Kies in het printvenster “Opslaan als pdf” om een kopie op je apparaat te bewaren.
1Formules en methoden
Tijdswaarde van geld
Eindwaarde
FV = PV·(1 + i)n
Contante waarde
PV = FV/(1 + i)n
Meerdere perioden per jaar
i = r/m, N = m·n
Annuïteit, contante waarde
PV = PMT·[1 − (1 + i)−n]/i
Annuïteit, eindwaarde
FV = PMT·[(1 + i)n − 1]/i
Methode
Teken een tijdlijn met elke kasstroom en het moment waarop die valt.
Laat de rente aansluiten bij de periode: een maandrente voor maandelijkse betalingen.
Gebruik FV = PV·(1 + i)ⁿ voor losse bedragen en de annuïteitenformules voor gelijke betalingen.
Controleer het teken en de orde van grootte van het antwoord.
Obligatiekoers en rendement
Obligatiekoers
P = C·(1 − (1 + y)−n)/y + F/(1 + y)n
Halfjaarlijks
C/2, y/2 en 2n perioden
Lopend rendement
C/P
Koers en rendement
rendement omhoog → koers omlaag
Methode
Bepaal de coupon per periode en het rendement per periode.
Prijs = contante waarde van de coupons (een annuïteit) + contante waarde van de nominale waarde.
Gebruik bij halfjaarlijkse coupons de halve coupon, het halve rendement en twee keer zoveel perioden.
Controle: als het rendement boven de couponrente ligt, ligt de prijs onder de nominale waarde.
CAPM en WACC
CAPM
re = rf + β·(rm − rf)
WACC
E/V·re + D/V·rd·(1 − T)
Ondernemingswaarde
V = E + D
NCW & IRR
Netto contante waarde
NPV = −C0 + Σ CFt/(1 + r)t
Gelijke kasstromen
NPV = −C0 + CF·[1 − (1 + r)−n]/r
Interne rentevoet
de r waarbij NPV = 0
Beslissing
accepteren als NPV > 0 (of IRR > vereist rendement)
Methode
Zet alle kasstromen met hun jaar op een rij; de investering in jaar 0 is negatief.
Disconteer elke kasstroom: CFt/(1 + r)t.
Tel ze op om de NCW te krijgen. Positief betekent dat het project meer oplevert dan r.
Zoek voor de IRR de rente waarbij de NCW nul wordt, door proberen of interpoleren.
2Oefenopgaven
1.Tijdswaarde van geldGemiddeld
Je belegt €5 000 tegen 5 % per jaar met continue samengestelde rente. Bereken de waarde FV na 2 jaar.
PV = €5 000r = 5%t = 2
FV = €
2.Tijdswaarde van geldMoeilijk
Je stort 5 jaar lang aan het begin van elk jaar €3 000, de eerste storting vandaag. De rekening geeft 7 % per jaar. Hoeveel staat er aan het eind van jaar 5 op de rekening? Bereken FV.
A = €3 000i = 7%n = 5
FV = €
3.Obligatiekoers en rendementGemiddeld
Een obligatie met een nominale waarde van €1 000 betaalt een jaarlijkse coupon van 6% en loopt over 7 jaar af. Het effectieve rendement verandert van 8% naar 6%. Hoeveel ΔP verandert de koers van de obligatie?
F = €1 000coupon = 6%n = 7y1 = 8%y2 = 6%
ΔP = €
4.Obligatiekoers en rendementMoeilijk
Een obligatie noteert op €1 040 met een effectief rendement van 5% (jaarlijks samengesteld) en een Macaulay-duration van 3,6 jaar. Schat met de gemodificeerde duration de nieuwe koers P als het rendement met 150 basispunten daalt.
P0 = €1 040y = 5%D = 3,6Δy = −150 bp
P = €
5.CAPM en WACCGemiddeld
Een onderneming heeft eigen vermogen ter waarde van €2 000 000 en vreemd vermogen ter waarde van €2 000 000. De kosten van het eigen vermogen zijn 9%, de kosten van het vreemd vermogen vóór belasting zijn 4,5% en het belastingtarief is 20%. Bereken de WACC.
Een onderneming heeft eigen vermogen met een marktwaarde van €15 000 000 en kosten van het eigen vermogen van 11%. Het vreemd vermogen bestaat uit 4 000 obligaties (nominale waarde €1 000, jaarlijkse coupon 4%, resterende looptijd 7 jaar) die elk op €1 062 noteren. Het belastingtarief is 25%. Bereken de WACC, met het effectieve rendement van de obligaties als kosten van het vreemd vermogen vóór belasting.
Een investering van €30 000 levert aan het eind van jaar 1 tot en met 3 deze kasstromen op: €11 000, €7 000, €11 000. De vermogenskosten zijn 12 %. Bereken de netto contante waarde NPV.
Een project kost €20 000 en levert aan het eind van jaar 1 tot en met 3 €11 500, €13 000, €11 000 op. Bereken de interne rentabiliteit IRR in procenten.
CF0 = −20 000CF1 = 11 500CF2 = 13 000CF3 = 11 000
IRR = %
3Oplossingen
1.Tijdswaarde van geld
Antwoord: FV = 5526 €
Tijdswaarde van geld: geld vandaag is meer waard dan hetzelfde bedrag later, omdat het rente kan opbrengen. Bij een rente i per periode groeit een bedrag tot FV = PV·(1 + i)n. Een reeks gelijke betalingen (een annuïteit) waardeer je door alle betalingen op te tellen; daaruit volgen de annuïteitenformules.
Exponent
r·t = 0,05·2 = 0,1
e0,1 = 1,105
Eindwaarde
FV = 5 000·1,105 = €5 525,85
Antwoord
FV = €5 525,85
2.Tijdswaarde van geld
Antwoord: FV = 18460 €
Tijdswaarde van geld: geld vandaag is meer waard dan hetzelfde bedrag later, omdat het rente kan opbrengen. Bij een rente i per periode groeit een bedrag tot FV = PV·(1 + i)n. Een reeks gelijke betalingen (een annuïteit) waardeer je door alle betalingen op te tellen; daaruit volgen de annuïteitenformules.
Gewone annuïteitsfactor
((1 + 0,07)5 − 1)/0,07 = 5,751
Prenumerando annuïteit
Elke storting staat een jaar langer uit.
FV = 3 000·5,751·1,07 = €18 459,87
Antwoord
FV = €18 459,87
3.Obligatiekoers en rendement
Antwoord: ΔP = 104,1 €
Obligatiewaardering: de koers van een obligatie is de contante waarde van haar kasstromen, verdisconteerd tegen het effectieve rendement (yield to maturity, YTM): de coupons vormen een annuïteit en de nominale waarde wordt op de aflossingsdatum terugbetaald. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Als het rendement boven de couponrente ligt, noteert de obligatie onder de nominale waarde, en omgekeerd.
Duration: de Macaulay-duration is het gewogen gemiddelde tijdstip waarop een obligatie haar kasstromen uitbetaalt, met de contante waarden van de kasstromen als gewichten: D = Σ t·PVₜ/P. De gemodificeerde duration D/(1 + y) schat de procentuele koersverandering bij een kleine verandering van het rendement: %ΔP ≈ −Dmod·Δy.
Gemodificeerde duration
Dmod = 3,6/1,05 = 3,429
Geschatte koersverandering
%ΔP ≈ −3,429·(−0,015) = 5,143%
P ≈ 1040·(1 + 0,05143) = €1 093,49
Antwoord
P = €1 093,49
Duration is een lineaire schatting; bij grote rendementsveranderingen maakt de convexiteit de werkelijke koers iets hoger.
5.CAPM en WACC
Antwoord: WACC = 6,3 %
Vermogenskosten: CAPM geeft het rendement dat aandeelhouders eisen: re = rf + β·(rm − rf). De gewogen gemiddelde vermogenskosten combineren eigen en vreemd vermogen naar hun marktwaarden: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), met V = E + D. Rente is fiscaal aftrekbaar, vandaar de (1 − T).
Gewichten
V = €4 000 000, E/V = 0,5, D/V = 0,5
WACC
WACC = 0,5·9% + 0,5·4,5%·(1 − 0,2) = 6,3%
Antwoord
WACC = 6,3%
6.CAPM en WACC
Antwoord: WACC = 9,07 %
Vermogenskosten: CAPM geeft het rendement dat aandeelhouders eisen: re = rf + β·(rm − rf). De gewogen gemiddelde vermogenskosten combineren eigen en vreemd vermogen naar hun marktwaarden: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), met V = E + D. Rente is fiscaal aftrekbaar, vandaar de (1 − T).
Netto contante waarde: zet elke kasstroom met het vereiste rendement r terug naar vandaag en tel ze op: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Een project met NPV > 0 verdient meer dan r en voegt waarde toe. De interne rentabiliteit (IRR) is de rente waarbij NPV = 0.
Contante waarde van elke kasstroom
CF0 = −30 000
CF1/(1 + 0,12)1 = 11 000/1,12 = 9 821,43
CF2/(1 + 0,12)2 = 7 000/1,254 = 5 580,36
CF3/(1 + 0,12)3 = 11 000/1,405 = 7 829,58
Optellen
NPV = €−6 768,63
Antwoord
NPV = €−6 768,63
De NCW is negatief, dus het project verdient minder dan het vereiste rendement.
8.NCW & IRR
Antwoord: IRR = 35,46 %
Netto contante waarde: zet elke kasstroom met het vereiste rendement r terug naar vandaag en tel ze op: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Een project met NPV > 0 verdient meer dan r en voegt waarde toe. De interne rentabiliteit (IRR) is de rente waarbij NPV = 0.
De IRR insluiten
De NCW daalt als de rente stijgt, dus de IRR ligt tussen een rente met positieve en een met negatieve NCW.
NPV(35%) = 122,44
NPV(40%) = −1 144,31
Verfijnen
Lineair interpoleren geeft een eerste schatting; dat herhalen (of de IRR-functie van een rekenmachine) geeft de exacte rente.