Beleggingen en waardering: samenvattingspakket

Formuleoverzichten, de belangrijkste methodestappen voor elk onderwerp en 8 oefenopgaven, met volledige oplossingen achterin.

Nieuwe opgaven Terug naar het vak

Kies in het printvenster “Opslaan als pdf” om een kopie op je apparaat te bewaren.

1Formules en methoden

Tijdswaarde van geld

Eindwaarde: FV = PV·(1 + i)ⁿ
Contante waarde: PV = FV/(1 + i)ⁿ
Meerdere perioden per jaar: i = r/m, N = m·n
Annuïteit, contante waarde: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
Annuïteit, eindwaarde: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

Methode

Teken een tijdlijn met elke kasstroom en het moment waarop die valt.
Laat de rente aansluiten bij de periode: een maandrente voor maandelijkse betalingen.
Gebruik FV = PV·(1 + i)ⁿ voor losse bedragen en de annuïteitenformules voor gelijke betalingen.
Controleer het teken en de orde van grootte van het antwoord.

Obligatiekoers en rendement

Obligatiekoers: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
Halfjaarlijks: C/2, y/2 en 2n perioden
Lopend rendement: C/P
Koers en rendement: rendement omhoog → koers omlaag

Methode

Bepaal de coupon per periode en het rendement per periode.
Prijs = contante waarde van de coupons (een annuïteit) + contante waarde van de nominale waarde.
Gebruik bij halfjaarlijkse coupons de halve coupon, het halve rendement en twee keer zoveel perioden.
Controle: als het rendement boven de couponrente ligt, ligt de prijs onder de nominale waarde.

CAPM en WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
Ondernemingswaarde: V = E + D

NCW & IRR

Netto contante waarde: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
Gelijke kasstromen: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
Interne rentevoet: de r waarbij NPV = 0
Beslissing: accepteren als NPV > 0 (of IRR > vereist rendement)

Methode

Zet alle kasstromen met hun jaar op een rij; de investering in jaar 0 is negatief.
Disconteer elke kasstroom: CF_t/(1 + r)^t.
Tel ze op om de NCW te krijgen. Positief betekent dat het project meer oplevert dan r.
Zoek voor de IRR de rente waarbij de NCW nul wordt, door proberen of interpoleren.

2Oefenopgaven

1.Tijdswaarde van geldGemiddeld

Je belegt €20 000 tegen 6 % per jaar met continue samengestelde rente. Bereken de waarde FV na 18 jaar.

PV = €20 000r = 6%t = 18

FV = €

2.Tijdswaarde van geldMoeilijk

Een hypotheek van €150 000 wordt in 25 jaar afgelost met gelijke maandbedragen tegen 6 % per jaar, maandelijks samengesteld. Hoeveel is er nog verschuldigd direct na de betaling aan het eind van jaar 17? Bereken de restschuld B.

P = €150 0006% / 12N = 300k = 204

B = €

3.Obligatiekoers en rendementGemiddeld

Een obligatie met een nominale waarde van €1 000 betaalt een jaarlijkse coupon van 7% in twee halfjaarlijkse termijnen en loopt over 11 jaar af. Het effectieve rendement is 4% per jaar. Bereken de koers P van de obligatie.

F = €1 000coupon = 7%YTM = 4%n = 11

P = €

4.Obligatiekoers en rendementMoeilijk

Een obligatie noteert op €1 040 met een effectief rendement van 3% (jaarlijks samengesteld) en een Macaulay-duration van 4,6 jaar. Schat met de gemodificeerde duration de nieuwe koers P als het rendement met 150 basispunten stijgt.

P₀ = €1 040y = 3%D = 4,6Δy = +150 bp

P = €

5.CAPM en WACCGemiddeld

Een onderneming heeft eigen vermogen ter waarde van €4 000 000 en vreemd vermogen ter waarde van €2 000 000. De kosten van het eigen vermogen zijn 11%, de kosten van het vreemd vermogen vóór belasting zijn 4% en het belastingtarief is 25,8%. Bereken de WACC.

E = €4 000 000D = €2 000 000r_e = 11%r_d = 4%T = 25,8%

WACC = %

6.CAPM en WACCMoeilijk

De bedrijfsactiviteiten van een onderneming hebben een bèta zonder hefboom (asset beta) van 1. Ze is van plan een verhouding vreemd/eigen vermogen van 1 aan te houden. Het belastingtarief is 28%, de risicovrije rente 2,5% en de marktrisicopremie 7%. Bereken de kosten van het eigen vermogen r_e bij de nieuwe vermogensstructuur.

β_U = 1D/E = 1T = 28%r_f = 2,5%r_m − r_f = 7%

r_e = %

7.NCW & IRRGemiddeld

Een investering van €20 000 levert aan het eind van jaar 1 tot en met 3 deze kasstromen op: €6 000, €7 000, €9 000. De vermogenskosten zijn 10 %. Bereken de netto contante waarde NPV.

r = 10%CF₀ = −20 000CF₁ = 6 000CF₂ = 7 000CF₃ = 9 000

NPV = €

8.NCW & IRRMoeilijk

Een project kost €40 000 en levert aan het eind van jaar 1 tot en met 3 €14 500, €21 500, €26 500 op. Bereken de interne rentabiliteit IRR in procenten.

CF₀ = −40 000CF₁ = 14 500CF₂ = 21 500CF₃ = 26 500

IRR = %

3Oplossingen

1.Tijdswaarde van geld

Antwoord: FV = 58894 €

Tijdswaarde van geld: geld vandaag is meer waard dan hetzelfde bedrag later, omdat het rente kan opbrengen. Bij een rente i per periode groeit een bedrag tot FV = PV·(1 + i)ⁿ. Een reeks gelijke betalingen (een annuïteit) waardeer je door alle betalingen op te tellen; daaruit volgen de annuïteitenformules.

Exponent

r·t = 0,06·18 = 1,08

e^1,08 = 2,945

Eindwaarde

FV = 20 000·2,945 = €58 893,59

Antwoord

FV = €58 893,59

2.Tijdswaarde van geld

Antwoord: B = 73542 €

Maandbedrag

i = 0,005, N = 300

A = 150 000·0,005/(1 − (1 + 0,005)⁻³⁰⁰) = €966,45

Contante waarde van de resterende betalingen

Wat er nog verschuldigd is, moet precies worden afbetaald met de resterende betalingen.

N − k = 300 − 204 = 96

B = 966,5·(1 − (1 + 0,005)⁻⁹⁶)/0,005 = €73 542,38

Antwoord

B = €73 542,38

3.Obligatiekoers en rendement

Antwoord: P = 1265 €

Obligatiewaardering: de koers van een obligatie is de contante waarde van haar kasstromen, verdisconteerd tegen het effectieve rendement (yield to maturity, YTM): de coupons vormen een annuïteit en de nominale waarde wordt op de aflossingsdatum terugbetaald. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Als het rendement boven de couponrente ligt, noteert de obligatie onder de nominale waarde, en omgekeerd.

Per periode

C = €35,00, i = 0,02, N = 22

Contante waarde van de coupons

€35,00·(1 − 0,6468)/0,02 = €618,03

Contante waarde van de nominale waarde

€1 000·0,6468 = €646,84

Koers

P = €1 264,87

Antwoord

P = €1 264,87

Het rendement ligt onder de couponrente, dus de obligatie wordt boven pari verkocht.

4.Obligatiekoers en rendement

Antwoord: P = 970,3 €

Duration: de Macaulay-duration is het gewogen gemiddelde tijdstip waarop een obligatie haar kasstromen uitbetaalt, met de contante waarden van de kasstromen als gewichten: D = Σ t·PVₜ/P. De gemodificeerde duration D/(1 + y) schat de procentuele koersverandering bij een kleine verandering van het rendement: %ΔP ≈ −D_mod·Δy.

Gemodificeerde duration

D_mod = 4,6/1,03 = 4,466

Geschatte koersverandering

%ΔP ≈ −4,466·(0,015) = −6,699%

P ≈ 1040·(1 − 0,06699) = €970,33

Antwoord

P = €970,33

Duration is een lineaire schatting; bij grote rendementsveranderingen maakt de convexiteit de werkelijke koers iets hoger.

5.CAPM en WACC

Antwoord: WACC = 8,323 %

Vermogenskosten: CAPM geeft het rendement dat aandeelhouders eisen: r_e = r_f + β·(r_m − r_f). De gewogen gemiddelde vermogenskosten combineren eigen en vreemd vermogen naar hun marktwaarden: WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T), met V = E + D. Rente is fiscaal aftrekbaar, vandaar de (1 − T).

Gewichten

V = €6 000 000, E/V = 0,6667, D/V = 0,3333

WACC

WACC = 0,6667·11% + 0,3333·4%·(1 − 0,258) = 8,323%

Antwoord

WACC = 8,323%

6.CAPM en WACC

Antwoord: r_e = 14,54 %

Bèta met hefboom (Hamada): vreemd vermogen maakt het eigen vermogen riskanter. β_L = β_U·(1 + (1 − T)·D/E), waarbij β_U de bèta van de onderneming zonder schuld is. Om een bèta naar een andere vermogensstructuur om te zetten, haal je eerst de hefboom eruit (unlever) en reken je hem daarna opnieuw in bij de nieuwe D/E (relever).

Bèta met hefboom

β_L = 1·(1 + 0,72·1) = 1,72

Kosten eigen vermogen (CAPM)

r_e = 2,5% + 1,72·7% = 14,54%

Antwoord

r_e = 14,54%

7.NCW & IRR

Antwoord: NPV = −1998 €

Netto contante waarde: zet elke kasstroom met het vereiste rendement r terug naar vandaag en tel ze op: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Een project met NPV > 0 verdient meer dan r en voegt waarde toe. De interne rentabiliteit (IRR) is de rente waarbij NPV = 0.

Contante waarde van elke kasstroom

CF₀ = −20 000

CF₁/(1 + 0,1)¹ = 6 000/1,1 = 5 454,55

CF₂/(1 + 0,1)² = 7 000/1,21 = 5 785,12

CF₃/(1 + 0,1)³ = 9 000/1,331 = 6 761,83

Optellen

NPV = €−1 998,50

Antwoord

NPV = €−1 998,50

De NCW is negatief, dus het project verdient minder dan het vereiste rendement.

8.NCW & IRR

Antwoord: IRR = 23,36 %

De IRR insluiten

De NCW daalt als de rente stijgt, dus de IRR ligt tussen een rente met positieve en een met negatieve NCW.

NPV(20%) = 2 349,54

NPV(25%) = −1 072,00

Verfijnen

Lineair interpoleren geeft een eerste schatting; dat herhalen (of de IRR-functie van een rekenmachine) geeft de exacte rente.

IRR ≈ 20 + 5·2 349,54/(2 349,54 − (−1 072,00)) = 23,43%

exact: NPV(23,36%) = 0 → IRR = 23,36%

Antwoord

IRR = 23,36%

ExamProblems · examproblems.com/courses/investments-and-valuation