Beleggingen en waardering: samenvattingspakket

Formuleoverzichten, de belangrijkste methodestappen voor elk onderwerp en 8 oefenopgaven, met volledige oplossingen achterin.

Nieuwe opgaven Terug naar het vak

Kies in het printvenster “Opslaan als pdf” om een kopie op je apparaat te bewaren.

1Formules en methoden

Tijdswaarde van geld

Eindwaarde: FV = PV·(1 + i)ⁿ
Contante waarde: PV = FV/(1 + i)ⁿ
Meerdere perioden per jaar: i = r/m, N = m·n
Annuïteit, contante waarde: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
Annuïteit, eindwaarde: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

Methode

Teken een tijdlijn met elke kasstroom en het moment waarop die valt.
Laat de rente aansluiten bij de periode: een maandrente voor maandelijkse betalingen.
Gebruik FV = PV·(1 + i)ⁿ voor losse bedragen en de annuïteitenformules voor gelijke betalingen.
Controleer het teken en de orde van grootte van het antwoord.

Obligatiekoers en rendement

Obligatiekoers: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
Halfjaarlijks: C/2, y/2 en 2n perioden
Lopend rendement: C/P
Koers en rendement: rendement omhoog → koers omlaag

Methode

Bepaal de coupon per periode en het rendement per periode.
Prijs = contante waarde van de coupons (een annuïteit) + contante waarde van de nominale waarde.
Gebruik bij halfjaarlijkse coupons de halve coupon, het halve rendement en twee keer zoveel perioden.
Controle: als het rendement boven de couponrente ligt, ligt de prijs onder de nominale waarde.

CAPM en WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
Ondernemingswaarde: V = E + D

NCW & IRR

Netto contante waarde: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
Gelijke kasstromen: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
Interne rentevoet: de r waarbij NPV = 0
Beslissing: accepteren als NPV > 0 (of IRR > vereist rendement)

Methode

Zet alle kasstromen met hun jaar op een rij; de investering in jaar 0 is negatief.
Disconteer elke kasstroom: CF_t/(1 + r)^t.
Tel ze op om de NCW te krijgen. Positief betekent dat het project meer oplevert dan r.
Zoek voor de IRR de rente waarbij de NCW nul wordt, door proberen of interpoleren.

2Oefenopgaven

1.Tijdswaarde van geldGemiddeld

Je hebt over 7 jaar €20 000 nodig. Een rekening geeft 4 % per jaar, maandelijks samengesteld. Hoeveel moet je vandaag storten? Bereken de contante waarde PV.

FV = €20 0004% / 12n = 7

PV = €

2.Tijdswaarde van geldMoeilijk

Je leent €5 000 tegen 6 % per jaar, maandelijks samengesteld, en betaalt aan het eind van elke maand €75 terug. Hoeveel maanden duurt het tot de lening is afgelost (de laatste betaling mag kleiner zijn)? Geef het aantal betalingen N.

P = €5 000A = €756% / 12

N = betalingen

3.Obligatiekoers en rendementGemiddeld

Een obligatie met een nominale waarde van €1 000 loopt over 8 jaar af en betaalt jaarlijkse coupons. Ze wordt verkocht voor €778 als het effectieve rendement 5,5% is. Bereken het couponpercentage c in procenten.

F = €1 000n = 8P = €778YTM = 5,5%

c = %

4.Obligatiekoers en rendementMoeilijk

Een obligatie met een resterende looptijd van 10 jaar (nominale waarde €1 000, jaarlijkse coupon 8%) wordt verkocht voor €1 108. De uitgever kan haar over 3 jaar vervroegd aflossen tegen een aflossingsprijs van €1 080. Bereken het rendement tot vervroegde aflossing (yield to call) YTC in procenten.

F = €1 000coupon = 8%P = €1 108aflossingsprijs = €1 080vervroegd aflosbaar over 3 jaar

YTC = %

5.CAPM en WACCGemiddeld

Een onderneming heeft eigen vermogen ter waarde van €8 000 000 en vreemd vermogen ter waarde van €1 000 000. De kosten van het eigen vermogen zijn 14%, de kosten van het vreemd vermogen vóór belasting zijn 3% en het belastingtarief is 28%. Bereken de WACC.

E = €8 000 000D = €1 000 000r_e = 14%r_d = 3%T = 28%

WACC = %

6.CAPM en WACCMoeilijk

Een onderneming heeft 1 000 000 aandelen die noteren op €28,00; de boekwaarde van het eigen vermogen is €14 000 000. Ze heeft net een dividend van €3,00 per aandeel uitgekeerd, en het dividend groeit met 3% per jaar. Het vreemd vermogen heeft een marktwaarde van €16 800 000 en kosten vóór belasting van 4%. Het belastingtarief is 28%. Bereken de WACC, met het dividendgroeimodel voor de kosten van het eigen vermogen.

N = 1 000 000P₀ = €28,00boekwaarde eigen vermogen = €14 000 000D₀ = €3,00g = 3%D = €16 800 000r_d = 4%T = 28%

WACC = %

7.NCW & IRRGemiddeld

Een investering van €45 000 levert aan het eind van jaar 1 tot en met 3 deze kasstromen op: €22 000, €21 000, €22 000. De vermogenskosten zijn 6 %. Bereken de netto contante waarde NPV.

r = 6%CF₀ = −45 000CF₁ = 22 000CF₂ = 21 000CF₃ = 22 000

NPV = €

8.NCW & IRRMoeilijk

Project A kost €10 000 en levert aan het eind van jaar 1 tot en met 3 €5 500, €4 000, €2 500 op. Project B kost €12 000 en levert €3 000, €5 000, €6 500 op. Bereken de omslagrente (crossover rate) r* waarbij beide projecten dezelfde NCW hebben, in procenten.

A: −10 000, 5 500, 4 000, 2 500B: −12 000, 3 000, 5 000, 6 500

r* = %

3Oplossingen

1.Tijdswaarde van geld

Antwoord: PV = 15123 €

Tijdswaarde van geld: geld vandaag is meer waard dan hetzelfde bedrag later, omdat het rente kan opbrengen. Bij een rente i per periode groeit een bedrag tot FV = PV·(1 + i)ⁿ. Een reeks gelijke betalingen (een annuïteit) waardeer je door alle betalingen op te tellen; daaruit volgen de annuïteitenformules.

Rente en aantal perioden

i = 0,04/12 = 0,003333

N = 12·7 = 84

Contante waarde

PV = FV/(1 + i)^N = 20 000/1,323 = €15 122,71

Antwoord

PV = €15 122,71

2.Tijdswaarde van geld

Antwoord: N = 82 betalingen

Herschrijf de annuïteitenformule

i = 0,005

(1 + i)^−N = 1 − 5 000·0,005/75 = 0,6667

Los op met logaritmen

N = −ln(0,6667)/ln(1,005) = 81,3

Rond naar boven af op hele betalingen

81 volledige betalingen laten een klein saldo over, dat de laatste, kleinere betaling aflost.

N = 82

Antwoord

N = 82 betalingen

3.Obligatiekoers en rendement

Antwoord: c = 1,995 %

Obligatiewaardering: de koers van een obligatie is de contante waarde van haar kasstromen, verdisconteerd tegen het effectieve rendement (yield to maturity, YTM): de coupons vormen een annuïteit en de nominale waarde wordt op de aflossingsdatum terugbetaald. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Als het rendement boven de couponrente ligt, noteert de obligatie onder de nominale waarde, en omgekeerd.

Contante waarde van de nominale waarde

1000·(1 + 0,055)⁻⁸ = €651,60

Coupon

C = (778 − 651,60)/6,335 = €19,95

Couponrente

c = 19,95/1000 = 1,995%

Antwoord

c = 1,995%

4.Obligatiekoers en rendement

Antwoord: YTC = 6,43 %

Vergelijking voor het rendement

1108 = 80·(1 − (1 + y)⁻³)/y + 1080/(1 + y)³

Los numeriek op

y = 6%: €1 120,63

y = 7%: €1 091,55

YTC = 6,43%

Antwoord

YTC = 6,43%

Het effectieve rendement tot de einddatum is 6,498%. Beleggers in een obligatie boven pari verwachten dat ze vervroegd wordt afgelost, dus de lagere yield to call is de realistischere.

5.CAPM en WACC

Antwoord: WACC = 12,68 %

Vermogenskosten: CAPM geeft het rendement dat aandeelhouders eisen: r_e = r_f + β·(r_m − r_f). De gewogen gemiddelde vermogenskosten combineren eigen en vreemd vermogen naar hun marktwaarden: WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T), met V = E + D. Rente is fiscaal aftrekbaar, vandaar de (1 − T).

Gewichten

V = €9 000 000, E/V = 0,8889, D/V = 0,1111

WACC

WACC = 0,8889·14% + 0,1111·3%·(1 − 0,28) = 12,68%

Antwoord

WACC = 12,68%

6.CAPM en WACC

Antwoord: WACC = 9,852 %

Kosten van het eigen vermogen

D₁ = 3·1,03 = €3,09

r_e = 3,09/28 + 0,03 = 14,04%

Marktwaarden

E = 1 000 000·€28,00 = €28 000 000

V = €44 800 000, E/V = 0,625, D/V = 0,375

WACC

WACC = 0,625·14,04% + 0,375·4%·(1 − 0,28) = 9,852%

Antwoord

WACC = 9,852%

7.NCW & IRR

Antwoord: NPV = 12916 €

Netto contante waarde: zet elke kasstroom met het vereiste rendement r terug naar vandaag en tel ze op: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Een project met NPV > 0 verdient meer dan r en voegt waarde toe. De interne rentabiliteit (IRR) is de rente waarbij NPV = 0.

Contante waarde van elke kasstroom

CF₀ = −45 000

CF₁/(1 + 0,06)¹ = 22 000/1,06 = 20 754,72

CF₂/(1 + 0,06)² = 21 000/1,124 = 18 689,93

CF₃/(1 + 0,06)³ = 22 000/1,191 = 18 471,62

Optellen

NPV = €12 916,27

Antwoord

NPV = €12 916,27

De NCW is positief, dus het project verdient meer dan het vereiste rendement.

8.NCW & IRR

Antwoord: r* = 4,802 %

Omslagrente (crossover rate): de disconteringsvoet waarbij twee projecten dezelfde NCW hebben. Het is de IRR van het verschil in hun kasstromen (B − A). Daaronder heeft het project met de latere, grotere kasstromen de hoogste NCW; daarboven wint het andere.

Verschil in kasstromen

ΔCF₀ = −12 000 − (−10 000) = −2 000

ΔCF₁ = 3 000 − 5 500 = −2 500

ΔCF₂ = 5 000 − 4 000 = 1 000

ΔCF₃ = 6 500 − 2 500 = 4 000

IRR van het verschil

NPV_Δ(4%) = 76,70

NPV_Δ(5%) = −18,57

r* = 4,802%

Antwoord

r* = 4,802%

Controle: bij 4,802% zijn beide NCW’s €1 061,73.

ExamProblems · examproblems.com/courses/investments-and-valuation