Kies in het printvenster “Opslaan als pdf” om een kopie op je apparaat te bewaren.
1Formules en methoden
Tijdswaarde van geld
Eindwaarde
FV = PV·(1 + i)n
Contante waarde
PV = FV/(1 + i)n
Meerdere perioden per jaar
i = r/m, N = m·n
Annuïteit, contante waarde
PV = PMT·[1 − (1 + i)−n]/i
Annuïteit, eindwaarde
FV = PMT·[(1 + i)n − 1]/i
Methode
Teken een tijdlijn met elke kasstroom en het moment waarop die valt.
Laat de rente aansluiten bij de periode: een maandrente voor maandelijkse betalingen.
Gebruik FV = PV·(1 + i)ⁿ voor losse bedragen en de annuïteitenformules voor gelijke betalingen.
Controleer het teken en de orde van grootte van het antwoord.
Obligatiekoers en rendement
Obligatiekoers
P = C·(1 − (1 + y)−n)/y + F/(1 + y)n
Halfjaarlijks
C/2, y/2 en 2n perioden
Lopend rendement
C/P
Koers en rendement
rendement omhoog → koers omlaag
Methode
Bepaal de coupon per periode en het rendement per periode.
Prijs = contante waarde van de coupons (een annuïteit) + contante waarde van de nominale waarde.
Gebruik bij halfjaarlijkse coupons de halve coupon, het halve rendement en twee keer zoveel perioden.
Controle: als het rendement boven de couponrente ligt, ligt de prijs onder de nominale waarde.
CAPM en WACC
CAPM
re = rf + β·(rm − rf)
WACC
E/V·re + D/V·rd·(1 − T)
Ondernemingswaarde
V = E + D
NCW & IRR
Netto contante waarde
NPV = −C0 + Σ CFt/(1 + r)t
Gelijke kasstromen
NPV = −C0 + CF·[1 − (1 + r)−n]/r
Interne rentevoet
de r waarbij NPV = 0
Beslissing
accepteren als NPV > 0 (of IRR > vereist rendement)
Methode
Zet alle kasstromen met hun jaar op een rij; de investering in jaar 0 is negatief.
Disconteer elke kasstroom: CFt/(1 + r)t.
Tel ze op om de NCW te krijgen. Positief betekent dat het project meer oplevert dan r.
Zoek voor de IRR de rente waarbij de NCW nul wordt, door proberen of interpoleren.
2Oefenopgaven
1.Tijdswaarde van geldGemiddeld
Een vastgoedobject levert volgend jaar naar verwachting €20 000 netto huur op. De huur groeit naar verwachting voor altijd met 1,5 % per jaar. Het vereiste rendement is 4,5 % per jaar. Bereken de waarde PV van het object vandaag.
C1 = €20 000g = 1,5%r = 4,5%
PV = €
2.Tijdswaarde van geldMoeilijk
Een hypotheek van €300 000 wordt in 25 jaar afgelost met gelijke maandbedragen tegen 2,4 % per jaar, maandelijks samengesteld. Hoeveel is er nog verschuldigd direct na de betaling aan het eind van jaar 6? Bereken de restschuld B.
P = €300 0002,4% / 12N = 300k = 72
B = €
3.Obligatiekoers en rendementGemiddeld
Een obligatie met een nominale waarde van €1 000 betaalt een jaarlijkse coupon van 2% en loopt over 6 jaar af. Het effectieve rendement verandert van 4% naar 3,5%. Hoeveel ΔP verandert de koers van de obligatie?
F = €1 000coupon = 2%n = 6y1 = 4%y2 = 3,5%
ΔP = €
4.Obligatiekoers en rendementMoeilijk
Een obligatie met een nominale waarde van €1 000 betaalt een jaarlijkse coupon van 2% en loopt over 3 jaar af. Het effectieve rendement is 2,5%. Bereken de Macaulay-duration D in jaren.
F = €1 000coupon = 2%n = 3YTM = 2,5%
D = jaar
5.CAPM en WACCGemiddeld
Een onderneming heeft eigen vermogen ter waarde van €5 000 000 en vreemd vermogen ter waarde van €3 000 000. De WACC is 9,61%, de kosten van het vreemd vermogen vóór belasting 5% en het belastingtarief is 21%. Bereken de kosten van het eigen vermogen re.
Een onderneming heeft 4 000 000 aandelen van €38,50 per stuk en 5 000 obligaties met een koers van €980 per stuk. De kosten van het vreemd vermogen vóór belasting zijn 7% en het belastingtarief is 30%. De bèta van het aandeel is 1,1, de risicovrije rente 1,5% en het marktrendement 7%. Bereken de WACC.
β = 1,1rf = 1,5%rm = 7%rd = 7%T = 30%
WACC = %
7.NCW & IRRGemiddeld
Een project kost vandaag €50 000 en levert aan het eind van jaar 1 tot en met 6 €12 500, €16 000, €12 500, €18 500, €15 500, €15 500 op. De vermogenskosten zijn 5 %. Neem aan dat de kasstromen gelijkmatig over elk jaar binnenkomen. Bereken de verdisconteerde terugverdientijd DPB in jaren.
Een project kost vandaag €50 000. De kasstroom is €10 000 aan het eind van jaar 1 en groeit met 3 % per jaar tot de laatste kasstroom aan het eind van jaar 5. De vermogenskosten zijn 12 %. Bereken de netto contante waarde NPV.
C0 = €50 000CF1 = €10 000g = 3%n = 5r = 12%
NPV = €
3Oplossingen
1.Tijdswaarde van geld
Antwoord: PV = 666667 €
Tijdswaarde van geld: geld vandaag is meer waard dan hetzelfde bedrag later, omdat het rente kan opbrengen. Bij een rente i per periode groeit een bedrag tot FV = PV·(1 + i)n. Een reeks gelijke betalingen (een annuïteit) waardeer je door alle betalingen op te tellen; daaruit volgen de annuïteitenformules.
Tijdswaarde van geld: geld vandaag is meer waard dan hetzelfde bedrag later, omdat het rente kan opbrengen. Bij een rente i per periode groeit een bedrag tot FV = PV·(1 + i)n. Een reeks gelijke betalingen (een annuïteit) waardeer je door alle betalingen op te tellen; daaruit volgen de annuïteitenformules.
Wat er nog verschuldigd is, moet precies worden afbetaald met de resterende betalingen.
N − k = 300 − 72 = 228
B = 1331·(1 − (1 + 0,002)−228)/0,002 = €243 466,67
Antwoord
B = €243 466,67
3.Obligatiekoers en rendement
Antwoord: ΔP = 24,91 €
Obligatiewaardering: de koers van een obligatie is de contante waarde van haar kasstromen, verdisconteerd tegen het effectieve rendement (yield to maturity, YTM): de coupons vormen een annuïteit en de nominale waarde wordt op de aflossingsdatum terugbetaald. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Als het rendement boven de couponrente ligt, noteert de obligatie onder de nominale waarde, en omgekeerd.
Duration: de Macaulay-duration is het gewogen gemiddelde tijdstip waarop een obligatie haar kasstromen uitbetaalt, met de contante waarden van de kasstromen als gewichten: D = Σ t·PVₜ/P. De gemodificeerde duration D/(1 + y) schat de procentuele koersverandering bij een kleine verandering van het rendement: %ΔP ≈ −Dmod·Δy.
Contante waarde van elke kasstroom
t = 1: 20/1,025 = 19,51, t·PV = 19,51
t = 2: 20/1,051 = 19,04, t·PV = 38,07
t = 3: 1020/1,077 = 947,17, t·PV = 2 841,51
Duration
P = 985,72
D = 2 899,10/985,72 = 2,941
Antwoord
D = 2,941 jaar
5.CAPM en WACC
Antwoord: re = 13,01 %
Vermogenskosten: CAPM geeft het rendement dat aandeelhouders eisen: re = rf + β·(rm − rf). De gewogen gemiddelde vermogenskosten combineren eigen en vreemd vermogen naar hun marktwaarden: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), met V = E + D. Rente is fiscaal aftrekbaar, vandaar de (1 − T).
Gewichten
V = €8 000 000, E/V = 0,625, D/V = 0,375
Deel van het vreemd vermogen in de WACC
0,375·5%·(1 − 0,21) = 1,481%
Kosten van het eigen vermogen
re = (9,61% − 1,481%)/0,625 = 13,01%
Antwoord
re = 13,01%
6.CAPM en WACC
Antwoord: WACC = 7,468 %
Vermogenskosten: CAPM geeft het rendement dat aandeelhouders eisen: re = rf + β·(rm − rf). De gewogen gemiddelde vermogenskosten combineren eigen en vreemd vermogen naar hun marktwaarden: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), met V = E + D. Rente is fiscaal aftrekbaar, vandaar de (1 − T).
Terugverdientijd: de tijd tot de cumulatieve kasstromen de initiële investering hebben terugbetaald. Aangenomen wordt dat het geld gelijkmatig over elk jaar binnenkomt, dus het laatste deel is een fractie van een jaar. De eenvoudige terugverdientijd negeert de tijdswaarde van geld; de verdisconteerde terugverdientijd gebruikt in plaats daarvan de contant gemaakte kasstromen.
Contant gemaakte en cumulatieve kasstromen
jaar 1: 12 500/1,05 = 11 904,76 → Σ = 11 904,76
jaar 2: 16 000/1,103 = 14 512,47 → Σ = 26 417,23
jaar 3: 12 500/1,158 = 10 797,97 → Σ = 37 215,20
jaar 4: 18 500/1,216 = 15 220,00 → Σ = 52 435,20
Fractie van het laatste jaar
DPB = 3 + 12 784,80/15 220,00 = 3,84
Antwoord
DPB = 3,84 jaar
De verdisconteerde terugverdientijd is altijd langer dan de eenvoudige terugverdientijd (3,486 jaar).
8.NCW & IRR
Antwoord: NPV = −11978 €
Netto contante waarde: zet elke kasstroom met het vereiste rendement r terug naar vandaag en tel ze op: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Een project met NPV > 0 verdient meer dan r en voegt waarde toe. De interne rentabiliteit (IRR) is de rente waarbij NPV = 0.