Beleggingen en waardering: samenvattingspakket

Formuleoverzichten, de belangrijkste methodestappen voor elk onderwerp en 8 oefenopgaven, met volledige oplossingen achterin.

Nieuwe opgaven Terug naar het vak

Kies in het printvenster “Opslaan als pdf” om een kopie op je apparaat te bewaren.

1Formules en methoden

Tijdswaarde van geld

Eindwaarde: FV = PV·(1 + i)ⁿ
Contante waarde: PV = FV/(1 + i)ⁿ
Meerdere perioden per jaar: i = r/m, N = m·n
Annuïteit, contante waarde: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
Annuïteit, eindwaarde: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

Methode

Teken een tijdlijn met elke kasstroom en het moment waarop die valt.
Laat de rente aansluiten bij de periode: een maandrente voor maandelijkse betalingen.
Gebruik FV = PV·(1 + i)ⁿ voor losse bedragen en de annuïteitenformules voor gelijke betalingen.
Controleer het teken en de orde van grootte van het antwoord.

Obligatiekoers en rendement

Obligatiekoers: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
Halfjaarlijks: C/2, y/2 en 2n perioden
Lopend rendement: C/P
Koers en rendement: rendement omhoog → koers omlaag

Methode

Bepaal de coupon per periode en het rendement per periode.
Prijs = contante waarde van de coupons (een annuïteit) + contante waarde van de nominale waarde.
Gebruik bij halfjaarlijkse coupons de halve coupon, het halve rendement en twee keer zoveel perioden.
Controle: als het rendement boven de couponrente ligt, ligt de prijs onder de nominale waarde.

CAPM en WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
Ondernemingswaarde: V = E + D

NCW & IRR

Netto contante waarde: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
Gelijke kasstromen: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
Interne rentevoet: de r waarbij NPV = 0
Beslissing: accepteren als NPV > 0 (of IRR > vereist rendement)

Methode

Zet alle kasstromen met hun jaar op een rij; de investering in jaar 0 is negatief.
Disconteer elke kasstroom: CF_t/(1 + r)^t.
Tel ze op om de NCW te krijgen. Positief betekent dat het project meer oplevert dan r.
Zoek voor de IRR de rente waarbij de NCW nul wordt, door proberen of interpoleren.

2Oefenopgaven

1.Tijdswaarde van geldGemiddeld

Een creditcard rekent een nominale rente van 16 % per jaar, dagelijks samengesteld. Bereken de effectieve jaarrente EAR in procent.

r = 16%m = 365

EAR = %

2.Tijdswaarde van geldMoeilijk

Een lening van €15 000 wordt in 6 jaar afgelost met gelijke maandtermijnen. De rente is 7,2 % per jaar, maandelijks samengesteld. Bereken de maandtermijn A.

P = €15 0007,2% / 12N = 72

A = €

3.Obligatiekoers en rendementGemiddeld

Een obligatie met een nominale waarde van €1 000 betaalt een jaarlijkse coupon van 3% in twee halfjaarlijkse termijnen en loopt over 6 jaar af. Het effectieve rendement is 7% per jaar. Bereken de koers P van de obligatie.

F = €1 000coupon = 3%YTM = 7%n = 6

P = €

4.Obligatiekoers en rendementMoeilijk

Een obligatie noteert op €950 met een effectief rendement van 7% (jaarlijks samengesteld) en een Macaulay-duration van 3,1 jaar. Schat met de gemodificeerde duration de nieuwe koers P als het rendement met 25 basispunten stijgt.

P₀ = €950y = 7%D = 3,1Δy = +25 bp

P = €

5.CAPM en WACCGemiddeld

Een onderneming heeft een verhouding vreemd/eigen vermogen (tegen marktwaarde) van 1. De kosten van het eigen vermogen zijn 13%, de kosten van het vreemd vermogen vóór belasting 3,5% en het belastingtarief is 28%. Bereken de WACC.

D/E = 1r_e = 13%r_d = 3,5%T = 28%

WACC = %

6.CAPM en WACCMoeilijk

Een onderneming heeft eigen vermogen met een marktwaarde van €8 000 000 en kosten van het eigen vermogen van 14%. Het vreemd vermogen bestaat uit 2 000 obligaties (nominale waarde €1 000, jaarlijkse coupon 7%, resterende looptijd 12 jaar) die elk op €1 041 noteren. Het belastingtarief is 25%. Bereken de WACC, met het effectieve rendement van de obligaties als kosten van het vreemd vermogen vóór belasting.

E = €8 000 000r_e = 14%obligaties: 2 000 × €1 041coupon = 7%n = 12T = 25%

WACC = %

7.NCW & IRRGemiddeld

Een investering van €60 000 levert aan het eind van jaar 1 tot en met 3 deze kasstromen op: €22 000, €13 000, €20 000. De vermogenskosten zijn 9 %. Bereken de netto contante waarde NPV.

r = 9%CF₀ = −60 000CF₁ = 22 000CF₂ = 13 000CF₃ = 20 000

NPV = €

8.NCW & IRRMoeilijk

Project A kost €10 000 en levert aan het eind van jaar 1 tot en met 3 €6 000, €4 000, €2 500 op. Project B kost €12 000 en levert €3 500, €4 500, €7 000 op. Bereken de omslagrente (crossover rate) r* waarbij beide projecten dezelfde NCW hebben, in procenten.

A: −10 000, 6 000, 4 000, 2 500B: −12 000, 3 500, 4 500, 7 000

r* = %

3Oplossingen

1.Tijdswaarde van geld

Antwoord: EAR = 17,35 %

Tijdswaarde van geld: geld vandaag is meer waard dan hetzelfde bedrag later, omdat het rente kan opbrengen. Bij een rente i per periode groeit een bedrag tot FV = PV·(1 + i)ⁿ. Een reeks gelijke betalingen (een annuïteit) waardeer je door alle betalingen op te tellen; daaruit volgen de annuïteitenformules.

Rente per periode

r/m = 0,16/365 = 0,0004384

Samenstellen over één jaar

EAR = (1 + 0,0004384)³⁶⁵ − 1 = 1,173 − 1 = 17,35%

Antwoord

EAR = 17,35%

De effectieve jaarrente ligt altijd boven de nominale rente als de rente vaker dan één keer per jaar wordt bijgeschreven.

2.Tijdswaarde van geld

Antwoord: A = 257,2 €

Maandrente en aantal termijnen

i = 0,07200000000000001/12 = 0,006

N = 12·6 = 72

Termijn

De contante waarde van N gelijke betalingen A is A·(1 − (1 + i)⁻ᴺ)/i. Stel die gelijk aan de lening en los A op.

(1 + i)^−N = 0,65

A = 15 000·0,006/(1 − 0,65) = €257,18

Antwoord

A = €257,18

3.Obligatiekoers en rendement

Antwoord: P = 806,7 €

Obligatiewaardering: de koers van een obligatie is de contante waarde van haar kasstromen, verdisconteerd tegen het effectieve rendement (yield to maturity, YTM): de coupons vormen een annuïteit en de nominale waarde wordt op de aflossingsdatum terugbetaald. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Als het rendement boven de couponrente ligt, noteert de obligatie onder de nominale waarde, en omgekeerd.

Per periode

C = €15,00, i = 0,035, N = 12

Contante waarde van de coupons

€15,00·(1 − 0,6618)/0,035 = €144,95

Contante waarde van de nominale waarde

€1 000·0,6618 = €661,78

Koers

P = €806,73

Antwoord

P = €806,73

Het rendement ligt boven de couponrente, dus de obligatie wordt onder pari verkocht.

4.Obligatiekoers en rendement

Antwoord: P = 943,1 €

Duration: de Macaulay-duration is het gewogen gemiddelde tijdstip waarop een obligatie haar kasstromen uitbetaalt, met de contante waarden van de kasstromen als gewichten: D = Σ t·PVₜ/P. De gemodificeerde duration D/(1 + y) schat de procentuele koersverandering bij een kleine verandering van het rendement: %ΔP ≈ −D_mod·Δy.

Gemodificeerde duration

D_mod = 3,1/1,07 = 2,897

Geschatte koersverandering

%ΔP ≈ −2,897·(0,0025) = −0,7243%

P ≈ 950·(1 − 0,007243) = €943,12

Antwoord

P = €943,12

Duration is een lineaire schatting; bij grote rendementsveranderingen maakt de convexiteit de werkelijke koers iets hoger.

5.CAPM en WACC

Antwoord: WACC = 7,76 %

Vermogenskosten: CAPM geeft het rendement dat aandeelhouders eisen: r_e = r_f + β·(r_m − r_f). De gewogen gemiddelde vermogenskosten combineren eigen en vreemd vermogen naar hun marktwaarden: WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T), met V = E + D. Rente is fiscaal aftrekbaar, vandaar de (1 − T).

Gewichten uit D/E

E/V = 1/(1 + 1) = 0,5

D/V = 1/(1 + 1) = 0,5

WACC

WACC = 0,5·13% + 0,5·3,5%·(1 − 0,28) = 7,76%

Antwoord

WACC = 7,76%

6.CAPM en WACC

Antwoord: WACC = 12,12 %

Kosten van het vreemd vermogen (YTM)

1041 = 70·(1 − (1 + y)⁻¹²)/y + 1000/(1 + y)¹²

y = 6,498%

Marktwaarden

D = 2 000·€1 041 = €2 082 000

V = €10 082 000, E/V = 0,7935, D/V = 0,2065

WACC

WACC = 0,7935·14% + 0,2065·6,498%·(1 − 0,25) = 12,12%

Antwoord

WACC = 12,12%

7.NCW & IRR

Antwoord: NPV = −13431 €

Netto contante waarde: zet elke kasstroom met het vereiste rendement r terug naar vandaag en tel ze op: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Een project met NPV > 0 verdient meer dan r en voegt waarde toe. De interne rentabiliteit (IRR) is de rente waarbij NPV = 0.

Contante waarde van elke kasstroom

CF₀ = −60 000

CF₁/(1 + 0,09)¹ = 22 000/1,09 = 20 183,49

CF₂/(1 + 0,09)² = 13 000/1,188 = 10 941,84

CF₃/(1 + 0,09)³ = 20 000/1,295 = 15 443,67

Optellen

NPV = €−13 431,00

Antwoord

NPV = €−13 431,00

De NCW is negatief, dus het project verdient minder dan het vereiste rendement.

8.NCW & IRR

Antwoord: r* = 4,59 %

Omslagrente (crossover rate): de disconteringsvoet waarbij twee projecten dezelfde NCW hebben. Het is de IRR van het verschil in hun kasstromen (B − A). Daaronder heeft het project met de latere, grotere kasstromen de hoogste NCW; daarboven wint het andere.

Verschil in kasstromen

ΔCF₀ = −12 000 − (−10 000) = −2 000

ΔCF₁ = 3 500 − 6 000 = −2 500

ΔCF₂ = 4 500 − 4 000 = 500

ΔCF₃ = 7 000 − 2 500 = 4 500

IRR van het verschil

NPV_Δ(4%) = 58,92

NPV_Δ(5%) = −40,17

r* = 4,59%

Antwoord

r* = 4,59%

Controle: bij 4,59% zijn beide NCW’s €1 578,48.

ExamProblems · examproblems.com/courses/investments-and-valuation