Beleggingen en waardering: samenvattingspakket

Formuleoverzichten, de belangrijkste methodestappen voor elk onderwerp en 8 oefenopgaven, met volledige oplossingen achterin.

Nieuwe opgaven Terug naar het vak

Kies in het printvenster “Opslaan als pdf” om een kopie op je apparaat te bewaren.

1Formules en methoden

Tijdswaarde van geld

Eindwaarde: FV = PV·(1 + i)ⁿ
Contante waarde: PV = FV/(1 + i)ⁿ
Meerdere perioden per jaar: i = r/m, N = m·n
Annuïteit, contante waarde: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
Annuïteit, eindwaarde: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

Methode

Teken een tijdlijn met elke kasstroom en het moment waarop die valt.
Laat de rente aansluiten bij de periode: een maandrente voor maandelijkse betalingen.
Gebruik FV = PV·(1 + i)ⁿ voor losse bedragen en de annuïteitenformules voor gelijke betalingen.
Controleer het teken en de orde van grootte van het antwoord.

Obligatiekoers en rendement

Obligatiekoers: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
Halfjaarlijks: C/2, y/2 en 2n perioden
Lopend rendement: C/P
Koers en rendement: rendement omhoog → koers omlaag

Methode

Bepaal de coupon per periode en het rendement per periode.
Prijs = contante waarde van de coupons (een annuïteit) + contante waarde van de nominale waarde.
Gebruik bij halfjaarlijkse coupons de halve coupon, het halve rendement en twee keer zoveel perioden.
Controle: als het rendement boven de couponrente ligt, ligt de prijs onder de nominale waarde.

CAPM en WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
Ondernemingswaarde: V = E + D

NCW & IRR

Netto contante waarde: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
Gelijke kasstromen: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
Interne rentevoet: de r waarbij NPV = 0
Beslissing: accepteren als NPV > 0 (of IRR > vereist rendement)

Methode

Zet alle kasstromen met hun jaar op een rij; de investering in jaar 0 is negatief.
Disconteer elke kasstroom: CF_t/(1 + r)^t.
Tel ze op om de NCW te krijgen. Positief betekent dat het project meer oplevert dan r.
Zoek voor de IRR de rente waarbij de NCW nul wordt, door proberen of interpoleren.

2Oefenopgaven

1.Tijdswaarde van geldGemiddeld

Je belegt €1 000 tegen een nominale rente van 3 % per jaar, maandelijks samengesteld. Bereken de waarde FV van de belegging na 10 jaar.

PV = €1 0003% / 12n = 10

FV = €

2.Tijdswaarde van geldMoeilijk

Een lening van €30 000 wordt in 4 jaar afgelost met gelijke maandbedragen tegen 5,4 % per jaar, maandelijks samengesteld. Hoeveel rente I wordt er in totaal over de looptijd van de lening betaald?

P = €30 0005,4% / 12N = 48

I = €

3.Obligatiekoers en rendementGemiddeld

Een obligatie met een nominale waarde van €1 000 betaalt een jaarlijkse coupon van 4% in twee halfjaarlijkse termijnen en loopt over 9 jaar af. Het effectieve rendement is 5% per jaar. Bereken de koers P van de obligatie.

F = €1 000coupon = 4%YTM = 5%n = 9

P = €

4.Obligatiekoers en rendementMoeilijk

Een obligatie met een nominale waarde van €1 000 en een jaarlijkse coupon van 7% loopt over 5 jaar af en wordt verkocht voor €940. Bereken het effectieve rendement YTM in procenten.

F = €1 000coupon = 7%n = 5P = €940

YTM = %

5.CAPM en WACCGemiddeld

Een onderneming heeft eigen vermogen ter waarde van €8 000 000 en vreemd vermogen ter waarde van €3 000 000. De WACC is 7,93%, de kosten van het vreemd vermogen vóór belasting 3% en het belastingtarief is 20%. Bereken de kosten van het eigen vermogen r_e.

E = €8 000 000D = €3 000 000WACC = 7,93%r_d = 3%T = 20%

r_e = %

6.CAPM en WACCMoeilijk

Een onderneming heeft 5 000 000 aandelen die noteren op €23,00; de boekwaarde van het eigen vermogen is €69 000 000. Ze heeft net een dividend van €1,30 per aandeel uitgekeerd, en het dividend groeit met 2% per jaar. Het vreemd vermogen heeft een marktwaarde van €115 000 000 en kosten vóór belasting van 3%. Het belastingtarief is 28%. Bereken de WACC, met het dividendgroeimodel voor de kosten van het eigen vermogen.

N = 5 000 000P₀ = €23,00boekwaarde eigen vermogen = €69 000 000D₀ = €1,30g = 2%D = €115 000 000r_d = 3%T = 28%

WACC = %

7.NCW & IRRGemiddeld

Een machine kost vandaag €80 000, gaat 4 jaar mee en kost €1 500 per jaar aan bedrijfskosten (betaald aan het eind van elk jaar). De vermogenskosten zijn 10 %. Bereken de equivalente jaarlijkse kosten EAC.

C₀ = €80 000M = €1 500n = 4r = 10%

EAC = €

8.NCW & IRRMoeilijk

Een investering van €50 000 levert 4 jaar lang aan het eind van elk jaar €17 500 op. Bereken de interne rentabiliteit IRR in procenten.

C₀ = €50 000CF = €17 500n = 4

IRR = %

3Oplossingen

1.Tijdswaarde van geld

Antwoord: FV = 1349 €

Tijdswaarde van geld: geld vandaag is meer waard dan hetzelfde bedrag later, omdat het rente kan opbrengen. Bij een rente i per periode groeit een bedrag tot FV = PV·(1 + i)ⁿ. Een reeks gelijke betalingen (een annuïteit) waardeer je door alle betalingen op te tellen; daaruit volgen de annuïteitenformules.

Rente en aantal perioden

i = r/m = 0,03/12 = 0,0025

N = m·n = 12·10 = 120

Eindwaarde

FV = 1 000·(1 + 0,0025)¹²⁰ = 1 000·1,349 = €1 349,35

Antwoord

FV = €1 349,35

2.Tijdswaarde van geld

Antwoord: I = 3424 €

Maandbedrag

i = 0,0045, N = 48

A = 30 000·0,0045/(1 − (1 + 0,0045)⁻⁴⁸) = €696,33

Totale rente

I = N·A − P = 48·696,3 − 30 000 = €3 423,74

Antwoord

I = €3 423,74

3.Obligatiekoers en rendement

Antwoord: P = 928,2 €

Obligatiewaardering: de koers van een obligatie is de contante waarde van haar kasstromen, verdisconteerd tegen het effectieve rendement (yield to maturity, YTM): de coupons vormen een annuïteit en de nominale waarde wordt op de aflossingsdatum terugbetaald. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Als het rendement boven de couponrente ligt, noteert de obligatie onder de nominale waarde, en omgekeerd.

Per periode

C = €20,00, i = 0,025, N = 18

Contante waarde van de coupons

€20,00·(1 − 0,6412)/0,025 = €287,07

Contante waarde van de nominale waarde

€1 000·0,6412 = €641,17

Koers

P = €928,23

Antwoord

P = €928,23

Het rendement ligt boven de couponrente, dus de obligatie wordt onder pari verkocht.

4.Obligatiekoers en rendement

Antwoord: YTM = 8,524 %

Vergelijking voor het rendement

€940 = €70·(1 − (1 + y)⁻⁵)/y + €1 000/(1 + y)⁵

Los numeriek op

P(8%) = €960,07, P(9%) = €922,21

YTM = 8,524%

Antwoord

YTM = 8,524%

5.CAPM en WACC

Antwoord: r_e = 10 %

Vermogenskosten: CAPM geeft het rendement dat aandeelhouders eisen: r_e = r_f + β·(r_m − r_f). De gewogen gemiddelde vermogenskosten combineren eigen en vreemd vermogen naar hun marktwaarden: WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T), met V = E + D. Rente is fiscaal aftrekbaar, vandaar de (1 − T).

Gewichten

V = €11 000 000, E/V = 0,7273, D/V = 0,2727

Deel van het vreemd vermogen in de WACC

0,2727·3%·(1 − 0,2) = 0,6545%

Kosten van het eigen vermogen

r_e = (7,93% − 0,6545%)/0,7273 = 10%

Antwoord

r_e = 10%

6.CAPM en WACC

Antwoord: WACC = 4,963 %

Kosten van het eigen vermogen

D₁ = 1,3·1,02 = €1,33

r_e = 1,326/23 + 0,02 = 7,765%

Marktwaarden

E = 5 000 000·€23,00 = €115 000 000

V = €230 000 000, E/V = 0,5, D/V = 0,5

WACC

WACC = 0,5·7,765% + 0,5·3%·(1 − 0,28) = 4,963%

Antwoord

WACC = 4,963%

7.NCW & IRR

Antwoord: EAC = 26738 €

Equivalente jaarlijkse kosten: spreid de contante waarde van alle kosten over de levensduur als een gelijk jaarlijks bedrag (een annuïteit): EAC = PV·r/(1 − (1 + r)⁻ⁿ). Zo kun je machines met verschillende levensduren vergelijken.

Annuïteitsfactor

(1 − 1,1⁻⁴)/0,1 = 3,17

Aanschafprijs omgerekend per jaar

80 000/3,17 = 25 237,66

EAC

EAC = 25 237,66 + 1 500 = €26 737,66

Antwoord

EAC = €26 737,66

8.NCW & IRR

Antwoord: IRR = 14,96 %

Netto contante waarde: zet elke kasstroom met het vereiste rendement r terug naar vandaag en tel ze op: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Een project met NPV > 0 verdient meer dan r en voegt waarde toe. De interne rentabiliteit (IRR) is de rente waarbij NPV = 0.

Benodigde annuïteitsfactor

(1 − (1 + i)⁻⁴)/i = 50 000/17 500 = 2,857

Los de rente op

De annuïteitsfactor daalt als de rente stijgt; sluit de rente in tussen twee waarden en verklein het interval.

i = 14%: 2,914

i = 15%: 2,855

IRR = 14,96%

Antwoord

IRR = 14,96%

ExamProblems · examproblems.com/courses/investments-and-valuation