Beleggingen en waardering: samenvattingspakket

Formuleoverzichten, de belangrijkste methodestappen voor elk onderwerp en 8 oefenopgaven, met volledige oplossingen achterin.

Nieuwe opgaven Terug naar het vak

Kies in het printvenster “Opslaan als pdf” om een kopie op je apparaat te bewaren.

1Formules en methoden

Tijdswaarde van geld

Eindwaarde: FV = PV·(1 + i)ⁿ
Contante waarde: PV = FV/(1 + i)ⁿ
Meerdere perioden per jaar: i = r/m, N = m·n
Annuïteit, contante waarde: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
Annuïteit, eindwaarde: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

Methode

Teken een tijdlijn met elke kasstroom en het moment waarop die valt.
Laat de rente aansluiten bij de periode: een maandrente voor maandelijkse betalingen.
Gebruik FV = PV·(1 + i)ⁿ voor losse bedragen en de annuïteitenformules voor gelijke betalingen.
Controleer het teken en de orde van grootte van het antwoord.

Obligatiekoers en rendement

Obligatiekoers: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
Halfjaarlijks: C/2, y/2 en 2n perioden
Lopend rendement: C/P
Koers en rendement: rendement omhoog → koers omlaag

Methode

Bepaal de coupon per periode en het rendement per periode.
Prijs = contante waarde van de coupons (een annuïteit) + contante waarde van de nominale waarde.
Gebruik bij halfjaarlijkse coupons de halve coupon, het halve rendement en twee keer zoveel perioden.
Controle: als het rendement boven de couponrente ligt, ligt de prijs onder de nominale waarde.

CAPM en WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
Ondernemingswaarde: V = E + D

NCW & IRR

Netto contante waarde: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
Gelijke kasstromen: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
Interne rentevoet: de r waarbij NPV = 0
Beslissing: accepteren als NPV > 0 (of IRR > vereist rendement)

Methode

Zet alle kasstromen met hun jaar op een rij; de investering in jaar 0 is negatief.
Disconteer elke kasstroom: CF_t/(1 + r)^t.
Tel ze op om de NCW te krijgen. Positief betekent dat het project meer oplevert dan r.
Zoek voor de IRR de rente waarbij de NCW nul wordt, door proberen of interpoleren.

2Oefenopgaven

1.Tijdswaarde van geldGemiddeld

Je hebt over 5 jaar €25 000 nodig. Een rekening geeft 3,6 % per jaar, per kwartaal samengesteld. Hoeveel moet je vandaag storten? Bereken de contante waarde PV.

FV = €25 0003,6% / 4n = 5

PV = €

2.Tijdswaarde van geldMoeilijk

Een lening van €15 000 wordt in 3 jaar afgelost met gelijke maandtermijnen. De rente is 3 % per jaar, maandelijks samengesteld. Bereken de maandtermijn A.

P = €15 0003% / 12N = 36

A = €

3.Obligatiekoers en rendementGemiddeld

Een obligatie met een nominale waarde van €1 000 loopt over 11 jaar af en betaalt jaarlijkse coupons. Ze wordt verkocht voor €524 als het effectieve rendement 9% is. Bereken het couponpercentage c in procenten.

F = €1 000n = 11P = €524YTM = 9%

c = %

4.Obligatiekoers en rendementMoeilijk

Een obligatie noteert op €1 050 met een effectief rendement van 5% (jaarlijks samengesteld) en een Macaulay-duration van 11 jaar. Schat met de gemodificeerde duration de nieuwe koers P als het rendement met 150 basispunten stijgt.

P₀ = €1 050y = 5%D = 11Δy = +150 bp

P = €

5.CAPM en WACCGemiddeld

Een onderneming heeft een verhouding vreemd/eigen vermogen (tegen marktwaarde) van 0,4. De kosten van het eigen vermogen zijn 9%, de kosten van het vreemd vermogen vóór belasting 4% en het belastingtarief is 21%. Bereken de WACC.

D/E = 0,4r_e = 9%r_d = 4%T = 21%

WACC = %

6.CAPM en WACCMoeilijk

Een onderneming heeft 4 000 000 aandelen van €46,00 per stuk en 40 000 obligaties met een koers van €980 per stuk. De kosten van het vreemd vermogen vóór belasting zijn 3% en het belastingtarief is 25,8%. De bèta van het aandeel is 0,6, de risicovrije rente 4% en het marktrendement 9%. Bereken de WACC.

β = 0,6r_f = 4%r_m = 9%r_d = 3%T = 25,8%

WACC = %

7.NCW & IRRGemiddeld

Een machine kost vandaag €60 000, gaat 9 jaar mee en kost €1 000 per jaar aan bedrijfskosten (betaald aan het eind van elk jaar). De vermogenskosten zijn 12 %. Bereken de equivalente jaarlijkse kosten EAC.

C₀ = €60 000M = €1 000n = 9r = 12%

EAC = €

8.NCW & IRRMoeilijk

Een project kost €20 000 en levert aan het eind van jaar 1 tot en met 2 €11 500, €13 500 op. Bereken de interne rentabiliteit IRR in procenten.

CF₀ = −20 000CF₁ = 11 500CF₂ = 13 500

IRR = %

3Oplossingen

1.Tijdswaarde van geld

Antwoord: PV = 20899 €

Tijdswaarde van geld: geld vandaag is meer waard dan hetzelfde bedrag later, omdat het rente kan opbrengen. Bij een rente i per periode groeit een bedrag tot FV = PV·(1 + i)ⁿ. Een reeks gelijke betalingen (een annuïteit) waardeer je door alle betalingen op te tellen; daaruit volgen de annuïteitenformules.

Rente en aantal perioden

i = 0,036000000000000004/4 = 0,009

N = 4·5 = 20

Contante waarde

PV = FV/(1 + i)^N = 25 000/1,196 = €20 898,58

Antwoord

PV = €20 898,58

2.Tijdswaarde van geld

Antwoord: A = 436,2 €

Maandrente en aantal termijnen

i = 0,03/12 = 0,0025

N = 12·3 = 36

Termijn

De contante waarde van N gelijke betalingen A is A·(1 − (1 + i)⁻ᴺ)/i. Stel die gelijk aan de lening en los A op.

(1 + i)^−N = 0,914

A = 15 000·0,0025/(1 − 0,914) = €436,22

Antwoord

A = €436,22

3.Obligatiekoers en rendement

Antwoord: c = 2,005 %

Obligatiewaardering: de koers van een obligatie is de contante waarde van haar kasstromen, verdisconteerd tegen het effectieve rendement (yield to maturity, YTM): de coupons vormen een annuïteit en de nominale waarde wordt op de aflossingsdatum terugbetaald. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Als het rendement boven de couponrente ligt, noteert de obligatie onder de nominale waarde, en omgekeerd.

Contante waarde van de nominale waarde

1000·(1 + 0,09)⁻¹¹ = €387,53

Coupon

C = (524 − 387,53)/6,805 = €20,05

Couponrente

c = 20,05/1000 = 2,005%

Antwoord

c = 2,005%

4.Obligatiekoers en rendement

Antwoord: P = 885 €

Duration: de Macaulay-duration is het gewogen gemiddelde tijdstip waarop een obligatie haar kasstromen uitbetaalt, met de contante waarden van de kasstromen als gewichten: D = Σ t·PVₜ/P. De gemodificeerde duration D/(1 + y) schat de procentuele koersverandering bij een kleine verandering van het rendement: %ΔP ≈ −D_mod·Δy.

Gemodificeerde duration

D_mod = 11/1,05 = 10,48

Geschatte koersverandering

%ΔP ≈ −10,48·(0,015) = −15,71%

P ≈ 1050·(1 − 0,1571) = €885,00

Antwoord

P = €885,00

Duration is een lineaire schatting; bij grote rendementsveranderingen maakt de convexiteit de werkelijke koers iets hoger.

5.CAPM en WACC

Antwoord: WACC = 7,331 %

Vermogenskosten: CAPM geeft het rendement dat aandeelhouders eisen: r_e = r_f + β·(r_m − r_f). De gewogen gemiddelde vermogenskosten combineren eigen en vreemd vermogen naar hun marktwaarden: WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T), met V = E + D. Rente is fiscaal aftrekbaar, vandaar de (1 − T).

Gewichten uit D/E

E/V = 1/(1 + 0,4) = 0,7143

D/V = 0,4/(1 + 0,4) = 0,2857

WACC

WACC = 0,7143·9% + 0,2857·4%·(1 − 0,21) = 7,331%

Antwoord

WACC = 7,331%

6.CAPM en WACC

Antwoord: WACC = 6,162 %

Marktwaarden

E = 4 000 000·€46,00 = €184 000 000

D = 40 000·€980 = €39 200 000

Kosten eigen vermogen (CAPM)

r_e = 4% + 0,6·5% = 7%

Gewichten

V = €223 200 000, E/V = 0,8244, D/V = 0,1756

WACC

WACC = 0,8244·7% + 0,1756·3%·(1 − 0,258) = 6,162%

Antwoord

WACC = 6,162%

7.NCW & IRR

Antwoord: EAC = 12261 €

Equivalente jaarlijkse kosten: spreid de contante waarde van alle kosten over de levensduur als een gelijk jaarlijks bedrag (een annuïteit): EAC = PV·r/(1 − (1 + r)⁻ⁿ). Zo kun je machines met verschillende levensduren vergelijken.

Annuïteitsfactor

(1 − 1,12⁻⁹)/0,12 = 5,328

Aanschafprijs omgerekend per jaar

60 000/5,328 = 11 260,73

EAC

EAC = 11 260,73 + 1 000 = €12 260,73

Antwoord

EAC = €12 260,73

8.NCW & IRR

Antwoord: IRR = 15,79 %

Netto contante waarde: zet elke kasstroom met het vereiste rendement r terug naar vandaag en tel ze op: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Een project met NPV > 0 verdient meer dan r en voegt waarde toe. De interne rentabiliteit (IRR) is de rente waarbij NPV = 0.

De IRR insluiten

De NCW daalt als de rente stijgt, dus de IRR ligt tussen een rente met positieve en een met negatieve NCW.

NPV(15%) = 207,94

NPV(20%) = −1 041,67

Verfijnen

Lineair interpoleren geeft een eerste schatting; dat herhalen (of de IRR-functie van een rekenmachine) geeft de exacte rente.

IRR ≈ 15 + 5·207,94/(207,94 − (−1 041,67)) = 15,83%

exact: NPV(15,79%) = 0 → IRR = 15,79%

Antwoord

IRR = 15,79%

ExamProblems · examproblems.com/courses/investments-and-valuation