Beleggingen en waardering: samenvattingspakket

Formuleoverzichten, de belangrijkste methodestappen voor elk onderwerp en 8 oefenopgaven, met volledige oplossingen achterin.

Nieuwe opgaven Terug naar het vak

Kies in het printvenster “Opslaan als pdf” om een kopie op je apparaat te bewaren.

1Formules en methoden

Tijdswaarde van geld

Eindwaarde: FV = PV·(1 + i)ⁿ
Contante waarde: PV = FV/(1 + i)ⁿ
Meerdere perioden per jaar: i = r/m, N = m·n
Annuïteit, contante waarde: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
Annuïteit, eindwaarde: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

Methode

Teken een tijdlijn met elke kasstroom en het moment waarop die valt.
Laat de rente aansluiten bij de periode: een maandrente voor maandelijkse betalingen.
Gebruik FV = PV·(1 + i)ⁿ voor losse bedragen en de annuïteitenformules voor gelijke betalingen.
Controleer het teken en de orde van grootte van het antwoord.

Obligatiekoers en rendement

Obligatiekoers: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
Halfjaarlijks: C/2, y/2 en 2n perioden
Lopend rendement: C/P
Koers en rendement: rendement omhoog → koers omlaag

Methode

Bepaal de coupon per periode en het rendement per periode.
Prijs = contante waarde van de coupons (een annuïteit) + contante waarde van de nominale waarde.
Gebruik bij halfjaarlijkse coupons de halve coupon, het halve rendement en twee keer zoveel perioden.
Controle: als het rendement boven de couponrente ligt, ligt de prijs onder de nominale waarde.

CAPM en WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
Ondernemingswaarde: V = E + D

NCW & IRR

Netto contante waarde: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
Gelijke kasstromen: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
Interne rentevoet: de r waarbij NPV = 0
Beslissing: accepteren als NPV > 0 (of IRR > vereist rendement)

Methode

Zet alle kasstromen met hun jaar op een rij; de investering in jaar 0 is negatief.
Disconteer elke kasstroom: CF_t/(1 + r)^t.
Tel ze op om de NCW te krijgen. Positief betekent dat het project meer oplevert dan r.
Zoek voor de IRR de rente waarbij de NCW nul wordt, door proberen of interpoleren.

2Oefenopgaven

1.Tijdswaarde van geldGemiddeld

Je belegt €2 000 tegen een nominale rente van 5 % per jaar, per kwartaal samengesteld. Bereken de waarde FV van de belegging na 4 jaar.

PV = €2 0005% / 4n = 4

FV = €

2.Tijdswaarde van geldMoeilijk

Een hypotheek van €150 000 wordt in 30 jaar afgelost met gelijke maandbedragen tegen 3 % per jaar, maandelijks samengesteld. Hoeveel is er nog verschuldigd direct na de betaling aan het eind van jaar 9? Bereken de restschuld B.

P = €150 0003% / 12N = 360k = 108

B = €

3.Obligatiekoers en rendementGemiddeld

Een obligatie met een nominale waarde van €1 000 loopt over 13 jaar af en betaalt jaarlijkse coupons. Ze wordt verkocht voor €1 258 als het effectieve rendement 3,5% is. Bereken het couponpercentage c in procenten.

F = €1 000n = 13P = €1 258YTM = 3,5%

c = %

4.Obligatiekoers en rendementMoeilijk

Een obligatie noteert op €965 met een effectief rendement van 7% (jaarlijks samengesteld) en een Macaulay-duration van 10,7 jaar. Schat met de gemodificeerde duration de nieuwe koers P als het rendement met 150 basispunten daalt.

P₀ = €965y = 7%D = 10,7Δy = −150 bp

P = €

5.CAPM en WACCGemiddeld

Een onderneming is gefinancierd met gewone aandelen ter waarde van €6 000 000, preferente aandelen ter waarde van €500 000 en vreemd vermogen ter waarde van €6 000 000. De kosten van het eigen vermogen zijn 10%, de kosten van de preferente aandelen 7,5% en de kosten van het vreemd vermogen vóór belasting 4,5%. Het belastingtarief is 21%. Bereken de WACC.

E = €6 000 000P_s = €500 000D = €6 000 000r_e = 10%r_p = 7,5%r_d = 4,5%T = 21%

WACC = %

6.CAPM en WACCMoeilijk

Een onderneming heeft 1 000 000 aandelen van €28,50 per stuk en 10 000 obligaties met een koers van €980 per stuk. De kosten van het vreemd vermogen vóór belasting zijn 6% en het belastingtarief is 30%. De bèta van het aandeel is 1,8, de risicovrije rente 2% en het marktrendement 8%. Bereken de WACC.

β = 1,8r_f = 2%r_m = 8%r_d = 6%T = 30%

WACC = %

7.NCW & IRRGemiddeld

Een investering van €45 000 levert aan het eind van jaar 1 tot en met 3 deze kasstromen op: €22 000, €21 000, €13 000. De vermogenskosten zijn 12 %. Bereken de netto contante waarde NPV.

r = 12%CF₀ = −45 000CF₁ = 22 000CF₂ = 21 000CF₃ = 13 000

NPV = €

8.NCW & IRRMoeilijk

Een project kost vandaag €50 000. De kasstroom is €7 000 aan het eind van jaar 1 en groeit met 5 % per jaar tot de laatste kasstroom aan het eind van jaar 8. De vermogenskosten zijn 8 %. Bereken de netto contante waarde NPV.

C₀ = €50 000CF₁ = €7 000g = 5%n = 8r = 8%

NPV = €

3Oplossingen

1.Tijdswaarde van geld

Antwoord: FV = 2440 €

Tijdswaarde van geld: geld vandaag is meer waard dan hetzelfde bedrag later, omdat het rente kan opbrengen. Bij een rente i per periode groeit een bedrag tot FV = PV·(1 + i)ⁿ. Een reeks gelijke betalingen (een annuïteit) waardeer je door alle betalingen op te tellen; daaruit volgen de annuïteitenformules.

Rente en aantal perioden

i = r/m = 0,05/4 = 0,0125

N = m·n = 4·4 = 16

Eindwaarde

FV = 2 000·(1 + 0,0125)¹⁶ = 2 000·1,22 = €2 439,78

Antwoord

FV = €2 439,78

2.Tijdswaarde van geld

Antwoord: B = 118131 €

Maandbedrag

i = 0,0025, N = 360

A = 150 000·0,0025/(1 − (1 + 0,0025)⁻³⁶⁰) = €632,41

Contante waarde van de resterende betalingen

Wat er nog verschuldigd is, moet precies worden afbetaald met de resterende betalingen.

N − k = 360 − 108 = 252

B = 632,4·(1 − (1 + 0,0025)⁻²⁵²)/0,0025 = €118 130,75

Antwoord

B = €118 130,75

3.Obligatiekoers en rendement

Antwoord: c = 6,004 %

Obligatiewaardering: de koers van een obligatie is de contante waarde van haar kasstromen, verdisconteerd tegen het effectieve rendement (yield to maturity, YTM): de coupons vormen een annuïteit en de nominale waarde wordt op de aflossingsdatum terugbetaald. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Als het rendement boven de couponrente ligt, noteert de obligatie onder de nominale waarde, en omgekeerd.

Contante waarde van de nominale waarde

1000·(1 + 0,035)⁻¹³ = €639,40

Coupon

C = (1258 − 639,40)/10,3 = €60,04

Couponrente

c = 60,04/1000 = 6,004%

Antwoord

c = 6,004%

4.Obligatiekoers en rendement

Antwoord: P = 1110 €

Duration: de Macaulay-duration is het gewogen gemiddelde tijdstip waarop een obligatie haar kasstromen uitbetaalt, met de contante waarden van de kasstromen als gewichten: D = Σ t·PVₜ/P. De gemodificeerde duration D/(1 + y) schat de procentuele koersverandering bij een kleine verandering van het rendement: %ΔP ≈ −D_mod·Δy.

Gemodificeerde duration

D_mod = 10,7/1,07 = 10

Geschatte koersverandering

%ΔP ≈ −10·(−0,015) = 15%

P ≈ 965·(1 + 0,15) = €1 109,75

Antwoord

P = €1 109,75

Duration is een lineaire schatting; bij grote rendementsveranderingen maakt de convexiteit de werkelijke koers iets hoger.

5.CAPM en WACC

Antwoord: WACC = 6,806 %

Vermogenskosten: CAPM geeft het rendement dat aandeelhouders eisen: r_e = r_f + β·(r_m − r_f). De gewogen gemiddelde vermogenskosten combineren eigen en vreemd vermogen naar hun marktwaarden: WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T), met V = E + D. Rente is fiscaal aftrekbaar, vandaar de (1 − T).

Gewichten

V = 6 000 000 + 500 000 + 6 000 000 = €12 500 000

E/V = 0,48, P_s/V = 0,04, D/V = 0,48

WACC

WACC = 0,48·10% + 0,04·7,5% + 0,48·4,5%·(1 − 0,21) = 6,806%

Antwoord

WACC = 6,806%

6.CAPM en WACC

Antwoord: WACC = 10,6 %

Marktwaarden

E = 1 000 000·€28,50 = €28 500 000

D = 10 000·€980 = €9 800 000

Kosten eigen vermogen (CAPM)

r_e = 2% + 1,8·6% = 12,8%

Gewichten

V = €38 300 000, E/V = 0,7441, D/V = 0,2559

WACC

WACC = 0,7441·12,8% + 0,2559·6%·(1 − 0,3) = 10,6%

Antwoord

WACC = 10,6%

7.NCW & IRR

Antwoord: NPV = 637,1 €

Netto contante waarde: zet elke kasstroom met het vereiste rendement r terug naar vandaag en tel ze op: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Een project met NPV > 0 verdient meer dan r en voegt waarde toe. De interne rentabiliteit (IRR) is de rente waarbij NPV = 0.

Contante waarde van elke kasstroom

CF₀ = −45 000

CF₁/(1 + 0,12)¹ = 22 000/1,12 = 19 642,86

CF₂/(1 + 0,12)² = 21 000/1,254 = 16 741,07

CF₃/(1 + 0,12)³ = 13 000/1,405 = 9 253,14

Optellen

NPV = €637,07

Antwoord

NPV = €637,07

De NCW is positief, dus het project verdient meer dan het vereiste rendement.

8.NCW & IRR

Antwoord: NPV = −2919 €

Contante waarde van de groeiende annuïteit

((1,05)/(1,08))⁸ = 0,7982

PV = 7 000/(0,08 − 0,05)·(1 − 0,7982) = 47 081,25

NPV

NPV = 47 081,25 − 50 000 = −€2 918,75

Antwoord

NPV = −€2 918,75

De NCW is negatief, dus het project verdient minder dan het vereiste rendement.

ExamProblems · examproblems.com/courses/investments-and-valuation