Beleggingen en waardering: samenvattingspakket

Formuleoverzichten, de belangrijkste methodestappen voor elk onderwerp en 8 oefenopgaven, met volledige oplossingen achterin.

Nieuwe opgaven Terug naar het vak

Kies in het printvenster “Opslaan als pdf” om een kopie op je apparaat te bewaren.

1Formules en methoden

Tijdswaarde van geld

Eindwaarde: FV = PV·(1 + i)ⁿ
Contante waarde: PV = FV/(1 + i)ⁿ
Meerdere perioden per jaar: i = r/m, N = m·n
Annuïteit, contante waarde: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
Annuïteit, eindwaarde: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

Methode

Teken een tijdlijn met elke kasstroom en het moment waarop die valt.
Laat de rente aansluiten bij de periode: een maandrente voor maandelijkse betalingen.
Gebruik FV = PV·(1 + i)ⁿ voor losse bedragen en de annuïteitenformules voor gelijke betalingen.
Controleer het teken en de orde van grootte van het antwoord.

Obligatiekoers en rendement

Obligatiekoers: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
Halfjaarlijks: C/2, y/2 en 2n perioden
Lopend rendement: C/P
Koers en rendement: rendement omhoog → koers omlaag

Methode

Bepaal de coupon per periode en het rendement per periode.
Prijs = contante waarde van de coupons (een annuïteit) + contante waarde van de nominale waarde.
Gebruik bij halfjaarlijkse coupons de halve coupon, het halve rendement en twee keer zoveel perioden.
Controle: als het rendement boven de couponrente ligt, ligt de prijs onder de nominale waarde.

CAPM en WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
Ondernemingswaarde: V = E + D

NCW & IRR

Netto contante waarde: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
Gelijke kasstromen: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
Interne rentevoet: de r waarbij NPV = 0
Beslissing: accepteren als NPV > 0 (of IRR > vereist rendement)

Methode

Zet alle kasstromen met hun jaar op een rij; de investering in jaar 0 is negatief.
Disconteer elke kasstroom: CF_t/(1 + r)^t.
Tel ze op om de NCW te krijgen. Positief betekent dat het project meer oplevert dan r.
Zoek voor de IRR de rente waarbij de NCW nul wordt, door proberen of interpoleren.

2Oefenopgaven

1.Tijdswaarde van geldGemiddeld

Een creditcard rekent een nominale rente van 17,5 % per jaar, dagelijks samengesteld. Bereken de effectieve jaarrente EAR in procent.

r = 17,5%m = 365

EAR = %

2.Tijdswaarde van geldMoeilijk

Je spaart 20 jaar lang aan het eind van elke maand €250. De rekening geeft 5,4 % per jaar, maandelijks samengesteld. Hoeveel heb je aan het eind gespaard? Bereken FV.

A = €2505,4% / 12N = 240

FV = €

3.Obligatiekoers en rendementGemiddeld

Een obligatie met een nominale waarde van €1 000 loopt over 10 jaar af en betaalt jaarlijkse coupons. Ze wordt verkocht voor €930 als het effectieve rendement 7% is. Bereken het couponpercentage c in procenten.

F = €1 000n = 10P = €930YTM = 7%

c = %

4.Obligatiekoers en rendementMoeilijk

Een obligatie noteert op €1 100 met een effectief rendement van 6% (jaarlijks samengesteld) en een Macaulay-duration van 4,6 jaar. Schat met de gemodificeerde duration de nieuwe koers P als het rendement met 50 basispunten stijgt.

P₀ = €1 100y = 6%D = 4,6Δy = +50 bp

P = €

5.CAPM en WACCGemiddeld

Een onderneming heeft eigen vermogen ter waarde van €3 000 000 en vreemd vermogen ter waarde van €5 000 000. De kosten van het eigen vermogen zijn 8%, de kosten van het vreemd vermogen vóór belasting zijn 6% en het belastingtarief is 25,8%. Bereken de WACC.

E = €3 000 000D = €5 000 000r_e = 8%r_d = 6%T = 25,8%

WACC = %

6.CAPM en WACCMoeilijk

Een onderneming heeft 1 000 000 aandelen van €9,50 per stuk en 10 000 obligaties met een koers van €960 per stuk. De kosten van het vreemd vermogen vóór belasting zijn 6% en het belastingtarief is 28%. De bèta van het aandeel is 1,3, de risicovrije rente 2,5% en het marktrendement 9%. Bereken de WACC.

β = 1,3r_f = 2,5%r_m = 9%r_d = 6%T = 28%

WACC = %

7.NCW & IRRGemiddeld

Een project kost vandaag €60 000 en levert 5 jaar lang aan het eind van elk jaar €18 500 op. De vermogenskosten zijn 10 %. Neem aan dat de kasstromen gelijkmatig over elk jaar binnenkomen. Bereken de verdisconteerde terugverdientijd DPB in jaren.

r = 10%CF₀ = −60 000CF₁ = 18 500CF₂ = 18 500CF₃ = 18 500CF₄ = 18 500CF₅ = 18 500

DPB = jaar

8.NCW & IRRMoeilijk

Een investering van €50 000 levert 7 jaar lang aan het eind van elk jaar €11 000 op. Bereken de interne rentabiliteit IRR in procenten.

C₀ = €50 000CF = €11 000n = 7

IRR = %

3Oplossingen

1.Tijdswaarde van geld

Antwoord: EAR = 19,12 %

Tijdswaarde van geld: geld vandaag is meer waard dan hetzelfde bedrag later, omdat het rente kan opbrengen. Bij een rente i per periode groeit een bedrag tot FV = PV·(1 + i)ⁿ. Een reeks gelijke betalingen (een annuïteit) waardeer je door alle betalingen op te tellen; daaruit volgen de annuïteitenformules.

Rente per periode

r/m = 0,175/365 = 0,0004795

Samenstellen over één jaar

EAR = (1 + 0,0004795)³⁶⁵ − 1 = 1,191 − 1 = 19,12%

Antwoord

EAR = 19,12%

De effectieve jaarrente ligt altijd boven de nominale rente als de rente vaker dan één keer per jaar wordt bijgeschreven.

2.Tijdswaarde van geld

Antwoord: FV = 107642 €

Maandrente en aantal stortingen

i = 0,054000000000000006/12 = 0,0045

N = 12·20 = 240

Eindwaarde van de stortingen

FV = A·((1 + i)^N − 1)/i = 250·(2,938 − 1)/0,0045 = €107 641,89

Antwoord

FV = €107 641,89

Je hebt zelf €60 000 ingelegd; de rest is rente.

3.Obligatiekoers en rendement

Antwoord: c = 6,003 %

Obligatiewaardering: de koers van een obligatie is de contante waarde van haar kasstromen, verdisconteerd tegen het effectieve rendement (yield to maturity, YTM): de coupons vormen een annuïteit en de nominale waarde wordt op de aflossingsdatum terugbetaald. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Als het rendement boven de couponrente ligt, noteert de obligatie onder de nominale waarde, en omgekeerd.

Contante waarde van de nominale waarde

1000·(1 + 0,07)⁻¹⁰ = €508,35

Coupon

C = (930 − 508,35)/7,024 = €60,03

Couponrente

c = 60,03/1000 = 6,003%

Antwoord

c = 6,003%

4.Obligatiekoers en rendement

Antwoord: P = 1076 €

Duration: de Macaulay-duration is het gewogen gemiddelde tijdstip waarop een obligatie haar kasstromen uitbetaalt, met de contante waarden van de kasstromen als gewichten: D = Σ t·PVₜ/P. De gemodificeerde duration D/(1 + y) schat de procentuele koersverandering bij een kleine verandering van het rendement: %ΔP ≈ −D_mod·Δy.

Gemodificeerde duration

D_mod = 4,6/1,06 = 4,34

Geschatte koersverandering

%ΔP ≈ −4,34·(0,005) = −2,17%

P ≈ 1100·(1 − 0,0217) = €1 076,13

Antwoord

P = €1 076,13

Duration is een lineaire schatting; bij grote rendementsveranderingen maakt de convexiteit de werkelijke koers iets hoger.

5.CAPM en WACC

Antwoord: WACC = 5,782 %

Vermogenskosten: CAPM geeft het rendement dat aandeelhouders eisen: r_e = r_f + β·(r_m − r_f). De gewogen gemiddelde vermogenskosten combineren eigen en vreemd vermogen naar hun marktwaarden: WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T), met V = E + D. Rente is fiscaal aftrekbaar, vandaar de (1 − T).

Gewichten

V = €8 000 000, E/V = 0,375, D/V = 0,625

WACC

WACC = 0,375·8% + 0,625·6%·(1 − 0,258) = 5,782%

Antwoord

WACC = 5,782%

6.CAPM en WACC

Antwoord: WACC = 7,618 %

Marktwaarden

E = 1 000 000·€9,50 = €9 500 000

D = 10 000·€960 = €9 600 000

Kosten eigen vermogen (CAPM)

r_e = 2,5% + 1,3·6,5% = 10,95%

Gewichten

V = €19 100 000, E/V = 0,4974, D/V = 0,5026

WACC

WACC = 0,4974·10,95% + 0,5026·6%·(1 − 0,28) = 7,618%

Antwoord

WACC = 7,618%

7.NCW & IRR

Antwoord: DPB = 4,118 jaar

Terugverdientijd: de tijd tot de cumulatieve kasstromen de initiële investering hebben terugbetaald. Aangenomen wordt dat het geld gelijkmatig over elk jaar binnenkomt, dus het laatste deel is een fractie van een jaar. De eenvoudige terugverdientijd negeert de tijdswaarde van geld; de verdisconteerde terugverdientijd gebruikt in plaats daarvan de contant gemaakte kasstromen.

Contant gemaakte en cumulatieve kasstromen

jaar 1: 18 500/1,1 = 16 818,18 → Σ = 16 818,18

jaar 2: 18 500/1,21 = 15 289,26 → Σ = 32 107,44

jaar 3: 18 500/1,331 = 13 899,32 → Σ = 46 006,76

jaar 4: 18 500/1,464 = 12 635,75 → Σ = 58 642,51

jaar 5: 18 500/1,611 = 11 487,04 → Σ = 70 129,56

Fractie van het laatste jaar

DPB = 4 + 1 357,49/11 487,04 = 4,118

Antwoord

DPB = 4,118 jaar

De verdisconteerde terugverdientijd is altijd langer dan de eenvoudige terugverdientijd (3,243 jaar).

8.NCW & IRR

Antwoord: IRR = 12,13 %

Netto contante waarde: zet elke kasstroom met het vereiste rendement r terug naar vandaag en tel ze op: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Een project met NPV > 0 verdient meer dan r en voegt waarde toe. De interne rentabiliteit (IRR) is de rente waarbij NPV = 0.

Benodigde annuïteitsfactor

(1 − (1 + i)⁻⁷)/i = 50 000/11 000 = 4,545

Los de rente op

De annuïteitsfactor daalt als de rente stijgt; sluit de rente in tussen twee waarden en verklein het interval.

i = 12%: 4,564

i = 13%: 4,423

IRR = 12,13%

Antwoord

IRR = 12,13%

ExamProblems · examproblems.com/courses/investments-and-valuation