Kies in het printvenster “Opslaan als pdf” om een kopie op je apparaat te bewaren.
1Formules en methoden
Tijdswaarde van geld
Eindwaarde
FV = PV·(1 + i)n
Contante waarde
PV = FV/(1 + i)n
Meerdere perioden per jaar
i = r/m, N = m·n
Annuïteit, contante waarde
PV = PMT·[1 − (1 + i)−n]/i
Annuïteit, eindwaarde
FV = PMT·[(1 + i)n − 1]/i
Methode
Teken een tijdlijn met elke kasstroom en het moment waarop die valt.
Laat de rente aansluiten bij de periode: een maandrente voor maandelijkse betalingen.
Gebruik FV = PV·(1 + i)ⁿ voor losse bedragen en de annuïteitenformules voor gelijke betalingen.
Controleer het teken en de orde van grootte van het antwoord.
Obligatiekoers en rendement
Obligatiekoers
P = C·(1 − (1 + y)−n)/y + F/(1 + y)n
Halfjaarlijks
C/2, y/2 en 2n perioden
Lopend rendement
C/P
Koers en rendement
rendement omhoog → koers omlaag
Methode
Bepaal de coupon per periode en het rendement per periode.
Prijs = contante waarde van de coupons (een annuïteit) + contante waarde van de nominale waarde.
Gebruik bij halfjaarlijkse coupons de halve coupon, het halve rendement en twee keer zoveel perioden.
Controle: als het rendement boven de couponrente ligt, ligt de prijs onder de nominale waarde.
CAPM en WACC
CAPM
re = rf + β·(rm − rf)
WACC
E/V·re + D/V·rd·(1 − T)
Ondernemingswaarde
V = E + D
NCW & IRR
Netto contante waarde
NPV = −C0 + Σ CFt/(1 + r)t
Gelijke kasstromen
NPV = −C0 + CF·[1 − (1 + r)−n]/r
Interne rentevoet
de r waarbij NPV = 0
Beslissing
accepteren als NPV > 0 (of IRR > vereist rendement)
Methode
Zet alle kasstromen met hun jaar op een rij; de investering in jaar 0 is negatief.
Disconteer elke kasstroom: CFt/(1 + r)t.
Tel ze op om de NCW te krijgen. Positief betekent dat het project meer oplevert dan r.
Zoek voor de IRR de rente waarbij de NCW nul wordt, door proberen of interpoleren.
2Oefenopgaven
1.Tijdswaarde van geldGemiddeld
Je belegt €20 000 tegen een nominale rente van 4 % per jaar, per kwartaal samengesteld. Bereken de waarde FV van de belegging na 7 jaar.
PV = €20 0004% / 4n = 7
FV = €
2.Tijdswaarde van geldMoeilijk
Je spaart 8 jaar lang aan het eind van elke maand €150. De rekening geeft 3 % per jaar, maandelijks samengesteld. Hoeveel heb je aan het eind gespaard? Bereken FV.
A = €1503% / 12N = 96
FV = €
3.Obligatiekoers en rendementGemiddeld
Een obligatie met een nominale waarde van €1 000 loopt over 5 jaar af en betaalt jaarlijkse coupons. Ze wordt verkocht voor €1 087 als het effectieve rendement 5% is. Bereken het couponpercentage c in procenten.
F = €1 000n = 5P = €1 087YTM = 5%
c = %
4.Obligatiekoers en rendementMoeilijk
Een obligatie met een resterende looptijd van 11 jaar (nominale waarde €1 000, jaarlijkse coupon 7%) wordt verkocht voor €1 121. De uitgever kan haar over 5 jaar vervroegd aflossen tegen een aflossingsprijs van €1 070. Bereken het rendement tot vervroegde aflossing (yield to call) YTC in procenten.
F = €1 000coupon = 7%P = €1 121aflossingsprijs = €1 070vervroegd aflosbaar over 5 jaar
YTC = %
5.CAPM en WACCGemiddeld
Een onderneming heeft eigen vermogen ter waarde van €3 000 000 en vreemd vermogen ter waarde van €4 000 000. De kosten van het eigen vermogen zijn 14%, de kosten van het vreemd vermogen vóór belasting zijn 6% en het belastingtarief is 21%. Bereken de WACC.
De aandelen van een onderneming hebben een bèta van 1,2 bij de huidige verhouding vreemd/eigen vermogen van 0,2. Ze wil die verhouding verhogen tot 1,25. Het belastingtarief is 28%, de risicovrije rente 3% en de marktrisicopremie 4,5%. Bereken de kosten van het eigen vermogen re na de wijziging.
Een project kost vandaag €100 000. Het levert aan het eind van het eerste jaar €6 000 op, en de kasstroom groeit daarna voor altijd met 4 % per jaar. De vermogenskosten zijn 11 %. Bereken de netto contante waarde NPV.
C0 = €100 000CF1 = €6 000g = 4%r = 11%
NPV = €
8.NCW & IRRMoeilijk
Een investering van €20 000 levert 3 jaar lang aan het eind van elk jaar €7 500 op. Bereken de interne rentabiliteit IRR in procenten.
C0 = €20 000CF = €7 500n = 3
IRR = %
3Oplossingen
1.Tijdswaarde van geld
Antwoord: FV = 26426 €
Tijdswaarde van geld: geld vandaag is meer waard dan hetzelfde bedrag later, omdat het rente kan opbrengen. Bij een rente i per periode groeit een bedrag tot FV = PV·(1 + i)n. Een reeks gelijke betalingen (een annuïteit) waardeer je door alle betalingen op te tellen; daaruit volgen de annuïteitenformules.
Tijdswaarde van geld: geld vandaag is meer waard dan hetzelfde bedrag later, omdat het rente kan opbrengen. Bij een rente i per periode groeit een bedrag tot FV = PV·(1 + i)n. Een reeks gelijke betalingen (een annuïteit) waardeer je door alle betalingen op te tellen; daaruit volgen de annuïteitenformules.
Obligatiewaardering: de koers van een obligatie is de contante waarde van haar kasstromen, verdisconteerd tegen het effectieve rendement (yield to maturity, YTM): de coupons vormen een annuïteit en de nominale waarde wordt op de aflossingsdatum terugbetaald. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Als het rendement boven de couponrente ligt, noteert de obligatie onder de nominale waarde, en omgekeerd.
Contante waarde van de nominale waarde
1000·(1 + 0,05)−5 = €783,53
Coupon
C = (1087 − 783,53)/4,329 = €70,09
Couponrente
c = 70,09/1000 = 7,009%
Antwoord
c = 7,009%
4.Obligatiekoers en rendement
Antwoord: YTC = 5,428 %
Obligatiewaardering: de koers van een obligatie is de contante waarde van haar kasstromen, verdisconteerd tegen het effectieve rendement (yield to maturity, YTM): de coupons vormen een annuïteit en de nominale waarde wordt op de aflossingsdatum terugbetaald. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Als het rendement boven de couponrente ligt, noteert de obligatie onder de nominale waarde, en omgekeerd.
Vergelijking voor het rendement
1121 = 70·(1 − (1 + y)−5)/y + 1070/(1 + y)5
Los numeriek op
y = 5%: €1 141,44
y = 6%: €1 094,43
YTC = 5,428%
Antwoord
YTC = 5,428%
Het effectieve rendement tot de einddatum is 5,504%. Beleggers in een obligatie boven pari verwachten dat ze vervroegd wordt afgelost, dus de lagere yield to call is de realistischere.
5.CAPM en WACC
Antwoord: WACC = 8,709 %
Vermogenskosten: CAPM geeft het rendement dat aandeelhouders eisen: re = rf + β·(rm − rf). De gewogen gemiddelde vermogenskosten combineren eigen en vreemd vermogen naar hun marktwaarden: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), met V = E + D. Rente is fiscaal aftrekbaar, vandaar de (1 − T).
Gewichten
V = €7 000 000, E/V = 0,4286, D/V = 0,5714
WACC
WACC = 0,4286·14% + 0,5714·6%·(1 − 0,21) = 8,709%
Antwoord
WACC = 8,709%
6.CAPM en WACC
Antwoord: re = 11,97 %
Bèta met hefboom (Hamada): vreemd vermogen maakt het eigen vermogen riskanter. βL = βU·(1 + (1 − T)·D/E), waarbij βU de bèta van de onderneming zonder schuld is. Om een bèta naar een andere vermogensstructuur om te zetten, haal je eerst de hefboom eruit (unlever) en reken je hem daarna opnieuw in bij de nieuwe D/E (relever).
Haal de hefboom uit de bèta
βU = 1,2/(1 + 0,72·0,2) = 1,049
Reken de hefboom in bij de nieuwe D/E
βL = 1,049·(1 + 0,72·1,25) = 1,993
Kosten eigen vermogen (CAPM)
re = 3% + 1,993·4,5% = 11,97%
Antwoord
re = 11,97%
7.NCW & IRR
Antwoord: NPV = −14286 €
Netto contante waarde: zet elke kasstroom met het vereiste rendement r terug naar vandaag en tel ze op: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Een project met NPV > 0 verdient meer dan r en voegt waarde toe. De interne rentabiliteit (IRR) is de rente waarbij NPV = 0.
Waarde van de kasstromen
PV = 6 000/(0,11 − 0,04) = 85 714,29
NPV
NPV = 85 714,29 − 100 000 = −€14 285,71
Antwoord
NPV = −€14 285,71
De NCW is negatief, dus het project verdient minder dan het vereiste rendement.
8.NCW & IRR
Antwoord: IRR = 6,129 %
Netto contante waarde: zet elke kasstroom met het vereiste rendement r terug naar vandaag en tel ze op: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Een project met NPV > 0 verdient meer dan r en voegt waarde toe. De interne rentabiliteit (IRR) is de rente waarbij NPV = 0.
Benodigde annuïteitsfactor
(1 − (1 + i)−3)/i = 20 000/7 500 = 2,667
Los de rente op
De annuïteitsfactor daalt als de rente stijgt; sluit de rente in tussen twee waarden en verklein het interval.