Kies in het printvenster “Opslaan als pdf” om een kopie op je apparaat te bewaren.
1Formules en methoden
Tijdswaarde van geld
Eindwaarde
FV = PV·(1 + i)n
Contante waarde
PV = FV/(1 + i)n
Meerdere perioden per jaar
i = r/m, N = m·n
Annuïteit, contante waarde
PV = PMT·[1 − (1 + i)−n]/i
Annuïteit, eindwaarde
FV = PMT·[(1 + i)n − 1]/i
Methode
Teken een tijdlijn met elke kasstroom en het moment waarop die valt.
Laat de rente aansluiten bij de periode: een maandrente voor maandelijkse betalingen.
Gebruik FV = PV·(1 + i)ⁿ voor losse bedragen en de annuïteitenformules voor gelijke betalingen.
Controleer het teken en de orde van grootte van het antwoord.
Obligatiekoers en rendement
Obligatiekoers
P = C·(1 − (1 + y)−n)/y + F/(1 + y)n
Halfjaarlijks
C/2, y/2 en 2n perioden
Lopend rendement
C/P
Koers en rendement
rendement omhoog → koers omlaag
Methode
Bepaal de coupon per periode en het rendement per periode.
Prijs = contante waarde van de coupons (een annuïteit) + contante waarde van de nominale waarde.
Gebruik bij halfjaarlijkse coupons de halve coupon, het halve rendement en twee keer zoveel perioden.
Controle: als het rendement boven de couponrente ligt, ligt de prijs onder de nominale waarde.
CAPM en WACC
CAPM
re = rf + β·(rm − rf)
WACC
E/V·re + D/V·rd·(1 − T)
Ondernemingswaarde
V = E + D
NCW & IRR
Netto contante waarde
NPV = −C0 + Σ CFt/(1 + r)t
Gelijke kasstromen
NPV = −C0 + CF·[1 − (1 + r)−n]/r
Interne rentevoet
de r waarbij NPV = 0
Beslissing
accepteren als NPV > 0 (of IRR > vereist rendement)
Methode
Zet alle kasstromen met hun jaar op een rij; de investering in jaar 0 is negatief.
Disconteer elke kasstroom: CFt/(1 + r)t.
Tel ze op om de NCW te krijgen. Positief betekent dat het project meer oplevert dan r.
Zoek voor de IRR de rente waarbij de NCW nul wordt, door proberen of interpoleren.
2Oefenopgaven
1.Tijdswaarde van geldGemiddeld
Je belegt €2 000 tegen een nominale rente van 6 % per jaar, per kwartaal samengesteld. Bereken de waarde FV van de belegging na 9 jaar.
PV = €2 0006% / 4n = 9
FV = €
2.Tijdswaarde van geldMoeilijk
Je spaart 18 jaar lang aan het eind van elke maand €500. De rekening geeft 7,2 % per jaar, maandelijks samengesteld. Hoeveel heb je aan het eind gespaard? Bereken FV.
A = €5007,2% / 12N = 216
FV = €
3.Obligatiekoers en rendementGemiddeld
Een obligatie met een nominale waarde van €1 000 betaalt een jaarlijkse coupon van 4,5% en loopt over 10 jaar af. Het effectieve rendement verandert van 5% naar 5,5%. Hoeveel ΔP verandert de koers van de obligatie?
F = €1 000coupon = 4,5%n = 10y1 = 5%y2 = 5,5%
ΔP = €
4.Obligatiekoers en rendementMoeilijk
Een obligatie met een nominale waarde van €1 000 en een jaarlijkse coupon van 4% loopt over 7 jaar af en wordt verkocht voor €1 095. Bereken het effectieve rendement YTM in procenten.
F = €1 000coupon = 4%n = 7P = €1 095
YTM = %
5.CAPM en WACCGemiddeld
Een onderneming heeft een verhouding vreemd/eigen vermogen (tegen marktwaarde) van 0,75. De kosten van het eigen vermogen zijn 10%, de kosten van het vreemd vermogen vóór belasting 3% en het belastingtarief is 28%. Bereken de WACC.
D/E = 0,75re = 10%rd = 3%T = 28%
WACC = %
6.CAPM en WACCMoeilijk
De bedrijfsactiviteiten van een onderneming hebben een bèta zonder hefboom (asset beta) van 0,6. Ze is van plan een verhouding vreemd/eigen vermogen van 0,4 aan te houden. Het belastingtarief is 25,8%, de risicovrije rente 3,5% en de marktrisicopremie 4,5%. Bereken de kosten van het eigen vermogen re bij de nieuwe vermogensstructuur.
βU = 0,6D/E = 0,4T = 25,8%rf = 3,5%rm − rf = 4,5%
re = %
7.NCW & IRRGemiddeld
Een investering van €45 000 levert aan het eind van jaar 1 tot en met 3 deze kasstromen op: €20 000, €13 000, €18 000. De vermogenskosten zijn 9 %. Bereken de netto contante waarde NPV.
Een project kost €10 000 en levert aan het eind van jaar 1 tot en met 3 €5 500, €4 000, €7 000 op. Bereken de interne rentabiliteit IRR in procenten.
CF0 = −10 000CF1 = 5 500CF2 = 4 000CF3 = 7 000
IRR = %
3Oplossingen
1.Tijdswaarde van geld
Antwoord: FV = 3418 €
Tijdswaarde van geld: geld vandaag is meer waard dan hetzelfde bedrag later, omdat het rente kan opbrengen. Bij een rente i per periode groeit een bedrag tot FV = PV·(1 + i)n. Een reeks gelijke betalingen (een annuïteit) waardeer je door alle betalingen op te tellen; daaruit volgen de annuïteitenformules.
Tijdswaarde van geld: geld vandaag is meer waard dan hetzelfde bedrag later, omdat het rente kan opbrengen. Bij een rente i per periode groeit een bedrag tot FV = PV·(1 + i)n. Een reeks gelijke betalingen (een annuïteit) waardeer je door alle betalingen op te tellen; daaruit volgen de annuïteitenformules.
Obligatiewaardering: de koers van een obligatie is de contante waarde van haar kasstromen, verdisconteerd tegen het effectieve rendement (yield to maturity, YTM): de coupons vormen een annuïteit en de nominale waarde wordt op de aflossingsdatum terugbetaald. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Als het rendement boven de couponrente ligt, noteert de obligatie onder de nominale waarde, en omgekeerd.
Obligatiewaardering: de koers van een obligatie is de contante waarde van haar kasstromen, verdisconteerd tegen het effectieve rendement (yield to maturity, YTM): de coupons vormen een annuïteit en de nominale waarde wordt op de aflossingsdatum terugbetaald. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Als het rendement boven de couponrente ligt, noteert de obligatie onder de nominale waarde, en omgekeerd.
Vergelijking voor het rendement
€1 095 = €40·(1 − (1 + y)⁻⁷)/y + €1 000/(1 + y)⁷
Los numeriek op
P(2%) = €1 129,44, P(3%) = €1 062,30
YTM = 2,504%
Antwoord
YTM = 2,504%
5.CAPM en WACC
Antwoord: WACC = 6,64 %
Vermogenskosten: CAPM geeft het rendement dat aandeelhouders eisen: re = rf + β·(rm − rf). De gewogen gemiddelde vermogenskosten combineren eigen en vreemd vermogen naar hun marktwaarden: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), met V = E + D. Rente is fiscaal aftrekbaar, vandaar de (1 − T).
Gewichten uit D/E
E/V = 1/(1 + 0,75) = 0,5714
D/V = 0,75/(1 + 0,75) = 0,4286
WACC
WACC = 0,5714·10% + 0,4286·3%·(1 − 0,28) = 6,64%
Antwoord
WACC = 6,64%
6.CAPM en WACC
Antwoord: re = 7,001 %
Bèta met hefboom (Hamada): vreemd vermogen maakt het eigen vermogen riskanter. βL = βU·(1 + (1 − T)·D/E), waarbij βU de bèta van de onderneming zonder schuld is. Om een bèta naar een andere vermogensstructuur om te zetten, haal je eerst de hefboom eruit (unlever) en reken je hem daarna opnieuw in bij de nieuwe D/E (relever).
Bèta met hefboom
βL = 0,6·(1 + 0,742·0,4) = 0,7781
Kosten eigen vermogen (CAPM)
re = 3,5% + 0,7781·4,5% = 7,001%
Antwoord
re = 7,001%
7.NCW & IRR
Antwoord: NPV = −1810 €
Netto contante waarde: zet elke kasstroom met het vereiste rendement r terug naar vandaag en tel ze op: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Een project met NPV > 0 verdient meer dan r en voegt waarde toe. De interne rentabiliteit (IRR) is de rente waarbij NPV = 0.
Contante waarde van elke kasstroom
CF0 = −45 000
CF1/(1 + 0,09)1 = 20 000/1,09 = 18 348,62
CF2/(1 + 0,09)2 = 13 000/1,188 = 10 941,84
CF3/(1 + 0,09)3 = 18 000/1,295 = 13 899,30
Optellen
NPV = €−1 810,23
Antwoord
NPV = €−1 810,23
De NCW is negatief, dus het project verdient minder dan het vereiste rendement.
8.NCW & IRR
Antwoord: IRR = 28,51 %
Netto contante waarde: zet elke kasstroom met het vereiste rendement r terug naar vandaag en tel ze op: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Een project met NPV > 0 verdient meer dan r en voegt waarde toe. De interne rentabiliteit (IRR) is de rente waarbij NPV = 0.
De IRR insluiten
De NCW daalt als de rente stijgt, dus de IRR ligt tussen een rente met positieve en een met negatieve NCW.
NPV(25%) = 544,00
NPV(30%) = −216,20
Verfijnen
Lineair interpoleren geeft een eerste schatting; dat herhalen (of de IRR-functie van een rekenmachine) geeft de exacte rente.