Beleggingen en waardering: samenvattingspakket

Formuleoverzichten, de belangrijkste methodestappen voor elk onderwerp en 8 oefenopgaven, met volledige oplossingen achterin.

Nieuwe opgaven Terug naar het vak

Kies in het printvenster “Opslaan als pdf” om een kopie op je apparaat te bewaren.

1Formules en methoden

Tijdswaarde van geld

Eindwaarde: FV = PV·(1 + i)ⁿ
Contante waarde: PV = FV/(1 + i)ⁿ
Meerdere perioden per jaar: i = r/m, N = m·n
Annuïteit, contante waarde: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
Annuïteit, eindwaarde: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

Methode

Teken een tijdlijn met elke kasstroom en het moment waarop die valt.
Laat de rente aansluiten bij de periode: een maandrente voor maandelijkse betalingen.
Gebruik FV = PV·(1 + i)ⁿ voor losse bedragen en de annuïteitenformules voor gelijke betalingen.
Controleer het teken en de orde van grootte van het antwoord.

Obligatiekoers en rendement

Obligatiekoers: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
Halfjaarlijks: C/2, y/2 en 2n perioden
Lopend rendement: C/P
Koers en rendement: rendement omhoog → koers omlaag

Methode

Bepaal de coupon per periode en het rendement per periode.
Prijs = contante waarde van de coupons (een annuïteit) + contante waarde van de nominale waarde.
Gebruik bij halfjaarlijkse coupons de halve coupon, het halve rendement en twee keer zoveel perioden.
Controle: als het rendement boven de couponrente ligt, ligt de prijs onder de nominale waarde.

CAPM en WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
Ondernemingswaarde: V = E + D

NCW & IRR

Netto contante waarde: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
Gelijke kasstromen: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
Interne rentevoet: de r waarbij NPV = 0
Beslissing: accepteren als NPV > 0 (of IRR > vereist rendement)

Methode

Zet alle kasstromen met hun jaar op een rij; de investering in jaar 0 is negatief.
Disconteer elke kasstroom: CF_t/(1 + r)^t.
Tel ze op om de NCW te krijgen. Positief betekent dat het project meer oplevert dan r.
Zoek voor de IRR de rente waarbij de NCW nul wordt, door proberen of interpoleren.

2Oefenopgaven

1.Tijdswaarde van geldGemiddeld

Je belegt €5 000 tegen een nominale rente van 3,6 % per jaar, per kwartaal samengesteld. Bereken de waarde FV van de belegging na 2 jaar.

PV = €5 0003,6% / 4n = 2

FV = €

2.Tijdswaarde van geldMoeilijk

Een lening van €200 000 wordt in 30 jaar afgelost met gelijke maandbedragen tegen 6 % per jaar, maandelijks samengesteld. Hoeveel rente I wordt er in totaal over de looptijd van de lening betaald?

P = €200 0006% / 12N = 360

I = €

3.Obligatiekoers en rendementGemiddeld

Een obligatie met een nominale waarde van €1 000 betaalt een jaarlijkse coupon van 4,5% en loopt over 15 jaar af. Het effectieve rendement verandert van 8% naar 9%. Hoeveel ΔP verandert de koers van de obligatie?

F = €1 000coupon = 4,5%n = 15y₁ = 8%y₂ = 9%

ΔP = €

4.Obligatiekoers en rendementMoeilijk

Een obligatie noteert op €1 060 met een effectief rendement van 3% (jaarlijks samengesteld) en een Macaulay-duration van 9,5 jaar. Schat met de gemodificeerde duration de nieuwe koers P als het rendement met 100 basispunten daalt.

P₀ = €1 060y = 3%D = 9,5Δy = −100 bp

P = €

5.CAPM en WACCGemiddeld

Een onderneming heeft eigen vermogen ter waarde van €5 000 000 en vreemd vermogen ter waarde van €6 000 000. De kosten van het eigen vermogen zijn 8%, de kosten van het vreemd vermogen vóór belasting zijn 3% en het belastingtarief is 25%. Bereken de WACC.

E = €5 000 000D = €6 000 000r_e = 8%r_d = 3%T = 25%

WACC = %

6.CAPM en WACCMoeilijk

Een onderneming heeft eigen vermogen met een marktwaarde van €10 000 000 en kosten van het eigen vermogen van 9%. Het vreemd vermogen bestaat uit 8 000 obligaties (nominale waarde €1 000, jaarlijkse coupon 7%, resterende looptijd 9 jaar) die elk op €908 noteren. Het belastingtarief is 21%. Bereken de WACC, met het effectieve rendement van de obligaties als kosten van het vreemd vermogen vóór belasting.

E = €10 000 000r_e = 9%obligaties: 8 000 × €908coupon = 7%n = 9T = 21%

WACC = %

7.NCW & IRRGemiddeld

Een project kost vandaag €50 000 en levert 6 jaar lang aan het eind van elk jaar €15 000 op. De vermogenskosten zijn 12 %. Neem aan dat de kasstromen gelijkmatig over elk jaar binnenkomen. Bereken de verdisconteerde terugverdientijd DPB in jaren.

r = 12%CF₀ = −50 000CF₁ = 15 000CF₂ = 15 000CF₃ = 15 000CF₄ = 15 000CF₅ = 15 000CF₆ = 15 000

DPB = jaar

8.NCW & IRRMoeilijk

Een project kost vandaag €50 000. De kasstroom is €8 000 aan het eind van jaar 1 en groeit met 4 % per jaar tot de laatste kasstroom aan het eind van jaar 7. De vermogenskosten zijn 12 %. Bereken de netto contante waarde NPV.

C₀ = €50 000CF₁ = €8 000g = 4%n = 7r = 12%

NPV = €

3Oplossingen

1.Tijdswaarde van geld

Antwoord: FV = 5372 €

Tijdswaarde van geld: geld vandaag is meer waard dan hetzelfde bedrag later, omdat het rente kan opbrengen. Bij een rente i per periode groeit een bedrag tot FV = PV·(1 + i)ⁿ. Een reeks gelijke betalingen (een annuïteit) waardeer je door alle betalingen op te tellen; daaruit volgen de annuïteitenformules.

Rente en aantal perioden

i = r/m = 0,036000000000000004/4 = 0,009

N = m·n = 4·2 = 8

Eindwaarde

FV = 5 000·(1 + 0,009)⁸ = 5 000·1,074 = €5 371,55

Antwoord

FV = €5 371,55

2.Tijdswaarde van geld

Antwoord: I = 231676 €

Maandbedrag

i = 0,005, N = 360

A = 200 000·0,005/(1 − (1 + 0,005)⁻³⁶⁰) = €1 199,10

Totale rente

I = N·A − P = 360·1199 − 200 000 = €231 676,38

Antwoord

I = €231 676,38

3.Obligatiekoers en rendement

Antwoord: ΔP = −63,15 €

Obligatiewaardering: de koers van een obligatie is de contante waarde van haar kasstromen, verdisconteerd tegen het effectieve rendement (yield to maturity, YTM): de coupons vormen een annuïteit en de nominale waarde wordt op de aflossingsdatum terugbetaald. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Als het rendement boven de couponrente ligt, noteert de obligatie onder de nominale waarde, en omgekeerd.

Koers bij het oude rendement

C = €45,00, i = 0,08, N = 15

€45,00·(1 − 0,3152)/0,08 + €1 000·0,3152 = €385,18 + €315,24 = €700,42

Koers bij het nieuwe rendement

C = €45,00, i = 0,09, N = 15

€45,00·(1 − 0,2745)/0,09 + €1 000·0,2745 = €362,73 + €274,54 = €637,27

Verandering

ΔP = 637,27 − 700,42 = −€63,15

Antwoord

ΔP = −€63,15

4.Obligatiekoers en rendement

Antwoord: P = 1158 €

Duration: de Macaulay-duration is het gewogen gemiddelde tijdstip waarop een obligatie haar kasstromen uitbetaalt, met de contante waarden van de kasstromen als gewichten: D = Σ t·PVₜ/P. De gemodificeerde duration D/(1 + y) schat de procentuele koersverandering bij een kleine verandering van het rendement: %ΔP ≈ −D_mod·Δy.

Gemodificeerde duration

D_mod = 9,5/1,03 = 9,223

Geschatte koersverandering

%ΔP ≈ −9,223·(−0,01) = 9,223%

P ≈ 1060·(1 + 0,09223) = €1 157,77

Antwoord

P = €1 157,77

Duration is een lineaire schatting; bij grote rendementsveranderingen maakt de convexiteit de werkelijke koers iets hoger.

5.CAPM en WACC

Antwoord: WACC = 4,864 %

Vermogenskosten: CAPM geeft het rendement dat aandeelhouders eisen: r_e = r_f + β·(r_m − r_f). De gewogen gemiddelde vermogenskosten combineren eigen en vreemd vermogen naar hun marktwaarden: WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T), met V = E + D. Rente is fiscaal aftrekbaar, vandaar de (1 − T).

Gewichten

V = €11 000 000, E/V = 0,4545, D/V = 0,5455

WACC

WACC = 0,4545·8% + 0,5455·3%·(1 − 0,25) = 4,864%

Antwoord

WACC = 4,864%

6.CAPM en WACC

Antwoord: WACC = 8,04 %

Kosten van het vreemd vermogen (YTM)

908 = 70·(1 − (1 + y)⁻⁹)/y + 1000/(1 + y)⁹

y = 8,504%

Marktwaarden

D = 8 000·€908 = €7 264 000

V = €17 264 000, E/V = 0,5792, D/V = 0,4208

WACC

WACC = 0,5792·9% + 0,4208·8,504%·(1 − 0,21) = 8,04%

Antwoord

WACC = 8,04%

7.NCW & IRR

Antwoord: DPB = 4,522 jaar

Terugverdientijd: de tijd tot de cumulatieve kasstromen de initiële investering hebben terugbetaald. Aangenomen wordt dat het geld gelijkmatig over elk jaar binnenkomt, dus het laatste deel is een fractie van een jaar. De eenvoudige terugverdientijd negeert de tijdswaarde van geld; de verdisconteerde terugverdientijd gebruikt in plaats daarvan de contant gemaakte kasstromen.

Contant gemaakte en cumulatieve kasstromen

jaar 1: 15 000/1,12 = 13 392,86 → Σ = 13 392,86

jaar 2: 15 000/1,254 = 11 957,91 → Σ = 25 350,77

jaar 3: 15 000/1,405 = 10 676,70 → Σ = 36 027,47

jaar 4: 15 000/1,574 = 9 532,77 → Σ = 45 560,24

jaar 5: 15 000/1,762 = 8 511,40 → Σ = 54 071,64

Fractie van het laatste jaar

DPB = 4 + 4 439,76/8 511,40 = 4,522

Antwoord

DPB = 4,522 jaar

De verdisconteerde terugverdientijd is altijd langer dan de eenvoudige terugverdientijd (3,333 jaar).

8.NCW & IRR

Antwoord: NPV = −9526 €

Netto contante waarde: zet elke kasstroom met het vereiste rendement r terug naar vandaag en tel ze op: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Een project met NPV > 0 verdient meer dan r en voegt waarde toe. De interne rentabiliteit (IRR) is de rente waarbij NPV = 0.

Contante waarde van de groeiende annuïteit

((1,04)/(1,12))⁷ = 0,5953

PV = 8 000/(0,12 − 0,04)·(1 − 0,5953) = 40 473,93

NPV

NPV = 40 473,93 − 50 000 = −€9 526,07

Antwoord

NPV = −€9 526,07

De NCW is negatief, dus het project verdient minder dan het vereiste rendement.

ExamProblems · examproblems.com/courses/investments-and-valuation