Kies in het printvenster “Opslaan als pdf” om een kopie op je apparaat te bewaren.
1Formules en methoden
Tijdswaarde van geld
Eindwaarde
FV = PV·(1 + i)n
Contante waarde
PV = FV/(1 + i)n
Meerdere perioden per jaar
i = r/m, N = m·n
Annuïteit, contante waarde
PV = PMT·[1 − (1 + i)−n]/i
Annuïteit, eindwaarde
FV = PMT·[(1 + i)n − 1]/i
Methode
Teken een tijdlijn met elke kasstroom en het moment waarop die valt.
Laat de rente aansluiten bij de periode: een maandrente voor maandelijkse betalingen.
Gebruik FV = PV·(1 + i)ⁿ voor losse bedragen en de annuïteitenformules voor gelijke betalingen.
Controleer het teken en de orde van grootte van het antwoord.
Obligatiekoers en rendement
Obligatiekoers
P = C·(1 − (1 + y)−n)/y + F/(1 + y)n
Halfjaarlijks
C/2, y/2 en 2n perioden
Lopend rendement
C/P
Koers en rendement
rendement omhoog → koers omlaag
Methode
Bepaal de coupon per periode en het rendement per periode.
Prijs = contante waarde van de coupons (een annuïteit) + contante waarde van de nominale waarde.
Gebruik bij halfjaarlijkse coupons de halve coupon, het halve rendement en twee keer zoveel perioden.
Controle: als het rendement boven de couponrente ligt, ligt de prijs onder de nominale waarde.
CAPM en WACC
CAPM
re = rf + β·(rm − rf)
WACC
E/V·re + D/V·rd·(1 − T)
Ondernemingswaarde
V = E + D
NCW & IRR
Netto contante waarde
NPV = −C0 + Σ CFt/(1 + r)t
Gelijke kasstromen
NPV = −C0 + CF·[1 − (1 + r)−n]/r
Interne rentevoet
de r waarbij NPV = 0
Beslissing
accepteren als NPV > 0 (of IRR > vereist rendement)
Methode
Zet alle kasstromen met hun jaar op een rij; de investering in jaar 0 is negatief.
Disconteer elke kasstroom: CFt/(1 + r)t.
Tel ze op om de NCW te krijgen. Positief betekent dat het project meer oplevert dan r.
Zoek voor de IRR de rente waarbij de NCW nul wordt, door proberen of interpoleren.
2Oefenopgaven
1.Tijdswaarde van geldGemiddeld
Je hebt over 10 jaar €20 000 nodig. Een rekening geeft 2 % per jaar, maandelijks samengesteld. Hoeveel moet je vandaag storten? Bereken de contante waarde PV.
FV = €20 0002% / 12n = 10
PV = €
2.Tijdswaarde van geldMoeilijk
Je spaart 11 jaar lang aan het eind van elke maand €150. De rekening geeft 2,4 % per jaar, maandelijks samengesteld. Hoeveel heb je aan het eind gespaard? Bereken FV.
A = €1502,4% / 12N = 132
FV = €
3.Obligatiekoers en rendementGemiddeld
Een obligatie met een nominale waarde van €1 000 betaalt een jaarlijkse coupon van 7% en loopt over 12 jaar af. Het effectieve rendement verandert van 9% naar 9,5%. Hoeveel ΔP verandert de koers van de obligatie?
F = €1 000coupon = 7%n = 12y1 = 9%y2 = 9,5%
ΔP = €
4.Obligatiekoers en rendementMoeilijk
Een obligatie met een nominale waarde van €1 000 betaalt een jaarlijkse coupon van 6% in twee halfjaarlijkse termijnen en loopt over 9 jaar af. Ze wordt verkocht voor €1 281. Bereken het effectieve rendement YTM als jaarrente (twee keer het halfjaarlijkse rendement), in procenten.
F = €1 000coupon = 6% (2×)n = 9P = €1 281
YTM = %
5.CAPM en WACCGemiddeld
Een onderneming heeft eigen vermogen ter waarde van €6 000 000 en vreemd vermogen ter waarde van €4 000 000. De WACC is 9,75%, de kosten van het vreemd vermogen vóór belasting 4,5% en het belastingtarief is 25%. Bereken de kosten van het eigen vermogen re.
Een onderneming heeft 2 000 000 aandelen van €17,00 per stuk en 10 000 obligaties met een koers van €960 per stuk. De kosten van het vreemd vermogen vóór belasting zijn 4,5% en het belastingtarief is 28%. De bèta van het aandeel is 0,9, de risicovrije rente 2% en het marktrendement 9%. Bereken de WACC.
β = 0,9rf = 2%rm = 9%rd = 4,5%T = 28%
WACC = %
7.NCW & IRRGemiddeld
Een machine kost vandaag €50 000. Ze levert 5 jaar lang aan het eind van elk jaar €12 000 op en kan daarna voor €5 000 worden verkocht. De vermogenskosten zijn 6 %. Bereken de netto contante waarde NPV.
C0 = €50 000CF = €12 000S = €5 000n = 5r = 6%
NPV = €
8.NCW & IRRMoeilijk
Een project kost €50 000 en levert aan het eind van jaar 1 tot en met 4 €17 500, €28 500, €26 500, €27 000 op. Kasstromen kunnen worden herbelegd tegen de vermogenskosten van 10 %. Bereken de gemodificeerde interne rentabiliteit MIRR in procenten.
Tijdswaarde van geld: geld vandaag is meer waard dan hetzelfde bedrag later, omdat het rente kan opbrengen. Bij een rente i per periode groeit een bedrag tot FV = PV·(1 + i)n. Een reeks gelijke betalingen (een annuïteit) waardeer je door alle betalingen op te tellen; daaruit volgen de annuïteitenformules.
Rente en aantal perioden
i = 0,02/12 = 0,001667
N = 12·10 = 120
Contante waarde
PV = FV/(1 + i)N = 20 000/1,221 = €16 377,34
Antwoord
PV = €16 377,34
2.Tijdswaarde van geld
Antwoord: FV = 22634 €
Tijdswaarde van geld: geld vandaag is meer waard dan hetzelfde bedrag later, omdat het rente kan opbrengen. Bij een rente i per periode groeit een bedrag tot FV = PV·(1 + i)n. Een reeks gelijke betalingen (een annuïteit) waardeer je door alle betalingen op te tellen; daaruit volgen de annuïteitenformules.
Obligatiewaardering: de koers van een obligatie is de contante waarde van haar kasstromen, verdisconteerd tegen het effectieve rendement (yield to maturity, YTM): de coupons vormen een annuïteit en de nominale waarde wordt op de aflossingsdatum terugbetaald. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Als het rendement boven de couponrente ligt, noteert de obligatie onder de nominale waarde, en omgekeerd.
Obligatiewaardering: de koers van een obligatie is de contante waarde van haar kasstromen, verdisconteerd tegen het effectieve rendement (yield to maturity, YTM): de coupons vormen een annuïteit en de nominale waarde wordt op de aflossingsdatum terugbetaald. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Als het rendement boven de couponrente ligt, noteert de obligatie onder de nominale waarde, en omgekeerd.
Per periode
C = €30,00, N = 18
Los numeriek op
i = 1,247% per halfjaar
YTM
YTM = 2·1,247% = 2,495%
Antwoord
YTM = 2,495%
5.CAPM en WACC
Antwoord: re = 14 %
Vermogenskosten: CAPM geeft het rendement dat aandeelhouders eisen: re = rf + β·(rm − rf). De gewogen gemiddelde vermogenskosten combineren eigen en vreemd vermogen naar hun marktwaarden: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), met V = E + D. Rente is fiscaal aftrekbaar, vandaar de (1 − T).
Gewichten
V = €10 000 000, E/V = 0,6, D/V = 0,4
Deel van het vreemd vermogen in de WACC
0,4·4,5%·(1 − 0,25) = 1,35%
Kosten van het eigen vermogen
re = (9,75% − 1,35%)/0,6 = 14%
Antwoord
re = 14%
6.CAPM en WACC
Antwoord: WACC = 7,186 %
Vermogenskosten: CAPM geeft het rendement dat aandeelhouders eisen: re = rf + β·(rm − rf). De gewogen gemiddelde vermogenskosten combineren eigen en vreemd vermogen naar hun marktwaarden: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), met V = E + D. Rente is fiscaal aftrekbaar, vandaar de (1 − T).
Netto contante waarde: zet elke kasstroom met het vereiste rendement r terug naar vandaag en tel ze op: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Een project met NPV > 0 verdient meer dan r en voegt waarde toe. De interne rentabiliteit (IRR) is de rente waarbij NPV = 0.
Contante waarde van de jaarlijkse kasstromen
12 000·4,212 = 50 548,37
Contante waarde van de restwaarde
5 000/1,338 = 3 736,29
NPV
NPV = −50 000 + 50 548,37 + 3 736,29 = €4 284,66
Antwoord
NPV = €4 284,66
8.NCW & IRR
Antwoord: MIRR = 22,86 %
Gemodificeerde IRR: rent elke inkomende kasstroom op tot het eind van het project tegen het herbeleggingspercentage (meestal de vermogenskosten) om de eindwaarde TV te krijgen. De MIRR is de rente die de initiële investering laat groeien tot TV: MIRR = (TV/C₀)^(1/n) − 1.