Kies in het printvenster “Opslaan als pdf” om een kopie op je apparaat te bewaren.
1Formules en methoden
Tijdswaarde van geld
Eindwaarde
FV = PV·(1 + i)n
Contante waarde
PV = FV/(1 + i)n
Meerdere perioden per jaar
i = r/m, N = m·n
Annuïteit, contante waarde
PV = PMT·[1 − (1 + i)−n]/i
Annuïteit, eindwaarde
FV = PMT·[(1 + i)n − 1]/i
Methode
Teken een tijdlijn met elke kasstroom en het moment waarop die valt.
Laat de rente aansluiten bij de periode: een maandrente voor maandelijkse betalingen.
Gebruik FV = PV·(1 + i)ⁿ voor losse bedragen en de annuïteitenformules voor gelijke betalingen.
Controleer het teken en de orde van grootte van het antwoord.
Obligatiekoers en rendement
Obligatiekoers
P = C·(1 − (1 + y)−n)/y + F/(1 + y)n
Halfjaarlijks
C/2, y/2 en 2n perioden
Lopend rendement
C/P
Koers en rendement
rendement omhoog → koers omlaag
Methode
Bepaal de coupon per periode en het rendement per periode.
Prijs = contante waarde van de coupons (een annuïteit) + contante waarde van de nominale waarde.
Gebruik bij halfjaarlijkse coupons de halve coupon, het halve rendement en twee keer zoveel perioden.
Controle: als het rendement boven de couponrente ligt, ligt de prijs onder de nominale waarde.
CAPM en WACC
CAPM
re = rf + β·(rm − rf)
WACC
E/V·re + D/V·rd·(1 − T)
Ondernemingswaarde
V = E + D
NCW & IRR
Netto contante waarde
NPV = −C0 + Σ CFt/(1 + r)t
Gelijke kasstromen
NPV = −C0 + CF·[1 − (1 + r)−n]/r
Interne rentevoet
de r waarbij NPV = 0
Beslissing
accepteren als NPV > 0 (of IRR > vereist rendement)
Methode
Zet alle kasstromen met hun jaar op een rij; de investering in jaar 0 is negatief.
Disconteer elke kasstroom: CFt/(1 + r)t.
Tel ze op om de NCW te krijgen. Positief betekent dat het project meer oplevert dan r.
Zoek voor de IRR de rente waarbij de NCW nul wordt, door proberen of interpoleren.
2Oefenopgaven
1.Tijdswaarde van geldGemiddeld
Je hebt over 2 jaar €5 000 nodig. Een rekening geeft 3,6 % per jaar, per kwartaal samengesteld. Hoeveel moet je vandaag storten? Bereken de contante waarde PV.
FV = €5 0003,6% / 4n = 2
PV = €
2.Tijdswaarde van geldMoeilijk
Een lening van €150 000 wordt in 30 jaar afgelost met gelijke maandtermijnen. De rente is 5,4 % per jaar, maandelijks samengesteld. Bereken de maandtermijn A.
P = €150 0005,4% / 12N = 360
A = €
3.Obligatiekoers en rendementGemiddeld
Een obligatie met een nominale waarde van €1 000 betaalt een jaarlijkse coupon van 8% en loopt over 4 jaar af. Het effectieve rendement verandert van 5,5% naar 3,5%. Hoeveel ΔP verandert de koers van de obligatie?
F = €1 000coupon = 8%n = 4y1 = 5,5%y2 = 3,5%
ΔP = €
4.Obligatiekoers en rendementMoeilijk
Een obligatie met een resterende looptijd van 19 jaar (nominale waarde €1 000, jaarlijkse coupon 7%) wordt verkocht voor €1 242. De uitgever kan haar over 6 jaar vervroegd aflossen tegen een aflossingsprijs van €1 070. Bereken het rendement tot vervroegde aflossing (yield to call) YTC in procenten.
F = €1 000coupon = 7%P = €1 242aflossingsprijs = €1 070vervroegd aflosbaar over 6 jaar
YTC = %
5.CAPM en WACCGemiddeld
Een onderneming heeft eigen vermogen ter waarde van €6 000 000 en vreemd vermogen ter waarde van €1 000 000. De kosten van het eigen vermogen zijn 8%, de kosten van het vreemd vermogen vóór belasting zijn 4% en het belastingtarief is 30%. Bereken de WACC.
E = €6 000 000D = €1 000 000re = 8%rd = 4%T = 30%
WACC = %
6.CAPM en WACCMoeilijk
Een onderneming heeft 2 500 000 aandelen van €46,00 per stuk en 5 000 obligaties met een koers van €1 000 per stuk. De kosten van het vreemd vermogen vóór belasting zijn 5% en het belastingtarief is 30%. De bèta van het aandeel is 0,9, de risicovrije rente 2% en het marktrendement 9%. Bereken de WACC.
β = 0,9rf = 2%rm = 9%rd = 5%T = 30%
WACC = %
7.NCW & IRRGemiddeld
Een project kost vandaag €200 000. Het levert aan het eind van het eerste jaar €24 000 op, en de kasstroom groeit daarna voor altijd met 2 % per jaar. De vermogenskosten zijn 12 %. Bereken de netto contante waarde NPV.
C0 = €200 000CF1 = €24 000g = 2%r = 12%
NPV = €
8.NCW & IRRMoeilijk
Een project kost €10 000 en levert aan het eind van jaar 1 tot en met 2 €4 500, €7 500 op. Bereken de interne rentabiliteit IRR in procenten.
CF0 = −10 000CF1 = 4 500CF2 = 7 500
IRR = %
3Oplossingen
1.Tijdswaarde van geld
Antwoord: PV = 4654 €
Tijdswaarde van geld: geld vandaag is meer waard dan hetzelfde bedrag later, omdat het rente kan opbrengen. Bij een rente i per periode groeit een bedrag tot FV = PV·(1 + i)n. Een reeks gelijke betalingen (een annuïteit) waardeer je door alle betalingen op te tellen; daaruit volgen de annuïteitenformules.
Rente en aantal perioden
i = 0,036000000000000004/4 = 0,009
N = 4·2 = 8
Contante waarde
PV = FV/(1 + i)N = 5 000/1,074 = €4 654,15
Antwoord
PV = €4 654,15
2.Tijdswaarde van geld
Antwoord: A = 842,3 €
Tijdswaarde van geld: geld vandaag is meer waard dan hetzelfde bedrag later, omdat het rente kan opbrengen. Bij een rente i per periode groeit een bedrag tot FV = PV·(1 + i)n. Een reeks gelijke betalingen (een annuïteit) waardeer je door alle betalingen op te tellen; daaruit volgen de annuïteitenformules.
Maandrente en aantal termijnen
i = 0,054000000000000006/12 = 0,0045
N = 12·30 = 360
Termijn
De contante waarde van N gelijke betalingen A is A·(1 − (1 + i)⁻ᴺ)/i. Stel die gelijk aan de lening en los A op.
(1 + i)−N = 0,1986
A = 150 000·0,0045/(1 − 0,1986) = €842,30
Antwoord
A = €842,30
3.Obligatiekoers en rendement
Antwoord: ΔP = 77,66 €
Obligatiewaardering: de koers van een obligatie is de contante waarde van haar kasstromen, verdisconteerd tegen het effectieve rendement (yield to maturity, YTM): de coupons vormen een annuïteit en de nominale waarde wordt op de aflossingsdatum terugbetaald. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Als het rendement boven de couponrente ligt, noteert de obligatie onder de nominale waarde, en omgekeerd.
Obligatiewaardering: de koers van een obligatie is de contante waarde van haar kasstromen, verdisconteerd tegen het effectieve rendement (yield to maturity, YTM): de coupons vormen een annuïteit en de nominale waarde wordt op de aflossingsdatum terugbetaald. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Als het rendement boven de couponrente ligt, noteert de obligatie onder de nominale waarde, en omgekeerd.
Vergelijking voor het rendement
1242 = 70·(1 − (1 + y)−6)/y + 1070/(1 + y)6
Los numeriek op
y = 3%: €1 275,31
y = 4%: €1 212,59
YTC = 3,523%
Antwoord
YTC = 3,523%
Het effectieve rendement tot de einddatum is 4,998%. Beleggers in een obligatie boven pari verwachten dat ze vervroegd wordt afgelost, dus de lagere yield to call is de realistischere.
5.CAPM en WACC
Antwoord: WACC = 7,257 %
Vermogenskosten: CAPM geeft het rendement dat aandeelhouders eisen: re = rf + β·(rm − rf). De gewogen gemiddelde vermogenskosten combineren eigen en vreemd vermogen naar hun marktwaarden: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), met V = E + D. Rente is fiscaal aftrekbaar, vandaar de (1 − T).
Gewichten
V = €7 000 000, E/V = 0,8571, D/V = 0,1429
WACC
WACC = 0,8571·8% + 0,1429·4%·(1 − 0,3) = 7,257%
Antwoord
WACC = 7,257%
6.CAPM en WACC
Antwoord: WACC = 8,1 %
Vermogenskosten: CAPM geeft het rendement dat aandeelhouders eisen: re = rf + β·(rm − rf). De gewogen gemiddelde vermogenskosten combineren eigen en vreemd vermogen naar hun marktwaarden: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), met V = E + D. Rente is fiscaal aftrekbaar, vandaar de (1 − T).
Marktwaarden
E = 2 500 000·€46,00 = €115 000 000
D = 5 000·€1 000 = €5 000 000
Kosten eigen vermogen (CAPM)
re = 2% + 0,9·7% = 8,3%
Gewichten
V = €120 000 000, E/V = 0,9583, D/V = 0,04167
WACC
WACC = 0,9583·8,3% + 0,04167·5%·(1 − 0,3) = 8,1%
Antwoord
WACC = 8,1%
7.NCW & IRR
Antwoord: NPV = 40000 €
Netto contante waarde: zet elke kasstroom met het vereiste rendement r terug naar vandaag en tel ze op: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Een project met NPV > 0 verdient meer dan r en voegt waarde toe. De interne rentabiliteit (IRR) is de rente waarbij NPV = 0.
Waarde van de kasstromen
PV = 24 000/(0,12 − 0,02) = 240 000,00
NPV
NPV = 240 000,00 − 200 000 = €40 000,00
Antwoord
NPV = €40 000,00
De NCW is positief, dus het project verdient meer dan het vereiste rendement.
8.NCW & IRR
Antwoord: IRR = 11,98 %
Netto contante waarde: zet elke kasstroom met het vereiste rendement r terug naar vandaag en tel ze op: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Een project met NPV > 0 verdient meer dan r en voegt waarde toe. De interne rentabiliteit (IRR) is de rente waarbij NPV = 0.
De IRR insluiten
De NCW daalt als de rente stijgt, dus de IRR ligt tussen een rente met positieve en een met negatieve NCW.
NPV(10%) = 289,26
NPV(15%) = −415,88
Verfijnen
Lineair interpoleren geeft een eerste schatting; dat herhalen (of de IRR-functie van een rekenmachine) geeft de exacte rente.