Beleggingen en waardering: samenvattingspakket

Formuleoverzichten, de belangrijkste methodestappen voor elk onderwerp en 8 oefenopgaven, met volledige oplossingen achterin.

Nieuwe opgaven Terug naar het vak

Kies in het printvenster “Opslaan als pdf” om een kopie op je apparaat te bewaren.

1Formules en methoden

Tijdswaarde van geld

Eindwaarde: FV = PV·(1 + i)ⁿ
Contante waarde: PV = FV/(1 + i)ⁿ
Meerdere perioden per jaar: i = r/m, N = m·n
Annuïteit, contante waarde: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
Annuïteit, eindwaarde: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

Methode

Teken een tijdlijn met elke kasstroom en het moment waarop die valt.
Laat de rente aansluiten bij de periode: een maandrente voor maandelijkse betalingen.
Gebruik FV = PV·(1 + i)ⁿ voor losse bedragen en de annuïteitenformules voor gelijke betalingen.
Controleer het teken en de orde van grootte van het antwoord.

Obligatiekoers en rendement

Obligatiekoers: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
Halfjaarlijks: C/2, y/2 en 2n perioden
Lopend rendement: C/P
Koers en rendement: rendement omhoog → koers omlaag

Methode

Bepaal de coupon per periode en het rendement per periode.
Prijs = contante waarde van de coupons (een annuïteit) + contante waarde van de nominale waarde.
Gebruik bij halfjaarlijkse coupons de halve coupon, het halve rendement en twee keer zoveel perioden.
Controle: als het rendement boven de couponrente ligt, ligt de prijs onder de nominale waarde.

CAPM en WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
Ondernemingswaarde: V = E + D

NCW & IRR

Netto contante waarde: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
Gelijke kasstromen: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
Interne rentevoet: de r waarbij NPV = 0
Beslissing: accepteren als NPV > 0 (of IRR > vereist rendement)

Methode

Zet alle kasstromen met hun jaar op een rij; de investering in jaar 0 is negatief.
Disconteer elke kasstroom: CF_t/(1 + r)^t.
Tel ze op om de NCW te krijgen. Positief betekent dat het project meer oplevert dan r.
Zoek voor de IRR de rente waarbij de NCW nul wordt, door proberen of interpoleren.

2Oefenopgaven

1.Tijdswaarde van geldGemiddeld

Een annuïteit betaalt 20 jaar lang aan het eind van elk jaar €1 000. De rente is 3 % per jaar. Bereken de contante waarde PV van de annuïteit.

A = €1 000i = 3%n = 20

PV = €

2.Tijdswaarde van geldMoeilijk

Een lening van €20 000 wordt in 6 jaar afgelost met gelijke maandtermijnen. De rente is 4,8 % per jaar, maandelijks samengesteld. Bereken de maandtermijn A.

P = €20 0004,8% / 12N = 72

A = €

3.Obligatiekoers en rendementGemiddeld

Een obligatie met een nominale waarde van €1 000 betaalt een jaarlijkse coupon van 6% in twee halfjaarlijkse termijnen en loopt over 5 jaar af. Het effectieve rendement is 8% per jaar. Bereken de koers P van de obligatie.

F = €1 000coupon = 6%YTM = 8%n = 5

P = €

4.Obligatiekoers en rendementMoeilijk

Een obligatie met een nominale waarde van €1 000 betaalt een jaarlijkse coupon van 4% in twee halfjaarlijkse termijnen en loopt over 5 jaar af. Ze wordt verkocht voor €802. Bereken het effectieve rendement YTM als jaarrente (twee keer het halfjaarlijkse rendement), in procenten.

F = €1 000coupon = 4% (2×)n = 5P = €802

YTM = %

5.CAPM en WACCGemiddeld

Een onderneming heeft eigen vermogen ter waarde van €10 000 000 en vreemd vermogen ter waarde van €6 000 000. De kosten van het eigen vermogen zijn 13%, de kosten van het vreemd vermogen vóór belasting zijn 6% en het belastingtarief is 28%. Bereken de WACC.

E = €10 000 000D = €6 000 000r_e = 13%r_d = 6%T = 28%

WACC = %

6.CAPM en WACCMoeilijk

De aandelen van een onderneming hebben een bèta van 1,5 bij de huidige verhouding vreemd/eigen vermogen van 0,2. Ze wil die verhouding verhogen tot 0,6. Het belastingtarief is 28%, de risicovrije rente 2% en de marktrisicopremie 6,5%. Bereken de kosten van het eigen vermogen r_e na de wijziging.

β_L = 1,5D/E₁ = 0,2D/E₂ = 0,6T = 28%r_f = 2%r_m − r_f = 6,5%

r_e = %

7.NCW & IRRGemiddeld

Een project kost vandaag €40 000 en levert aan het eind van jaar 1 tot en met 5 €9 500, €12 000, €17 000, €9 500, €12 500 op. De vermogenskosten zijn 6 %. Neem aan dat de kasstromen gelijkmatig over elk jaar binnenkomen. Bereken de verdisconteerde terugverdientijd DPB in jaren.

r = 6%CF₀ = −40 000CF₁ = 9 500CF₂ = 12 000CF₃ = 17 000CF₄ = 9 500CF₅ = 12 500

DPB = jaar

8.NCW & IRRMoeilijk

Een investering van €10 000 levert 7 jaar lang aan het eind van elk jaar €2 500 op. Bereken de interne rentabiliteit IRR in procenten.

C₀ = €10 000CF = €2 500n = 7

IRR = %

3Oplossingen

1.Tijdswaarde van geld

Antwoord: PV = 14877 €

Tijdswaarde van geld: geld vandaag is meer waard dan hetzelfde bedrag later, omdat het rente kan opbrengen. Bij een rente i per periode groeit een bedrag tot FV = PV·(1 + i)ⁿ. Een reeks gelijke betalingen (een annuïteit) waardeer je door alle betalingen op te tellen; daaruit volgen de annuïteitenformules.

Annuïteitsfactor

(1 − (1 + i)⁻ⁿ)/i = (1 − 0,5537)/0,03 = 14,88

Contante waarde

PV = 1 000·14,88 = €14 877,47

Antwoord

PV = €14 877,47

2.Tijdswaarde van geld

Antwoord: A = 320,2 €

Maandrente en aantal termijnen

i = 0,048/12 = 0,004

N = 12·6 = 72

Termijn

De contante waarde van N gelijke betalingen A is A·(1 − (1 + i)⁻ᴺ)/i. Stel die gelijk aan de lening en los A op.

(1 + i)^−N = 0,7502

A = 20 000·0,004/(1 − 0,7502) = €320,25

Antwoord

A = €320,25

3.Obligatiekoers en rendement

Antwoord: P = 918,9 €

Obligatiewaardering: de koers van een obligatie is de contante waarde van haar kasstromen, verdisconteerd tegen het effectieve rendement (yield to maturity, YTM): de coupons vormen een annuïteit en de nominale waarde wordt op de aflossingsdatum terugbetaald. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Als het rendement boven de couponrente ligt, noteert de obligatie onder de nominale waarde, en omgekeerd.

Per periode

C = €30,00, i = 0,04, N = 10

Contante waarde van de coupons

€30,00·(1 − 0,6756)/0,04 = €243,33

Contante waarde van de nominale waarde

€1 000·0,6756 = €675,56

Koers

P = €918,89

Antwoord

P = €918,89

Het rendement ligt boven de couponrente, dus de obligatie wordt onder pari verkocht.

4.Obligatiekoers en rendement

Antwoord: YTM = 9,005 %

Per periode

C = €20,00, N = 10

Los numeriek op

i = 4,503% per halfjaar

YTM

YTM = 2·4,503% = 9,005%

Antwoord

YTM = 9,005%

5.CAPM en WACC

Antwoord: WACC = 9,745 %

Vermogenskosten: CAPM geeft het rendement dat aandeelhouders eisen: r_e = r_f + β·(r_m − r_f). De gewogen gemiddelde vermogenskosten combineren eigen en vreemd vermogen naar hun marktwaarden: WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T), met V = E + D. Rente is fiscaal aftrekbaar, vandaar de (1 − T).

Gewichten

V = €16 000 000, E/V = 0,625, D/V = 0,375

WACC

WACC = 0,625·13% + 0,375·6%·(1 − 0,28) = 9,745%

Antwoord

WACC = 9,745%

6.CAPM en WACC

Antwoord: r_e = 14,2 %

Bèta met hefboom (Hamada): vreemd vermogen maakt het eigen vermogen riskanter. β_L = β_U·(1 + (1 − T)·D/E), waarbij β_U de bèta van de onderneming zonder schuld is. Om een bèta naar een andere vermogensstructuur om te zetten, haal je eerst de hefboom eruit (unlever) en reken je hem daarna opnieuw in bij de nieuwe D/E (relever).

Haal de hefboom uit de bèta

β_U = 1,5/(1 + 0,72·0,2) = 1,311

Reken de hefboom in bij de nieuwe D/E

β_L = 1,311·(1 + 0,72·0,6) = 1,878

Kosten eigen vermogen (CAPM)

r_e = 2% + 1,878·6,5% = 14,2%

Antwoord

r_e = 14,2%

7.NCW & IRR

Antwoord: DPB = 3,809 jaar

Terugverdientijd: de tijd tot de cumulatieve kasstromen de initiële investering hebben terugbetaald. Aangenomen wordt dat het geld gelijkmatig over elk jaar binnenkomt, dus het laatste deel is een fractie van een jaar. De eenvoudige terugverdientijd negeert de tijdswaarde van geld; de verdisconteerde terugverdientijd gebruikt in plaats daarvan de contant gemaakte kasstromen.

Contant gemaakte en cumulatieve kasstromen

jaar 1: 9 500/1,06 = 8 962,26 → Σ = 8 962,26

jaar 2: 12 000/1,124 = 10 679,96 → Σ = 19 642,22

jaar 3: 17 000/1,191 = 14 273,53 → Σ = 33 915,75

jaar 4: 9 500/1,262 = 7 524,89 → Σ = 41 440,64

Fractie van het laatste jaar

DPB = 3 + 6 084,25/7 524,89 = 3,809

Antwoord

DPB = 3,809 jaar

De verdisconteerde terugverdientijd is altijd langer dan de eenvoudige terugverdientijd (3,158 jaar).

8.NCW & IRR

Antwoord: IRR = 16,33 %

Netto contante waarde: zet elke kasstroom met het vereiste rendement r terug naar vandaag en tel ze op: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Een project met NPV > 0 verdient meer dan r en voegt waarde toe. De interne rentabiliteit (IRR) is de rente waarbij NPV = 0.

Benodigde annuïteitsfactor

(1 − (1 + i)⁻⁷)/i = 10 000/2 500 = 4

Los de rente op

De annuïteitsfactor daalt als de rente stijgt; sluit de rente in tussen twee waarden en verklein het interval.

i = 16%: 4,039

i = 17%: 3,922

IRR = 16,33%

Antwoord

IRR = 16,33%

ExamProblems · examproblems.com/courses/investments-and-valuation