Convectieweerstand
R = 1/(hA)
Weerstanden in serie
Q̇ = ΔTtotal/ΣR
U-waarde
U = 1/(ΣR·A)

Warmtewisselaars (LMTD)

Warmtevermogen
Q = U·A·ΔTlm
Logaritmisch gemiddeld temperatuurverschil
ΔTlm = (ΔT1 − ΔT2)/ln(ΔT1/ΔT2)
Balans van een stroom
Q = ṁcp(Tin − Tout)

2Oefenopgaven

1.WarmtegeleidingGemiddeld
Minerale wol, k = 0,04100 mmGeëxpandeerd polystyreen, k = 0,03575 mm24 °C2 °CQ̇ = ?

Een wand bestaat uit 100 mm minerale wol en 75 mm geëxpandeerd polystyreen, met een oppervlak van 10 m². De buitenzijden zijn 24 °C en 2 °C. Vind de warmtestroom Q̇ door de wand.

L1 = 100 mm, k1 = 0,04 W/(m·K)L2 = 75 mm, k2 = 0,035 W/(m·K)A = 10 m²T1 = 24 °CT3 = 2 °C
Q̇ = W
2.WarmtegeleidingMoeilijk
Baksteen, k = 0,72250 mmHout, k = 0,1750 mmkamer 20 °Cbuiten -11 °CQ̇

Een wand van 250 mm baksteen en 50 mm hout scheidt een kamer van 20 °C van de buitenlucht van -11 °C. De warmteoverdrachtscoëfficiënten zijn 10 W/(m²·K) binnen en 20 W/(m²·K) buiten, en het wandoppervlak is 4 m². Vind de warmtedoorgangscoëfficiënt U van de wand.

L1 = 250 mm, k1 = 0,72 W/(m·K)L2 = 50 mm, k2 = 0,17 W/(m·K)A = 4 m²hi = 10 W/(m²·K)ho = 20 W/(m²·K)Troom = 20 °CTout = -11 °C
U = W/(m²·K)
3.Warmtewisselaars (LMTD)Gemiddeld
lengteT130 °C10 °C80 °CΔT₁ΔT₂condenserende stoom

In een condensor condenseert stoom bij een constante 130 °C aan de buitenkant van de buizen. Koelwater (1,5 kg/s, cp = 4,18 kJ/(kg·K)) stroomt door de buizen en warmt op van 10 tot 80 °C. De warmtedoorgangscoëfficiënt is 2000 W/(m²·K). Vind het benodigde warmtewisselend oppervlak A.

Ts = 130 °Cṁ = 1,5 kg/scp = 4,18 kJ/(kg·K)Tc: 10 → 80 °CU = 2000 W/(m²·K)
A = m²
4.Warmtewisselaars (LMTD)Moeilijk
lengteT140 °C10 °C?ΔT₁ΔT₂condenserende stoom

Stoom condenseert bij een constante 140 °C aan de buitenkant van de buizen van een condensor met een warmtewisselend oppervlak van 2,5 m² en U = 3000 W/(m²·K). Koelwater (2 kg/s, cp = 4,18 kJ/(kg·K)) komt de buizen binnen op 10 °C. Vind de uittredetemperatuur van het water Tc,out.

Ts = 140 °CA = 2,5 m²U = 3000 W/(m²·K)ṁ = 2 kg/scp = 4,18 kJ/(kg·K)Tc,in = 10 °C
Tc,out = °C

3Oplossingen

1.Warmtegeleiding

Antwoord: Q̇ = 47,38 W

Warmteweerstand: stationaire warmtestroom door lagen in serie gedraagt zich als stroom door weerstanden in serie: Q̇ = ΔT/ΣR, met R = L/(kA) voor een geleidende laag en R = 1/(hA) voor een oppervlak met convectie. Het temperatuurverschil over elke laag is evenredig met haar weerstand.

Weerstanden van de lagen

R1 = L1/(k1A) = (100/1000)/(0,04·10) = 0,25 K/W
R2 = L2/(k2A) = (75/1000)/(0,035·10) = 0,2143 K/W

Warmtestroom

Q̇ = (T1 − T3)/(R1 + R2) = 22/0,4643 = 47,38 W

Antwoord

Q̇ = 47,38 W
2.Warmtegeleiding

Antwoord: U = 1,264 W/(m²·K)

Warmteweerstand: stationaire warmtestroom door lagen in serie gedraagt zich als stroom door weerstanden in serie: Q̇ = ΔT/ΣR, met R = L/(kA) voor een geleidende laag en R = 1/(hA) voor een oppervlak met convectie. Het temperatuurverschil over elke laag is evenredig met haar weerstand.

Weerstanden in serie

Ri = 1/(hiA) = 1/(10·4) = 0,025 K/W
R1 = L1/(k1A) = (250/1000)/(0,72·4) = 0,08681 K/W
R2 = L2/(k2A) = (50/1000)/(0,17·4) = 0,07353 K/W
Ro = 1/(hoA) = 1/(20·4) = 0,0125 K/W
ΣR = 0,1978 K/W

Warmtedoorgangscoëfficiënt

U = 1/(A·ΣR) = 1/(4·0,1978) = 1,264 W/(m²·K)

Antwoord

U = 1,264 W/(m²·K)
3.Warmtewisselaars (LMTD)

Antwoord: A = 2,745 m²

LMTD method: the temperature difference between the streams changes along the exchanger, so the rate equation uses its logarithmic mean: Q̇ = U·A·ΔTlm, with ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), where ΔT₁ and ΔT₂ are the differences at the two ends. Counter-flow gives a larger ΔTlm than parallel flow for the same inlet and outlet temperatures.

Warmtevermogen aan de waterkant

Q̇ = 1,5·4,18·(80 − 10) = 438,9 kW

Temperatuurverschillen aan de uiteinden

ΔT₁ = 130 − 10 = 120 K
ΔT₂ = 130 − 80 = 50 K

Logaritmisch gemiddeld temperatuurverschil

ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂) = (120 − 50)/ln(120/50) = 79,96 K

Oppervlak

A = Q̇/(U·ΔTlm) = 438900/(2000·79,96) = 2,745 m²

Antwoord

A = 2,745 m²
4.Warmtewisselaars (LMTD)

Antwoord: Tc,out = 86,99 °C

LMTD method: the temperature difference between the streams changes along the exchanger, so the rate equation uses its logarithmic mean: Q̇ = U·A·ΔTlm, with ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), where ΔT₁ and ΔT₂ are the differences at the two ends. Counter-flow gives a larger ΔTlm than parallel flow for the same inlet and outlet temperatures.

Combineer de energiebalans en de warmteoverdrachtsvergelijking

Met ΔT₁ = Ts − Tc,in en ΔT₂ = Ts − Tc,out is het verschil ΔT₁ − ΔT₂ gelijk aan de temperatuurstijging van het water, dus de stijging valt weg.

ṁcp(ΔT₁ − ΔT₂) = U·A·(ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂)
ln(ΔT₁/ΔT₂) = U·A/(ṁcp) = 3000·2,5/(2·4180) = 0,8971

Uittredetemperatuur

ΔT₂ = ΔT₁·e−0,8971 = 130·0,4077 = 53,01 K
Tc,out = 140 − 53,01 = 86,99 °C

Antwoord

Tc,out = 86,99 °C

Overgedragen warmte: Q̇ = 643,7 kW.

ExamProblems · examproblems.com/courses/heat-transfer