Beleggingen en waardering: samenvattingspakket

Formuleoverzichten, de belangrijkste methodestappen voor elk onderwerp en 8 oefenopgaven, met volledige oplossingen achterin.

Nieuwe opgaven Terug naar het vak

Kies in het printvenster “Opslaan als pdf” om een kopie op je apparaat te bewaren.

1Formules en methoden

Tijdswaarde van geld

Eindwaarde: FV = PV·(1 + i)ⁿ
Contante waarde: PV = FV/(1 + i)ⁿ
Meerdere perioden per jaar: i = r/m, N = m·n
Annuïteit, contante waarde: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
Annuïteit, eindwaarde: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

Methode

Teken een tijdlijn met elke kasstroom en het moment waarop die valt.
Laat de rente aansluiten bij de periode: een maandrente voor maandelijkse betalingen.
Gebruik FV = PV·(1 + i)ⁿ voor losse bedragen en de annuïteitenformules voor gelijke betalingen.
Controleer het teken en de orde van grootte van het antwoord.

Obligatiekoers en rendement

Obligatiekoers: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
Halfjaarlijks: C/2, y/2 en 2n perioden
Lopend rendement: C/P
Koers en rendement: rendement omhoog → koers omlaag

Methode

Bepaal de coupon per periode en het rendement per periode.
Prijs = contante waarde van de coupons (een annuïteit) + contante waarde van de nominale waarde.
Gebruik bij halfjaarlijkse coupons de halve coupon, het halve rendement en twee keer zoveel perioden.
Controle: als het rendement boven de couponrente ligt, ligt de prijs onder de nominale waarde.

CAPM en WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
Ondernemingswaarde: V = E + D

NCW & IRR

Netto contante waarde: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
Gelijke kasstromen: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
Interne rentevoet: de r waarbij NPV = 0
Beslissing: accepteren als NPV > 0 (of IRR > vereist rendement)

Methode

Zet alle kasstromen met hun jaar op een rij; de investering in jaar 0 is negatief.
Disconteer elke kasstroom: CF_t/(1 + r)^t.
Tel ze op om de NCW te krijgen. Positief betekent dat het project meer oplevert dan r.
Zoek voor de IRR de rente waarbij de NCW nul wordt, door proberen of interpoleren.

2Oefenopgaven

1.Tijdswaarde van geldGemiddeld

Je hebt over 4 jaar €50 000 nodig. Een rekening geeft 4,8 % per jaar, maandelijks samengesteld. Hoeveel moet je vandaag storten? Bereken de contante waarde PV.

FV = €50 0004,8% / 12n = 4

PV = €

2.Tijdswaarde van geldMoeilijk

Je spaart 17 jaar lang aan het eind van elke maand €250. De rekening geeft 4,8 % per jaar, maandelijks samengesteld. Hoeveel heb je aan het eind gespaard? Bereken FV.

A = €2504,8% / 12N = 204

FV = €

3.Obligatiekoers en rendementGemiddeld

Een obligatie met een nominale waarde van €1 000 loopt over 15 jaar af en betaalt jaarlijkse coupons. Ze wordt verkocht voor €778 als het effectieve rendement 4% is. Bereken het couponpercentage c in procenten.

F = €1 000n = 15P = €778YTM = 4%

c = %

4.Obligatiekoers en rendementMoeilijk

Een obligatie noteert op €1 080 met een effectief rendement van 6% (jaarlijks samengesteld) en een Macaulay-duration van 11,5 jaar. Schat met de gemodificeerde duration de nieuwe koers P als het rendement met 100 basispunten stijgt.

P₀ = €1 080y = 6%D = 11,5Δy = +100 bp

P = €

5.CAPM en WACCGemiddeld

Een onderneming is gefinancierd met gewone aandelen ter waarde van €12 000 000, preferente aandelen ter waarde van €1 500 000 en vreemd vermogen ter waarde van €5 000 000. De kosten van het eigen vermogen zijn 14%, de kosten van de preferente aandelen 6% en de kosten van het vreemd vermogen vóór belasting 3%. Het belastingtarief is 28%. Bereken de WACC.

E = €12 000 000P_s = €1 500 000D = €5 000 000r_e = 14%r_p = 6%r_d = 3%T = 28%

WACC = %

6.CAPM en WACCMoeilijk

Een onderneming heeft eigen vermogen met een marktwaarde van €10 000 000 en kosten van het eigen vermogen van 11%. Het vreemd vermogen bestaat uit 8 000 obligaties (nominale waarde €1 000, jaarlijkse coupon 6%, resterende looptijd 7 jaar) die elk op €1 088 noteren. Het belastingtarief is 28%. Bereken de WACC, met het effectieve rendement van de obligaties als kosten van het vreemd vermogen vóór belasting.

E = €10 000 000r_e = 11%obligaties: 8 000 × €1 088coupon = 6%n = 7T = 28%

WACC = %

7.NCW & IRRGemiddeld

Een machine kost vandaag €40 000. Ze levert 6 jaar lang aan het eind van elk jaar €6 500 op en kan daarna voor €8 000 worden verkocht. De vermogenskosten zijn 10 %. Bereken de netto contante waarde NPV.

C₀ = €40 000CF = €6 500S = €8 000n = 6r = 10%

NPV = €

8.NCW & IRRMoeilijk

Een project kost €20 000 en levert aan het eind van jaar 1 tot en met 3 €11 500, €10 500, €8 000 op. Bereken de interne rentabiliteit IRR in procenten.

CF₀ = −20 000CF₁ = 11 500CF₂ = 10 500CF₃ = 8 000

IRR = %

3Oplossingen

1.Tijdswaarde van geld

Antwoord: PV = 41281 €

Tijdswaarde van geld: geld vandaag is meer waard dan hetzelfde bedrag later, omdat het rente kan opbrengen. Bij een rente i per periode groeit een bedrag tot FV = PV·(1 + i)ⁿ. Een reeks gelijke betalingen (een annuïteit) waardeer je door alle betalingen op te tellen; daaruit volgen de annuïteitenformules.

Rente en aantal perioden

i = 0,048/12 = 0,004

N = 12·4 = 48

Contante waarde

PV = FV/(1 + i)^N = 50 000/1,211 = €41 281,15

Antwoord

PV = €41 281,15

2.Tijdswaarde van geld

Antwoord: FV = 78610 €

Maandrente en aantal stortingen

i = 0,048/12 = 0,004

N = 12·17 = 204

Eindwaarde van de stortingen

FV = A·((1 + i)^N − 1)/i = 250·(2,258 − 1)/0,004 = €78 609,88

Antwoord

FV = €78 609,88

Je hebt zelf €51 000 ingelegd; de rest is rente.

3.Obligatiekoers en rendement

Antwoord: c = 2,003 %

Obligatiewaardering: de koers van een obligatie is de contante waarde van haar kasstromen, verdisconteerd tegen het effectieve rendement (yield to maturity, YTM): de coupons vormen een annuïteit en de nominale waarde wordt op de aflossingsdatum terugbetaald. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Als het rendement boven de couponrente ligt, noteert de obligatie onder de nominale waarde, en omgekeerd.

Contante waarde van de nominale waarde

1000·(1 + 0,04)⁻¹⁵ = €555,26

Coupon

C = (778 − 555,26)/11,12 = €20,03

Couponrente

c = 20,03/1000 = 2,003%

Antwoord

c = 2,003%

4.Obligatiekoers en rendement

Antwoord: P = 962,8 €

Duration: de Macaulay-duration is het gewogen gemiddelde tijdstip waarop een obligatie haar kasstromen uitbetaalt, met de contante waarden van de kasstromen als gewichten: D = Σ t·PVₜ/P. De gemodificeerde duration D/(1 + y) schat de procentuele koersverandering bij een kleine verandering van het rendement: %ΔP ≈ −D_mod·Δy.

Gemodificeerde duration

D_mod = 11,5/1,06 = 10,85

Geschatte koersverandering

%ΔP ≈ −10,85·(0,01) = −10,85%

P ≈ 1080·(1 − 0,1085) = €962,83

Antwoord

P = €962,83

Duration is een lineaire schatting; bij grote rendementsveranderingen maakt de convexiteit de werkelijke koers iets hoger.

5.CAPM en WACC

Antwoord: WACC = 10,15 %

Vermogenskosten: CAPM geeft het rendement dat aandeelhouders eisen: r_e = r_f + β·(r_m − r_f). De gewogen gemiddelde vermogenskosten combineren eigen en vreemd vermogen naar hun marktwaarden: WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T), met V = E + D. Rente is fiscaal aftrekbaar, vandaar de (1 − T).

Gewichten

V = 12 000 000 + 1 500 000 + 5 000 000 = €18 500 000

E/V = 0,6486, P_s/V = 0,08108, D/V = 0,2703

WACC

WACC = 0,6486·14% + 0,08108·6% + 0,2703·3%·(1 − 0,28) = 10,15%

Antwoord

WACC = 10,15%

6.CAPM en WACC

Antwoord: WACC = 7,391 %

Kosten van het vreemd vermogen (YTM)

1088 = 60·(1 − (1 + y)⁻⁷)/y + 1000/(1 + y)⁷

y = 4,506%

Marktwaarden

D = 8 000·€1 088 = €8 704 000

V = €18 704 000, E/V = 0,5346, D/V = 0,4654

WACC

WACC = 0,5346·11% + 0,4654·4,506%·(1 − 0,28) = 7,391%

Antwoord

WACC = 7,391%

7.NCW & IRR

Antwoord: NPV = −7175 €

Netto contante waarde: zet elke kasstroom met het vereiste rendement r terug naar vandaag en tel ze op: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Een project met NPV > 0 verdient meer dan r en voegt waarde toe. De interne rentabiliteit (IRR) is de rente waarbij NPV = 0.

Contante waarde van de jaarlijkse kasstromen

6 500·4,355 = 28 309,19

Contante waarde van de restwaarde

8 000/1,772 = 4 515,79

NPV

NPV = −40 000 + 28 309,19 + 4 515,79 = −€7 175,01

Antwoord

NPV = −€7 175,01

8.NCW & IRR

Antwoord: IRR = 25,06 %

De IRR insluiten

De NCW daalt als de rente stijgt, dus de IRR ligt tussen een rente met positieve en een met negatieve NCW.

NPV(25%) = 16,00

NPV(30%) = −1 299,50

Verfijnen

Lineair interpoleren geeft een eerste schatting; dat herhalen (of de IRR-functie van een rekenmachine) geeft de exacte rente.

IRR ≈ 25 + 5·16,00/(16,00 − (−1 299,50)) = 25,06%

exact: NPV(25,06%) = 0 → IRR = 25,06%

Antwoord

IRR = 25,06%

ExamProblems · examproblems.com/courses/investments-and-valuation